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2023-2023學(xué)年江蘇省無錫市宜興市八年級(上)期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題1.下面有4個汽車標(biāo)志圖案,其中是軸對稱圖形的有()A.1個 B.2個 C.3個 D.4個2.下列各式中,正確的是()A.=﹣2 B.=9 C.=±3 D.±=±33.如圖,∠CAB=∠DBA,再添加一個條件,不一定能判定△ABC≌△BAD的是()A.AC=BD B.∠1=∠2 C.AD=BC D.∠C=∠D4.下列命題中,正確的是()A.有理數(shù)和數(shù)軸上的點一一對應(yīng)B.到角兩邊距離相等的點在這個角的平分線上C.全等的兩個圖形一定成軸對稱D.實數(shù)不是有理數(shù)就是無理數(shù)5.已知等腰三角形的兩邊長分別為a、b,且a、b滿足+(2a+3b﹣13)2=0,則此等腰三角形的周長為()A.7或8 B.6或1O C.6或7 D.7或106.在下列長度的各組線段中,能構(gòu)成直角三角形的是()A.3,5,9 B.1,,2 C.4,6,8 D.,,7.如圖,Rt△ABC中,AB=9,BC=6,∠B=90°,將△ABC折疊,使A點與BC的中點D重合,折痕為MN,則線段BN的長為()A. B. C.4 D.58.已知:如圖,BD為△ABC的角平分線,且BD=BC,E為BD延長線上的一點,BE=BA,過E作EF⊥AB,F(xiàn)為垂足.下列結(jié)論:①△ABD≌△EBC;②∠BCE+∠BCD=180°;③AD=AE=EC;④BA+BC=2BF.其中正確的是()A.①②③ B.①③④ C.①②④ D.①②③④二、填空題9.的平方根是;的立方根是﹣;立方根等于本身的數(shù)為.10.若一個正數(shù)的兩個不同的平方根為2m﹣6與m+3,則m為;這個正數(shù)為.?dāng)?shù)a、b滿足,則=.11.(1)若等腰三角形有一外角為100°,則它的底角為度;(2)若直角三角形兩邊長為3和4,則斜邊上的中線為.12.如圖,△OAD≌△OBC,且∠O=72°,∠C=20°,則∠AEB=°.13.如圖,a∥b,點A在直線a上,點C在直線b上,∠BAC=90°,AB=AC,若∠1=20°,則∠2的度數(shù)為.14.如圖,OP平分∠AOB,PB⊥OB,OA=8cm,PB=3cm,則△POA的面積等于cm2.15.如圖,一圓柱高8cm,底面半徑為cm,一只螞蟻從點A爬到點B處吃食,要爬行的最短路程是cm.16.如圖,在矩形ABCD中,AB=8,BC=10,E是AB上一點,將矩形ABCD沿CE折疊后,點B落在AD邊的F點,則BE的長為.17.如圖,△ABC中,AB=AC=13,BC=10,AD是BC邊上的中線,F(xiàn)是AD上的動點,E是AC邊上的動點,則CF+EF的最小值為.18.如圖,在△ABC中,AD為∠CAB平分線,BE⊥AD于E,EF⊥AB于F,∠DBE=∠C=15°,AF=2,則BF=.19.如圖,點P、Q是邊長為4cm的等邊△ABC邊AB、BC上的動點,點P從頂點A出發(fā),沿線段AB運(yùn)動,點Q從頂點B出發(fā),沿線段BC運(yùn)動,且它們的速度都為1cm/s,連接AQ、CP交于點M,在P、Q運(yùn)動的過程中,假設(shè)運(yùn)動時間為t秒,則當(dāng)t=時,△PBQ為直角三角形.三、解答題20.(1)(2)(x+1)2﹣3=0(3)3x3+4=﹣20.21.已知5x﹣1的算術(shù)平方根是3,4x+2y+1的立方根是1,求4x﹣2y的平方根.22.已知:如圖,在△ABC、△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE,點C、D、E三點在同一直線上,連接BD.求證:(1)△BAD≌△CAE;(2)試猜想BD、CE有何特殊位置關(guān)系,并證明.23.如圖,方格紙上畫有AB、CD兩條線段,按下列要求作圖(不保留作圖痕跡,不要求寫出作法)(1)請你在圖(1)中畫出線段AB關(guān)于CD所在直線成軸對稱的圖形;(2)請你在圖(2)中添上一條線段,使圖中的3條線段組成一個軸對稱圖形,請畫出所有情形.24.