電磁學通論 Chapter6 電磁感應

電磁學通論第6章

電磁感應

6.1法拉第電磁感應定律6.2動生電動勢、感生電動勢&渦旋電場6.3自感&互感

磁能6.4小環(huán)流與外磁場的相互作用能6.5電路暫態(tài)過程6.6超導電性本章概述一方面，由電磁感應定律引出動生電動勢和感生電動勢，由感生電動勢引出渦旋電場，進而給出渦旋電場的環(huán)路定理和通量定理；著眼于電路分析，引入電感線圈的自感系數(shù)和互感系數(shù)，以及自感電動勢和互感電動勢，以使電感線圈在電路中的電壓與電流的變化率直接聯(lián)系起來；同時，為討論磁場能量問題提供一個途徑。另一方面，電磁感應效應為電磁學應用開辟了一片新天地，諸如動生式直流發(fā)電機和交流發(fā)電機、感應爐和電磁爐、電子感應加速器，以及含（L、R、C）的暫態(tài)過程，在本章均有詳細論述。第三方面，有源小環(huán)流與無源小環(huán)流受到特別關注，包括其在磁場中所受的梯度力和力矩，及其與磁場的相互作用能，并與電偶極子作類比。本章最后論述超導電性，對其零電阻性、臨界溫度和臨界磁場、完全抗磁性、磁通量子化、超導結(jié)的隧道效應和約瑟夫森效應，以及庫珀對，均有較為認真的唯象描述。6.1法拉第電磁感應定律電磁感應現(xiàn)象法拉第的發(fā)現(xiàn)電磁感應定律楞次定律無源或有源線圈運動于非均勻磁場中

電磁感應現(xiàn)象電磁感應現(xiàn)象的演示，可采用上圖所示的裝置。實驗上發(fā)現(xiàn)，在以下幾種情形下，皆出現(xiàn)瞬時電流

i2于無源閉合回路

(L2)中：當有源回路(L1)中電鍵

K有所動作，或合上瞬間或斷開瞬間，將有瞬時電流i2。當(L1)中電流

I1(t

)有所變化，將有電流

i2；若

I1恒定，則

i2為零。當無源回路(L2)相對回路(L1)而運動，或移動或轉(zhuǎn)動或形變，在運動過程中將有電流

i2；反之，當回路(L1)相對(L2)而運動，也將有電流

i2，即便電流

I1保持恒定。若以永磁棒替代回路(L1)，當磁棒插入或拔出線圈(L2)瞬間，將出現(xiàn)瞬時電流i2；插入或拔出的速率越快，則i2值越大；若磁棒在線圈(L2)中不動，則i2為零。

以上出現(xiàn)于無源回路(L2)中的電流，被稱為感應電流或感生電流（inducedelectricalcurrent）。法拉第的發(fā)現(xiàn)英國物理學家M.法拉第于1831年8月29日發(fā)現(xiàn)了電磁感應現(xiàn)象，他在這一天日記中作了記述，大意如下：用軟鐵作成一個外徑約6英寸的鐵環(huán)，在此環(huán)的一半?yún)^(qū)段繞上許多匝銅線，稱其為A邊；在環(huán)的另一邊也繞上許多匝銅線，稱其為B邊，并將其兩端引向距鐵環(huán)3英尺處而構(gòu)成一回路，這里置放一根磁針；然后，將A邊線圈兩端聯(lián)接上伽伐尼電堆，此刻磁針有明顯的搖擺，最后又停在原位置上；當把A邊線圈與電池連線斷開時，那磁針又一次擺動；若將A邊幾段繞組串聯(lián)為一個線圈，重做以上實驗，則對磁針的效應比先前更增強。這是最早的一個電磁感應實驗，也可以說它是世界上第一個變壓器。他在長8英尺、直徑3/4英寸的空心紙筒上，繞上8層銅線圈而成為一個多層螺線管，且將這8層線圈并聯(lián)起來，再接到一電流計上；手持一條形磁棒其長為8.5英寸、直徑為3/4英寸，迅速插入那螺線管，出現(xiàn)電流計指針偏轉(zhuǎn)；然后將磁棒拔出，出現(xiàn)指針偏轉(zhuǎn)到相反方向；每次將磁棒插入或拔出時，上述效應均得以重復；然而，當磁棒停止在螺線管內(nèi)部，則指針不動。法拉第又在同年10月17日發(fā)現(xiàn)了另一種方式的電磁感應。制作了一直徑12英寸的銅盤，安裝在一水平黃銅軸上，再將一電流計的兩端用導線分別聯(lián)接到盤邊和盤軸上，還有一個強磁棒置放于銅盤鄰近；實驗時讓銅盤旋轉(zhuǎn)起來，電流計指針向西急偏；當銅盤反向旋轉(zhuǎn)，發(fā)現(xiàn)指針向東急偏；當銅盤持續(xù)穩(wěn)定旋轉(zhuǎn)，發(fā)現(xiàn)指針穩(wěn)定地偏轉(zhuǎn)。十一天以后，法拉第又設計了一個實驗可以說，法拉第的這個實驗是一個單極發(fā)電機的雛形。電磁感應定律

