《全稱量詞與存在量詞》同步練習(xí)4

《全稱量詞與存在量詞》同步練習(xí)一、選擇題1．(2012年遼寧鞍山五模)命題“對任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是()A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0B．存在x∈R，x3－x2＋1≤0C．存在x∈R，x3－x2＋1>0D．對任意的x∈R，x3－x2＋1>0解析：全稱命題的否定是特稱命題．答案：C2．給出兩個命題：p：|x|＝x的充要條件是x為正實數(shù)；q：奇函數(shù)的圖像一定關(guān)于原點對稱，則下列命題是假命題的是 ()A．p∧q B．p∨qC．非p∧q D．非p∨q解析：p假q真，故選A.答案：A3．(2012年北京東城二模)下列命題中，真命題是 ()A．?x∈R，－x2－1<0 B．?x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋x0＝－1C．?x∈R，x2－x＋eq\f(1,4)>0 D．?x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋2x0＋2<0解析：本題考查對特稱命題與全稱命題真假的判斷．要判定一個全稱命題為真，必須對限定集合M中的每一個x驗證p(x)成立，要判定一個全稱命題為假，只需舉出一個反例即可；存在性命題的真假判定要在限定集合M中，能找到一個x＝x0，使q(x0)成立即可，否則這一命題為假．對于A選項：?x∈R，－x2－1<0恒成立，A正確；對于B選項：∵x2＋x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)>0恒成立，∴不存在x0∈R，使xeq\o\al(2,0)＋x0＝－1，B錯誤；對于C選項：∵x2－x＋eq\f(1,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2，存在x0＝eq\f(1,2)，使xeq\o\al(2,0)－x0＋eq\f(1,4)＝0，C錯誤；對于D選項：y＝x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1>1，D錯誤．答案：A4．(2012年山西四校聯(lián)考)已知命題p：?x∈R，x2＋1<2x；命題q：若mx2－mx－1<0恒成立，則－4<m<0，那么 ()A．“非p”是假命題 B．q是真命題C．“p或q”為假命題 D．“p且q”為真命題解析：因為x2＋1<2x，即x2－2x＋1<0，也即(x－1)2<0，所以命題p為假；若mx2－mx－1<0恒成立，則須m＝0或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m<0，,Δ＝m2＋4m<0，))則－4<m≤0，所以命題q為假，故選C.答案：C5．(2012年安徽安慶月考)下列有關(guān)命題的說法正確的是 ()A．命題“若x2＝1，則x＝1”的否命題為“若x2＝1，則x≠1”B．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要而不充分條件C．命題“?x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是“?x∈R，均有x2＋x＋1<0”D．命題“若x＝y(tǒng)，則sinx＝siny”的逆否命題為真命題解析：對于A，注意到一個命題的否命題是將其題設(shè)與結(jié)論分別進行否定所形成的新命題，命題“若x2＝1，則x＝1”的否命題是“若x2≠1，則x≠1”，因此A不正確．對于B，當(dāng)x＝－1時，x2－5x－6＝0，因此“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的充分條件，B不正確．對于C，命題“?x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是“?x∈R，均有x2＋x＋1≥0”，因此C不正確．對于D，由于命題“若x＝y(tǒng)，則sinx＝siny”是真命題，因此其逆否命題也是真命題(注：互為逆否的兩個命題的真假性一致)，D正確．