如圖,△ABC中,AD⊥BC,EF垂直平分AC,交AC于點F,交BC于點E,且BD=DE.(1)若∠BAE=40°,求∠C的度數(shù);(2)若△ABC周長13cm,AC=6cm,求DC長.25.【背景介紹】勾股定理是幾何學(xué)中的明珠,充滿著魅力.千百年來,人們對它的證明趨之若騖,其中有著名的數(shù)學(xué)家,也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者.向常春在1994年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個新的證法.【小試牛刀】把兩個全等的直角三角形如圖1放置,其三邊長分別為a、b、c.顯然,∠DAB=∠B=90°,AC⊥DE.請用a、b、c分別表示出梯形ABCD、四邊形AECD、△EBC的面積,再探究這三個圖形面積之間的關(guān)系,可得到勾股定理:S梯形ABCD=,S△EBC=,S四邊形AECD=,則它們滿足的關(guān)系式為,經(jīng)化簡,可得到勾股定理.【知識運(yùn)用】(1)如圖2,鐵路上A、B兩點(看作直線上的兩點)相距40千米,C、D為兩個村莊(看作兩個點),AD⊥AB,BC⊥AB,垂足分別為A、B,AD=25千米,BC=16千米,則兩個村莊的距離為千米(直接填空);(2)在(1)的背景下,若AB=40千米,AD=24千米,BC=16千米,要在AB上建造一個供應(yīng)站P,使得PC=PD,請用尺規(guī)作圖在圖2中作出P點的位置并求出AP的距離.【知識遷移】借助上面的思考過程與幾何模型,求代數(shù)式的最小值(0<x<16)26.在△ABC中,AB=17,BC=21,AC=10,動點P從點C出發(fā),沿著CB運(yùn)動,速度為每秒3個單位,到達(dá)點B時運(yùn)動停止,設(shè)運(yùn)動時間為t秒,請解答下列問題:(1)求BC上的高;(2)當(dāng)t為何值時,△ACP為等腰三角形?27.如圖,已知△ABC中,AB=AC=6cm,BC=4cm,點D為AB的中點.(1)如果點P在線段BC上以1cm/s的速度由點B向點C運(yùn)動,同時,點Q在線段CA上由點C向點A運(yùn)動.①若點Q的運(yùn)動速度與點P的運(yùn)動速度相等,經(jīng)過1秒后,△BPD與△CPQ是否全等,請說明理由.②若點Q的運(yùn)動速度與點P的運(yùn)動速度不相等,當(dāng)點Q的運(yùn)動速度為cm/s時,在某一時刻也能夠使△BPD與△CPQ全等.(2)若點Q以②中的運(yùn)動速度從點C出發(fā),點P以原來的運(yùn)動速度從點B同時出發(fā),都逆時針沿△ABC的三邊運(yùn)動.求經(jīng)過多少秒后,點P與點Q第一次相遇,并寫出第一次相遇點在△ABC的哪條邊上?2023-2023學(xué)年江蘇省無錫市宜興市八年級(上)期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題1.下面有4個汽車標(biāo)志圖案,其中是軸對稱圖形的有()A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【考點】軸對稱圖形.【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念結(jié)合4個汽車標(biāo)志圖案的形狀求解.【解答】解:由軸對稱圖形的概念可知第1個,第2個,第3個都是軸對稱圖形.第4個不是軸對稱圖形,是中心對稱圖形.故是軸對稱圖形的有3個.故選C.2.下列各式中,正確的是()A.=﹣2 B.=9 C.=±3 D.±=±3【考點】算術(shù)平方根.【分析】根據(jù)開平方、完全平方,二次根式的化簡的知識分別計算各選項,然后對比即可得出答案.【解答】解:A、=2,故本選項錯誤;B、=3,故本選項錯誤;C、=3,故本選項錯誤;D、=±3,故本選項正確;故選D.3.如圖,∠CAB=∠DBA,再添加一個條件,不一定能判定△ABC≌△BAD的是()A.AC=BD B.∠1=∠2 C.AD=BC D.∠C=∠D【考點】全等三角形的判定.【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理(SAS,ASA,AAS,SSS)判斷即可.