無源回路(L2)中感應電流的出現(xiàn)，表明在(L2)中存在一種新型的非靜電力Ki，是Ki推動導線中的自由電荷作定向運動，而形成

ii。相應地，在(L2)中存在一感應電動勢，?

在此必須指出，即使回路(L

)不閉合，這?i

依然存在，雖然ii為零，那是因為在Ki推動下形成電荷積累，從而自建一電場，E與Ki反向，直至E+Ki=0，達到平衡。

從眾多電磁感應效應的因果關系的研究中，提煉出一個對于電磁感應因果關系的一個最普遍的概括，即，當回路(L

)中的磁通有了變化，則出現(xiàn)一感應電動勢?i于這回路中，其數(shù)值正比于磁通的時間變化率dΦ/dt，其環(huán)繞方向即其正負號決定于(-dΦ/dt)。最終給出電磁感應定律的數(shù)學表達式為，?

[Φ]=Wb（韋伯）=T·m2（特斯拉米2），[?i]=V（伏特）.式中含有幾個量的

±號問題，茲作以下說明。磁通Φ有±號，由回路(L)的環(huán)繞方向按右手螺旋定則，來確定Φ=∫∫B·dS

的正負號，而回路方向的選擇系約定，是人為設定的；

dΦ/dt

有±

號，這由實際情況B(t)給定；而表達式中的負號，反映了一種規(guī)律性，永存不移。比如圖中，事先約定回路方向為逆時針轉(zhuǎn)向，而磁感B大體向上，則其Φ>0；當B(t)隨時間減弱，則dΦ/dt

<0；感應電動勢?i>0

，這意味著，若這回路由導線圍成而出現(xiàn)的感應電流ii，其環(huán)繞方向與當初設定的回路方向一致。當然，當初可以設定回路方向為順時針，則按以上規(guī)劃得目前情形下?i<0，這意味著感應電流ii的繞向依然為逆時針。

總之，為了計算?i，回路方向的事先選定是必要的，而回路方向選擇的隨意性，不會改變實際物理結(jié)果。實際情況下所發(fā)生的物理事件具有唯一性，不因數(shù)學手段或符號規(guī)則而變更。

楞次定律感應電流所產(chǎn)生的一切后果，必將反抗引起它的所有原因

俄國物理學家H.F.E.楞次1834年

這里所述的一切后果指稱，感應電流ii所伴隨的附加磁通Φi

和

ii載體所受到的安培力Fi及其機械運動，或移動、轉(zhuǎn)動和形變；這里所述的所有原因指稱，磁場的變化B(t)和相對運動。其實，法拉第在其一系列有關電磁感應的原創(chuàng)實驗中，對感應電流的方向也作過一定的記述，但多少顯得零散，未能概括出一個簡明的表述。楞次仔細分析了法拉第和他人的有關實驗結(jié)果，終于提煉出上述一個法則或判據(jù)。楞次定律有助于在較為復雜情況下快捷判定感應電流方向，尤其是判定感應電流載體的運動趨勢，而無需明了感應電流的細節(jié)。楞次定律的表述方式，體現(xiàn)了物理學一貫崇尚的思維方式和研究路線，即，探求一種盡可能簡單的表述，以說明盡可能多的物理現(xiàn)象或物理事件。又及，電磁感應定律的數(shù)學表達式，是1845年，F(xiàn).E.諾埃曼在法拉第和楞次的研究基礎上，通過理論分析而給出的，該式中

dΦ/dt前的負號，正是楞次定律所要求的。無源或有源線圈運動于非均勻磁場中當其以初速v朝右運動而趨向強磁場區(qū)時，其磁通增大，ΔΦ>0，于是便感應出一個電流

