陜西省安康市中考指導(dǎo)課件 第7講 一元二次方程

數(shù)學(xué)第二章方程與不等式第7講一元二次方程要點(diǎn)梳理

1．定義只含有

，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是__，這樣的整式方程叫做一元二次方程．通?？蓪懗扇缦碌囊话阈问剑海渲衋，b，c分別叫做二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項．一個未知數(shù)2ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是已知數(shù)，a≠0)要點(diǎn)梳理

2．解法首先考慮，；其次考慮，．3．公式：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式：

．直接開平方法因式分解法配方法公式法要點(diǎn)梳理

4．一元二次方程的根的判別式對于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)：(1)b2－4ac＞0?方程有兩個

的實數(shù)根；(2)b2－4ac＝0?方程有兩個

的實數(shù)根；(3)b2－4ac＜0?方程

實數(shù)根．不相等相等沒有要點(diǎn)梳理

5．一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩根分別為x1，x2，則有x1＋x2＝

，x1x2＝

．轉(zhuǎn)化思想一元二次方程的解法——直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法，都是運(yùn)用了“轉(zhuǎn)化”的思想，把待解決的問題(一元二次方程)，通過轉(zhuǎn)化、歸結(jié)為已解決的問題(一元一次方程)，也就是不斷地把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”．一個注意注意：(1)根的判別式“b2－4ac”只有在確認(rèn)方程為一元二次方程時才能使用；(2)使用時，必須將一元二次方程轉(zhuǎn)化為一般式ax2＋bx＋c＝0，以便確定a，b，c的值．一個防范正確理解“方程有實根”的含義．若有一個實數(shù)根則原方程為一元一次方程；若有兩個實數(shù)根則原方程為一元二次方程．在解題時，要特別注意“方程有實數(shù)根”“有兩個實數(shù)根”等關(guān)鍵文字，挖掘出它們的隱含條件，以免陷入關(guān)鍵字的“陷阱”．一元二次方程的解法

【例1】解下列方程：(1)x2－2x＝0；解：(1)x2－2x＝0，x(x－2)＝0，∴x1＝0，x2＝2(2)(2014·徐州)x2＋4x－1＝0；(3)(y＋3)(1－3y)＝1＋2y2；(4)(3x＋5)2－5(3x＋5)＋4＝0；(5)(1997－x)2＋(x－1996)2＝1.解法一：(1997－x)2＋(x－1996)2－1＝0，(1997－x)2＋(x－1997)(x－1995)＝0，(x－1997)[(x－1997)＋(x－1995)]＝0，2(x－1997)(x－1996)＝0，x1＝1997，x2＝1996

解法二：因為(1997－x)2＋(x－1996)2＝[(1997－x)＋(x－1996)]2－2(1997－x)(x－1996)，所以原方程可化為1－2(1997－x)(x－1996)＝1，2(1997－x)(x－1996)＝0，x1＝1997，x2＝1996【點(diǎn)評】解一元二次方程要根據(jù)方程的特點(diǎn)選擇合適的方法解題，但一般順序為：直接開平方法→因式分解法→公式法．1．用指定的方法解下列方程：(1)(2x－1)2＝9；(直接開平方法)(2)x2＋3x－4＝0；(配方法)(3)x2－2x－8＝0；(因式分解法)(4)x(x＋1)＋2(x－1)＝0.(公式法)x2－2x－8＝0，(x－4)(x＋2)＝0，x1＝4，x2＝－2

一元二次方程根的判別式

【例3】

(2014·深圳)下列方程沒有實數(shù)根的是()A．x2＋4x＝10B．3x2＋8x－3＝0C．x2－2x＋3＝0D．(x－2)(x－3)＝12C【點(diǎn)評】對于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情況的描述，必須借助根的判別式，Δ≥0方程有兩個實數(shù)根，Δ＞0方程有兩個不相等的實數(shù)根，Δ＝0方程有兩個相等的實數(shù)根，Δ＜0方程沒有實數(shù)根，反之亦然．3．(1)(2014·內(nèi)江)若關(guān)于x的一元二次方程(k－1)x2＋2x－2＝0有兩個不相等實數(shù)根，則k的取值范圍是(

)

A．k＞12

B．k≥12

C．k＞12且k≠1

D．k≥12且k≠1

C(2)(2014·十堰)已知關(guān)于x的一元二次方程x2＋2(m＋1)x＋m2－1＝0.①若方程有實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍；②若方程兩實數(shù)根分別為x1，x2，且滿足(x1－x2)2＝16－x1x2，求實數(shù)m的值．解：①由題意有Δ＝[2(m＋1)]2－4(m2－1)≥0，整理得8m＋8≥0，解得m≥－1，∴實數(shù)m的取值范圍是m≥－1②由兩根關(guān)系，得x1＋x2＝－2(m＋1)，x1·x2＝m2－1，(x1－x2)2＝16－x1x2，(x1＋x2)2－3x1x2－16＝0，∴[－2(m＋1)]2－3(m2－1)－16＝0，∴m2＋8m－9＝0，解得m＝－9或m＝1.∵m≥－1，∴m＝1剖析(1)解方程3x(x＋2)＝5(x＋2)時，方程兩邊同時除以含x的代數(shù)式破壞了方程的同解性，遺失了一個根x＝－2；解方程9x2＋6x＋1＝9，在開平方時，由于只取了一個算術(shù)平方根，這樣就把未知數(shù)的取值范圍縮小了，遺失了一個根；解方程x2－2x＋1＝0時，解得的結(jié)果應(yīng)寫成x1＝x2＝1.(2)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的判