【解答】解:A、∵AC=BD,∠CAB=∠DBA,AB=AB,∴根據(jù)SAS能推出△ABC≌△BAD,故本選項錯誤;B、∵∠CAB=∠DBA,AB=AB,∠1=∠2,∴根據(jù)ASA能推出△ABC≌△BAD,故本選項錯誤;C、根據(jù)AD=BC和已知不能推出△ABC≌△BAD,故本選項正確;D、∵∠C=∠D,∠CAB=∠DBA,AB=AB,∴根據(jù)AAS能推出△ABC≌△BAD,故本選項錯誤;故選C.4.下列命題中,正確的是()A.有理數(shù)和數(shù)軸上的點一一對應(yīng)B.到角兩邊距離相等的點在這個角的平分線上C.全等的兩個圖形一定成軸對稱D.實數(shù)不是有理數(shù)就是無理數(shù)【考點】命題與定理.【分析】利用有關(guān)的性質(zhì)、定義及定理逐一判斷后即可得到正確的結(jié)論.【解答】解:A、實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng),故錯誤;B、同一平面內(nèi),到角的兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上,故錯誤;C、全等的兩個圖形不一定成軸對稱,故錯誤;D、實數(shù)不是有理數(shù)就是無理數(shù),故正確;故選D.5.已知等腰三角形的兩邊長分別為a、b,且a、b滿足+(2a+3b﹣13)2=0,則此等腰三角形的周長為()A.7或8 B.6或1O C.6或7 D.7或10【考點】等腰三角形的性質(zhì);非負(fù)數(shù)的性質(zhì):偶次方;非負(fù)數(shù)的性質(zhì):算術(shù)平方根;解二元一次方程組;三角形三邊關(guān)系.【分析】先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a,b的值,再分兩種情況確定第三邊的長,從而得出三角形的周長.【解答】解:∵+(2a+3b﹣13)2=0,∴,解得,當(dāng)a為底時,三角形的三邊長為2,3,3,則周長為8;當(dāng)b為底時,三角形的三邊長為2,2,3,則周長為7;綜上所述此等腰三角形的周長為7或8.故選:A.6.在下列長度的各組線段中,能構(gòu)成直角三角形的是()A.3,5,9 B.1,,2 C.4,6,8 D.,,【考點】勾股定理的逆定理.【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理:如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方,那么這個是直角三角形判定則可.如果有這種關(guān)系,就是直角三角形,沒有這種關(guān)系,就不是直角三角形.【解答】解:A、32+52≠92,故不是直角三角形,錯誤;B、12+()2=22,故是直角三角形,正確;C、42+62≠82,故不是直角三角形,錯誤;D、()2+()2≠()2,故不是直角三角形,錯誤.故選B.7.如圖,Rt△ABC中,AB=9,BC=6,∠B=90°,將△ABC折疊,使A點與BC的中點D重合,折痕為MN,則線段BN的長為()A. B. C.4 D.5【考點】翻折變換(折疊問題).【分析】設(shè)BN=x,則由折疊的性質(zhì)可得DN=AN=9﹣x,根據(jù)中點的定義可得BD=3,在Rt△BDN中,根據(jù)勾股定理可得關(guān)于x的方程,解方程即可求解.【解答】解:設(shè)BN=x,由折疊的性質(zhì)可得DN=AN=9﹣x,∵D是BC的中點,∴BD=3,在Rt△BDN中,x2+32=(9﹣x)2,解得x=4.故線段BN的長為4.故選:C.8.已知:如圖,BD為△ABC的角平分線,且BD=BC,E為BD延長線上的一點,BE=BA,過E作EF⊥AB,F(xiàn)為垂足.下列結(jié)論:①△ABD≌△EBC;②∠BCE+∠BCD=180°;③AD=AE=EC;④BA+BC=2BF.其中正確的是()A.①②③ B.①③④ C.①②④ D.①②③④【考點】全等三角形的判定與性質(zhì).【分析】易證△ABD≌△EBC,可得∠BCE=∠BDA,AD=EC可得①②正確,再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可求得∠DAE=∠DCE,即③正確,根據(jù)③可求得④正確.