綜上所述，選D.答案：D6．(2012年河北正定中學(xué)高三第2次月考)“非空集合M不是P的子集”的充要條件是 ()A．?x∈M，x?PB．?x∈P，x∈MC．?x1∈M，x1∈P又?x2∈M，x2?PD．?x0∈M，x0?P解析：由子集的定義可知?x∈M，x∈P，故其否定為答案D.答案：D二、填空題7．“若a?M或a?P，則a?M∩P”的逆否命題是________．解析：命題“若p則q”的逆否命題是“若非q則非p”，本題中“a?M或a?P”的否定是“a∈M且a∈P”．答案：若a∈M∩P，則a∈M且a∈P8．(2012年揚州月考)若命題“?x∈R，x2＋(a－1)x＋1<0”是假命題，則實數(shù)a的取值范圍是________．解析：命題“?x∈R，x2＋(a－1)x＋1<0”是假命題，則“?x∈R，x2＋(a－1)x＋1≥0”是真命題，所以Δ＝(a－1)2－4≤0，解得－1≤a≤3.答案：[－1,3]9．已知下列命題：①命題“?x∈R，x2＋1>3x”的否定是“?x∈R，x2＋1<3x”；②已知p，q為兩個命題，若“p∨q”為假命題，則“(非p)∧(非q)為真命題”；③“a>2”是“a>5”的充分不必要條件；④“若xy＝0，則x＝0且y＝0”的逆否命題為真命題．其中所有真命題的序號是________．解析：命題“?x∈R，x2＋1>3x”的否定是“?x∈R，x2＋1≤3x”，故①錯；“p∨q”為假命題說明p假q假，則(非p)∧(非q)為真命題，故②正確；a>5?a>2，但a>2?/a>5，故“a>2”是“a>5”的必要不充分條件，故③錯；因為“若xy＝0，則x＝0或y＝0”，所以原命題為假命題，故其逆否命題也為假命題，故④錯．答案：②三、解答題10．寫出下列命題的否定，并判斷真假．(1)?x0∈R，xeq\o\al(2,0)－4＝0；(2)?T＝2kπ(k∈Z)，sin(x＋T)＝sinx；(3)集合A是集合A∪B或A∩B的子集；(4)a，b是異面直線，?A∈a，B∈b，使AB⊥a，AB⊥b.解：它們的否定及其真假分別為：(1)?x∈R，x2－4≠0(假命題)．(2)?T0＝2kπ(k∈Z)，sin(x＋T0)≠sinx(假命題)．(3)存在集合A既不是集合A∪B的子集，也不是A∩B的子集(假命題)．(4)a，b是異面直線，?A∈a，B∈b，有AB既不垂直于a，也不垂直于b(假命題)．11．已知c>0，且c≠1，設(shè)p：函數(shù)y＝cx在R上遞減；q：函數(shù)f(x)＝x2－2cx－1在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上為增函數(shù)，若“p且q”為假，“p或q”為真，求實數(shù)c的取值范圍．解：若p為真，則0<c<1；若q為真，則二次函數(shù)的對稱軸x＝c在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))的左側(cè)，即c≤eq\f(1,2).因為“p且q”為假，“p或q”為真，所以“p真q假”或“p假q真”，當(dāng)“p真q假”時，c的取值范圍為{c|eq\f(1,2)<c<1}；當(dāng)“p假q真”時，c無解．所以實數(shù)c的取值范圍為{c|eq\f(1,2)<c<1}．12．(2012年湖南湘西聯(lián)考)已知命題p：方程2x2＋ax－a2＝0在[－1,1]上有解：命題q：只有一個實數(shù)x0滿足不等式xeq\o\al(2,0)＋2ax0＋2a≤0，若命題“p或q”是假命題，求a的取值范圍．解：由2x2＋ax－a2＝0得(2x－a)(x＋a)＝0，∴x＝eq\f(a,2)或x＝－a，∴當(dāng)命題p為真命題時，|eq\f(a,2)|≤1或|－a|≤1，∴|a|≤2.又“只有一個實數(shù)x0滿足xeq\o\al(2,0)＋2ax0＋2a≤0”，即拋物線y＝x2＋2ax＋2a與x軸只有一個交點，∴Δ＝4a2－8a＝0，∴a＝0或∴當(dāng)命題q為真命題時，a＝0或a＝2.∴命題“p或q”為真命題時，|a|≤2.∵命題“p或q”為假命題，∴a>2或a<－2，即a的取值范圍為{a|a>2或a<－2}．[熱點預(yù)測]13．下列說法錯誤的是 ()A．如果命題“非p”與命題“p∨q”都是真命題，那么命題q一定是真命題B．命題“若a＝0，則ab＝0”的否命