i，其方向應當如圖所示，以使附加磁通Φi反抗增長ΔΦ；這個載有i的線圈在磁場B中所受的安培力f’，按安培力判斷法得知f’方向朝左，與初速相反，阻礙線圈向右運動。若按楞次定律來分析，立馬得知這個線圈作為感應電流的載體必將受到一個初速v反向的安培力f’（向左）。若無外力作用以維持線圈勻速運動，則該線圈在f’阻礙下，逐漸減速，動能減少，同時線圈中產(chǎn)生了焦耳熱能，當然還有磁場能量參與交換。一無源線圈處于一個非勻磁場中同理，若無源線圈初速向左，則載有感應電流的該線圈，必將受到一個向右的磁場力

f’，如圖所示，這是楞次定律給出的結(jié)果，這與連環(huán)式順序分析

Φ、

dΦ、

-dΦ/dt、ii

所受的安培力

f’所得結(jié)論一致。設想，此時若

f’方向也朝左，則線圈的動能不斷得以增加，且磁場得以加強以致磁場能量也增加，這就違背了能量守恒法則

一個有源線圈被置放于一非勻磁場中

原有電流

I0，在外場

B作用下受安培力

F，驅(qū)使該線圈朝右運動，而趨向強磁場區(qū)；同時該線圈中出現(xiàn)了感應電動勢?i及相應的感應電流

i’，其環(huán)繞方向與I0相反，以削弱線圈磁通的增加；另一方面，與

i’相聯(lián)系的安培力

f’向左，一阻礙線圈朝右運動，但終究這有原線圈還是向右運動，且得以加速。

如此情勢，這有源線圈的動能持續(xù)增加，且線圈產(chǎn)生的磁場與外磁場方向在主要區(qū)域的一致性，使磁場能量也得以增加。那么，這兩部分能量的增加來自何方。

須知，置于磁場中的有源線圈與磁場組成的系統(tǒng)，是一非孤立系，它聯(lián)系著一個直流電源?。由于出現(xiàn)了與

I0反向的感應電流

i’，使線圈中的實際電流

i=(I0-i’)<I0，這導致直流電源?提供的功率i?，大于線圈中電阻

R

所消耗的焦耳熱功率

i2R

：

原本I0?=I0

2R，目前i<I0

，得

i?>i2R

正是這多余的功率ΔP=(i?-i2R)

，用以支持上述兩部分能量的增加。順便指出，從以上兩個例子關于能量變化的分析中，初步領略到伴隨感應電流而出現(xiàn)的能量轉(zhuǎn)化事宜，是比較復雜的。感應電流的磁效應、熱效應和力學效應，分別聯(lián)系著其磁場能量、熱能和機械能；若是有源線圈，又多了一個電源能參與能量交換。以后，將針對電磁感應的具體問題，對相關能量問題作出具體分析和定量考核。6.2動生電動勢

感生電動勢&渦旋電場引言動生電動勢從轉(zhuǎn)桿到轉(zhuǎn)盤動生式交流發(fā)電機原理感生電動勢&渦旋電場渦旋電場的環(huán)路定理&通量定理感應爐&電磁爐電子感應加速器討論——滿足“1/2條件”的一種可取的磁場分布引言

眾多電磁感應現(xiàn)象，就其產(chǎn)生感應電流的條件而言，可以進一步被區(qū)分為兩類。一類是磁場恒定，線圈或?qū)w運動于這恒定磁場中，由此產(chǎn)生的感應電動勢，稱其為動生電動勢，必要時記為?M，下角意為運動（motion）；另一類是磁場在變化，線圈或?qū)w不動，由此產(chǎn)生的感應電動勢，稱其為感生電動勢，必要時記為?C，下角意為渦旋（curl），這是因為與?C相應的非靜電力系渦旋電場

EC。當然，這兩種電動勢定量上均遵從法拉第電磁感應定律，即?

?

動生電動勢

由楞次定律可立馬推定，感應電流I的環(huán)繞方向為逆時針，以其向上的附加磁通

Φi，反抗回路向下磁通的增加。

對?M的演算如下。在t—t+dt

時間中，動邊位移vdt，回路面積增量為dS=lvdt，相應的磁通增量為dΦ=BdS=Blvdt

，要注意到以上這些量如此表示，已默認回路方向選為順時針。于是，求得這動生電動勢和感應電流分別為

?