【解答】解:①∵BD為△ABC的角平分線,∴∠ABD=∠CBD,∴在△ABD和△EBC中,,∴△ABD≌△EBC(SAS),…①正確;②∵BD為△ABC的角平分線,BD=BC,BE=BA,∴∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA,∵△ABD≌△EBC,∴∠BCE=∠BDA,∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°,…②正確;③∵∠BCE=∠BDA,∠BCE=∠BCD+∠DCE,∠BDA=∠DAE+∠BEA,∠BCD=∠BEA,∴∠DCE=∠DAE,∴△ACE為等腰三角形,∴AE=EC,∵△ABD≌△EBC,∴AD=EC,∴AD=AE=EC.…③正確;④過E作EG⊥BC于G點,∵E是BD上的點,∴EF=EG,∵在RT△BEG和RT△BEF中,,∴RT△BEG≌RT△BEF(HL),∴BG=BF,∵在RT△CEG和RT△AFE中,,∴RT△CEG≌RT△AFE(HL),∴AF=CG,∴BA+BC=BF+FA+BG﹣CG=BF+BG=2BF.…④正確.故選D.二、填空題9.的平方根是±2;﹣的立方根是﹣;立方根等于本身的數(shù)為0和±1.【考點】立方根;平方根.【分析】根據(jù)平方根、立方根的定義逐個求出即可.【解答】解:的平方根是±2,﹣的立方根是﹣,立方根等于它本身的數(shù)是0和±1,故答案為:±2,﹣,0和±1.10.若一個正數(shù)的兩個不同的平方根為2m﹣6與m+3,則m為1;這個正數(shù)為16.?dāng)?shù)a、b滿足,則=1.【考點】非負(fù)數(shù)的性質(zhì):算術(shù)平方根;非負(fù)數(shù)的性質(zhì):絕對值;平方根.【分析】根據(jù)平方根的概念列式求出m的值,根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a、b的值,計算即可.【解答】解:由題意得,2m﹣6+m+3=0,解得,m=1,m+3=4,則這個正數(shù)是16,a+2=0,b﹣4=0,解得,a=﹣2,b=4,則=1,故答案為:1;14;1.11.(1)若等腰三角形有一外角為100°,則它的底角為80或50度;(2)若直角三角形兩邊長為3和4,則斜邊上的中線為2.5或2.【考點】等腰三角形的性質(zhì);直角三角形斜邊上的中線;勾股定理.【分析】(1)等腰三角形的一個外角等于100°,則等腰三角形的一個內(nèi)角為80°,但已知沒有明確此角是頂角還是底角,所以應(yīng)分兩種情況進(jìn)行分類討論.(2)分4是斜邊時和4是直角邊時,利用勾股定理列式求出斜邊,然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答.【解答】解:(1)∵等腰三角形的一個外角等于100°,∴等腰三角形的一個內(nèi)角為80°,①當(dāng)80°為頂角時,其他兩角都為50°、50°,②當(dāng)80°為底角時,其他兩角為80°、20°,所以等腰三角形的底角可以是50°,也可以是80°.(2)4是斜邊時,此直角三角形斜邊上的中線長=×4=2,4是直角邊時,斜邊==5,此直角三角形斜邊上的中線長=×5=2.5,綜上所述,此直角三角形斜邊上的中線為2.5或2.故答案為:80或50;2.5或2.12.如圖,△OAD≌△OBC,且∠O=72°,∠C=20°,則∠AEB=112°.【考點】全等三角形的性質(zhì).【分析】根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠C=∠D,然后根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和列式計算即可得解.【解答】解:∵△OAD≌△OBC,∴∠C=∠D=20°,在△AOD中,∠CAE=∠D+∠O=20°+72°=92°,在△ACE中,∠AEB=∠C+∠CAE=20°+92°=112°.故答案為:112.13.如圖,a∥b,點A在直線a上,點C在直線b上,∠BAC=90°,AB=AC,若∠1=20°,則∠2的度數(shù)為65°.【考點】平行線的性質(zhì);等腰直角三角形.【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出∠ACB,求出∠ACM,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠2=∠ACM,代入求出即可.【解答】解:∵∠BAC=90°,AB=AC,∴∠ACB=∠B=45°,∵∠1=20°,∴∠ACM=20°+45°=65°,∵直線a∥直線b,∴∠2=∠ACM=65°,故答案為:65°.14.如圖,OP平分∠AOB,PB⊥OB,OA=8cm,PB=3cm,則△POA的面積等于12cm2.【考點】角平分線的性質(zhì).【分析】過點P作PD⊥OA于點D,根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出PD的長,再由三角形的面積公式即可得出結(jié)論.【解答】解:過點P作PD⊥OA于點D,∵OP平分∠AOB,PB⊥OB,PB=3cm,∴PD=PB=3cm,∵OA=8cm,∴S△POA=OA?PD=×8×3=12cm2.故答案為:12.15.如圖,一圓柱高8cm,底面半徑為cm,一只螞蟻從點A爬到點B處吃食,要爬行的最短路程是10cm.【考點】平面展開-最短路徑問題.【分析】此題最直接的解法,就是將圓柱展開,然后利用兩點之間線段最短解答.【解答】解:底面圓周長為2πr,底面半圓弧長為πr,即半圓弧長為:×2π×=6(cm),展開得:∵BC=8cm,AC=6cm,根據(jù)勾股定理得:AB==10(cm).故答案為:10.16.如圖,在矩形ABCD中,AB=8,BC=10,E是AB上一點,將矩形ABCD沿CE折疊后,點B落在AD邊的F點,則BE的長為.【考點】翻折變換(折疊問題).【分析】首先求出DF的長度,進(jìn)而求出AF的長度;根據(jù)勾股定理列出關(guān)于線段BE的方程即可解決問題.【解答】解:由題意得:FC=BC=10,BE=EF(設(shè)為x);∵四邊形ABCD為矩形,∴∠D=90°,DC=BC=8,由勾股定理得:DF2=102﹣82=16,∴DF=4,AF=10﹣4=6;由勾股定理得:EF2=AE2+AF2,即x2=(8﹣x)2+62解得:x=,故該題答案為.17.如圖,△ABC中,AB=AC=13,BC=10,AD是BC邊上的中線,F(xiàn)是AD上的動點,E是AC邊上的動點,則CF+EF的最小值為.【考點】軸對稱-最短路線問題;等腰三角形的性質(zhì).【分析】作E關(guān)于AD的對稱點M,連接CM交AD于F,連接EF,過C作CN⊥AB于N,根據(jù)三線合一定理求出BD的長和AD⊥BC,根據(jù)勾股定理求出AD,根據(jù)三角形面積公式求出CN,根據(jù)對稱性質(zhì)求出CF+EF=CM,根據(jù)垂線段最短得出CF+EF≥,即可得出答案.【解答】解:作E關(guān)于AD的對稱點M,連接CM交AD于F,連接EF,過C作CN⊥AB于N,∵AB=AC=13,BC=10,AD是BC邊上的中線,∴BD=DC=5,AD⊥BC,AD平分∠BAC,∴M在AB上,在Rt△ABD中,由勾股定理得:AD==12,∴S△ABC=×BC×AD=×AB×CN,∴CN===,∵E關(guān)于AD的對稱點M,∴EF=FM,∴CF+EF=CF+FM=CM,根據(jù)垂線段最短得出:CM≥CN,即CF+EF≥,即CF+EF的最小值是,故答案為:.18.如圖,在△ABC中,AD為∠CAB平分線,BE⊥AD于E,EF⊥AB于F,∠DBE=∠C=15°,AF=2,則BF=6.【考點】含30度角的直角三角形;等腰三角形的判定與性質(zhì).【分析】先由垂直的定義及三角形內(nèi)角和定理得出∠BDA=75°,根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠DAC=60°,再由角平分線定義求得∠BAD=60°,則∠FEA=30°,根據(jù)在直角三角形中,30°角所對的直角邊等于斜邊的一半,得到EF=2,再求出∠FBE=30°,進(jìn)而得出BF=EF=6.【解答】解:∠DBE=15°,∠BED=90°,∴∠BDA=75°,∵∠BDA=∠DAC+∠C,而∠C=15°,∴∠DAC=60°,∵AD為∠CAB平分線,∴∠BAD=∠DAC=60°,∵EF⊥AB于F,∴∠FEA=30°,∵AF=2,∴EF=2,∵∠FEB=60°,∴∠FBE=30°,∴BF=EF=6.故答案為6.19.如圖,點P、Q是邊長為4cm的等邊△ABC邊AB、BC上的動點,點P從頂點A出發(fā),沿線段AB運(yùn)動,點Q從頂點B出發(fā),沿線段BC運(yùn)動,且它們的速度都為1cm/s,連接AQ、CP交于點M,在P、Q運(yùn)動的過程中,假設(shè)運(yùn)動時間為t秒,則當(dāng)t=秒或秒時,△PBQ為直角三角形.【考點】等邊三角形的性質(zhì).【分析】假設(shè)運(yùn)動時間為t秒,則AP=BQ=tcm,PB=(4﹣t)cm,當(dāng)∠PQB=90°時,因為∠B=60°,所以PB=2BQ,即4﹣t=2t故可得出t的值,當(dāng)∠BPQ=90°時,同理可得BQ=2BP,即t=2(4﹣t),由此兩種情況即可得出結(jié)論.【解答】解:假設(shè)運(yùn)動時間為t秒,則AP=BQ=tcm,PB=(4﹣t)cm,當(dāng)∠PQB=90°時,∵∠B=60°,∴PB=2BQ,即4﹣t=2t,t=,當(dāng)∠BPQ=90°時,∵∠B=60°,∴BQ=2BP,得t=2(4﹣t),t=,∴當(dāng)t=秒或秒時,△PBQ為直角三角形.故答案為:秒或秒.三、解答題20.(1)(2)(x+1)2﹣3=0(3)3x3+4=﹣20.【考點】實數(shù)的運(yùn)算;平方根;立方根;零指數(shù)冪.【分析】(1)直接利用絕對值以及二次根式和立方根的性質(zhì)、零指數(shù)冪的性質(zhì)分別化簡求出答案;(2)直接利用平方根的定義分析得出答案;(3)直接利用立方根的定義分析得出答案.【解答】解:(1)=3+﹣1+2﹣1=3+;(2)(x+1)2﹣3=0x+1=±,解得:x1=﹣1+,x2=﹣1﹣;(3)3x3+4=﹣203x3=﹣24,則x3=﹣8,解得:x=﹣2.21.已知5x﹣1的算術(shù)平方根是3,4x+2y+1的立方根是1,求4x﹣2y的平方根.【考點】立方根;平方根;算術(shù)平方根.【分析】根據(jù)算術(shù)平方根、立方根的定義求出x、y的值,求出4x﹣2y的值,再根據(jù)平方根定義求出即可.【解答】解:∵5x﹣1的算術(shù)平方根為3,∴5x﹣1=9,∴x=2,∵4x+2y+1的立方根是1,∴4x+2y+1=1,∴y=﹣4,4x﹣2y=4×2﹣2×(﹣4)=16,∴4x﹣2y的平方根是±4.22.已知:如圖,在△ABC、△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE,點C、D、E三點在同一直線上,連接BD.求證:(1)△BAD≌△CAE;(2)試猜想BD、CE有何特殊位置關(guān)系,并證明.【考點】全等三角形的判定與性質(zhì).【分析】要證(1)△BAD≌△CAE,現(xiàn)有AB=AC,AD=AE,需它們的夾角∠BAD=∠CAE,而由∠BAC=∠DAE=90°很易證得.(2)BD、CE有何特殊位置關(guān)系,從圖形上可看出是垂直關(guān)系,可向這方面努力.要證BD⊥CE,需證∠BDE=90°,需證∠ADB+∠ADE=90°可由直角三角形提供.【解答】(1)證明:∵∠BAC=∠DAE=90°∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+CAD即∠BAD=∠CAE,又∵AB=AC,AD=AE,∴△BAD≌△CAE(SAS).(2)BD、CE特殊位置關(guān)系為BD⊥CE.證明如下:由(1)知△BAD≌△CAE,∴∠ADB=∠E.∵∠DAE=90°,∴∠E+∠ADE=90°.∴∠ADB+∠ADE=90°.即∠BDE=90°.∴BD、CE特殊位置關(guān)系為BD⊥CE.23.如圖,方格紙上畫有AB、CD兩條線段,按下列要求作圖(不保留作圖痕跡,不要求寫出作法)(1)請你在圖(1)中畫出線段AB關(guān)于CD所在直線成軸對稱的圖形;(2)請你在圖(2)中添上一條線段,使圖中的3條線段組成一個軸對稱圖形,請畫出所有情形.【考點】作圖-軸對稱變換.【分析】(1)做BO⊥CD于點O,并延長到B′,使B′O=BO,連接AB即可;(2)軸對稱圖形沿某條直線折疊后,直線兩旁的部分能完全重合.【解答】解:所作圖形如下所示:24.如圖,△ABC中,AD⊥BC,EF垂直平分AC,交AC于點F,交BC于點E,且BD=DE.(1)若∠BAE=40°,求∠C的度數(shù);(2)若△ABC周長13cm,AC=6cm,求DC長.【考點】線段垂直平分線的性質(zhì).【分析】(1)根據(jù)線段垂直平分線和等腰三角形性質(zhì)得出AB=AE=CE,求出∠AEB和∠C=∠EAC,即可得出答案;(2)根據(jù)已知能推出2DE+2EC=7cm,即可得出答案.【解答】解:(1)∵AD垂直平分BE,EF垂直平分AC,∴AB=AE=EC,∴∠C=∠CAE,∵∠BAE=40°,∴∠AED=70°,∴∠C=∠AED=35°;(2)∵△ABC周長13cm,AC=6cm,∴AB+BE+EC=7cm,即2DE+2EC=7cm,∴DE+EC=DC=3.5cm.25.【背景介紹】勾股定理是幾何學(xué)中的明珠,充滿著魅力.千百年來,人們對它的證明趨之若騖,其中有著名的數(shù)學(xué)家,也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者.向常春在1994年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個新的證法.【小試牛刀】把兩個全等的直角三角形如圖1放置,其三邊長分別為a、b、c.顯然,∠DAB=∠B=90°,AC⊥DE.請用a、b、c分別表示出梯形ABCD、四邊形AECD、△EBC的面積,再探究這三個圖形面積之間的關(guān)系,可得到勾股定理:S梯形ABCD=a(a+b),S△EBC=b(a﹣b),S四邊形AECD=c2,則它們滿足的關(guān)系式為a(a+b)=b(a﹣b)+c2,經(jīng)化簡,可得到勾股定理.【知識運(yùn)用】(1)如圖2,鐵路上A、B兩點(看作直線上的兩點)相距40千米,C、D為兩個村莊(看作兩個點),AD⊥AB,BC⊥AB,垂足分別為A、B,AD=25千米,BC=16千米,則兩個村莊的距離為41千米(直接填空);(2)在(1)的背景下,若AB=40千米,AD=24千米,BC=16千米,要在AB上建造一個供應(yīng)站P,使得PC=PD,請用尺規(guī)作圖在圖2中作出P點的位置并求出AP的距離.【知識遷移】借助上面的思考過程與幾何模型,求代數(shù)式的最小值(0<x<16)【考點】四邊形綜合題.【分析】【小試牛刀】根據(jù)三角形的面積和梯形的面積就可表示出.【知識運(yùn)用】(1)連接CD,作CE⊥AD于點E,根據(jù)AD⊥AB,BC⊥AB得到BC=AE,CE=AB,從而得到DE=AD﹣AE=24﹣16=8千米,利用勾股定理求得CD兩地之間的距離.(2)連接CD,作CD的垂直平分線角AB于P,P即為所求;設(shè)AP=x千米,則BP=(40﹣x)千米,分別在Rt△APD和Rt△BPC中,利用勾股定理表示出CP和PD,然后通過PC=PD建立方程,解方程即可.【知識遷移】根據(jù)軸對稱﹣最短路線的求法即可求出.【解答】解:【小試牛刀】S梯形ABCD=a(a+b),S△EBC=b(a﹣b),S四邊形AECD=c2,它們滿足的關(guān)系式為:a(a+b)=b(a﹣b)+c2,答案為:a(a+b),b(a﹣b),c2,a(a+b)=b(a﹣b)+c2.【知識運(yùn)用】(1)如圖2①,連接CD,作CE⊥AD于點E,∵AD⊥AB,BC⊥AB,∴BC=AE,CE=AB,∴DE=AD﹣AE=25﹣16=9千米,∴CD===41(千米),∴兩個村莊相距41千米.故答案為:41.(2)如圖2②所示:設(shè)AP=x千米,則BP=(40﹣x)千米,在Rt△ADP中,DP2=AP2+AD2=x2+242,在Rt△BPC中,CP2=BP2+BC2=(40﹣x)2+162,∵PC=PD,∴x2+242=(40﹣x)2+162,解得x=16,即AP=16千米.【知識遷移】:如圖3,代數(shù)式+的最小值為:=20.26.在△ABC中,AB=17,BC=21,AC=10,動點P從點C出發(fā),沿著CB運(yùn)動,速度為每秒3個單位,到達(dá)點B時運(yùn)動停止,設(shè)運(yùn)動時間為t秒,請解答下列問題:(
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