（逆時針）；

（逆時針）?其實，動生電動勢所聯(lián)系的非靜電力KM，是由洛倫茲力FL提供的，相應的回路動生電動勢被普遍地表達為?目前情況而論，金屬桿l

中的自由電荷被金屬桿運動所挾持，也向右運動，從而受到一個磁場施予的洛倫茲力KM

，由

a端指向

b端，推動自由電荷作定向運動，一旦有了閉合回路(abcd)便形成逆時針環(huán)繞的電流

i。據(jù)此計算動生電動勢，

?這結(jié)果與采用磁通變化率計算的結(jié)果一致。動生電動勢的本源系洛倫茲力，準確地說，它系洛倫茲力的一個分力。

必須指出，上面式中的速度

v，相聯(lián)系的

KM

與

v正交，在

KM推動下，載流子又添加了一個沿金屬桿的漂移速度

v’，且

v’⊥v。于是，在實驗室參考系看來，運動導體內(nèi)部載流子的運動速度為

V=v+v’，故單位正電荷所受的洛倫茲力含兩部分，

姑且稱KM為動生非靜電力，K’為動感非靜電力。注意到在圖中，K’向左，即K’∥(-v)，表現(xiàn)為楞次阻力，這正是楞次定律所預言的。換言之，當金屬桿向右運動而產(chǎn)生一感應電流，同時受到一個向左的阻力，以致其運動速度隨時間而減慢，其動能漸少，轉(zhuǎn)化為回路中的焦耳熱能?；蛘撸靡煌饬?-F’)克服楞次阻力F’，以維持金屬桿向右作勻速運動，外力作正功，最終換來回路中的焦耳熱能。對此作一簡單的數(shù)學推演如下。

楞次阻力等同于這段金屬桿在中所感受到的安培力，即（向左）

由力學可知，一個力與其作用點位移速度的標積(F·v)，給出了此力之功率，故此時推動金屬桿的外力(-F’)值功率為而動生電動勢

?M對電流

i之功率為PM=i?M=i(vBl)從而確證了

P’=PM

只要外力持續(xù)作用，就有一個恒定電動勢?M存在，這(ab)段相當于一個直流電源。然而，這種讓金屬桿單向滑動的裝置，不可能成為實用上的直流發(fā)電機，在空間尺度上就不許可如此運行，惟有讓金屬桿轉(zhuǎn)動起來才是可行的從轉(zhuǎn)桿到轉(zhuǎn)盤

當該桿以角速度ω作逆時針旋轉(zhuǎn)時，便在桿內(nèi)產(chǎn)生一個指向中心的動生非靜電力KM，其造成的動生電動勢

?M可算出，計算時注意到轉(zhuǎn)桿沿途各點的運動線速度不同，v=ωl，這里l為軸距，于是，?M?M鑒于目前未成閉合回路，KM推動下的載流子便集聚于桿的兩個端點，從而自建一電場E，反抗KM，直至(E+KM)=0，達到靜態(tài)平衡，即，動生電動勢的宏觀后果是造成桿的端電壓，?M為使這直流電動勢或端電壓對外供電，必須從a,b兩端引出導線并形成回路，這在手段上頗有難處，難在動端a處如何接線。法拉第巧秒地將這轉(zhuǎn)桿擴展為一個銅制轉(zhuǎn)盤，如圖所示：用兩根導線分別聯(lián)接于轉(zhuǎn)軸和盤邊，而其它兩頭聯(lián)接上電流計或負載；當銅盤持續(xù)穩(wěn)定以角速度

ω轉(zhuǎn)動，就形成一閉合的直流電路。可以說，1831年法拉第銅制轉(zhuǎn)盤，是日后定型的直流發(fā)電機的雛形。順便提及，為達到與轉(zhuǎn)盤邊緣的良好接觸，此后改進為碳刷也稱電刷且背后帶有彈簧，以利與盤邊磨合，用此面接觸代替了原先的點接觸，如同壓迫于自行車輪圈上的軋皮頭。動生式交流發(fā)電機原理

設這平面線圈所圍面積為S，轉(zhuǎn)動角速度為ω，磁場為B，則通過該線圈的磁通為這里，方位角θ為該線圈法向n與磁場B之夾角，故θ=ωt。相應的動生電動勢為?M可見，它是一角頻率為

ω的簡諧型交流電動勢。當然，如何從這轉(zhuǎn)動線圈的兩頭引出兩根導線，以構(gòu)成一閉合回路使?M(t)對外供電，這在手段上頗有講究，圖中顯示的引線方式是，設置兩個固定圓環(huán)，讓引線頭上的電刷與圓環(huán)內(nèi)側(cè)密接，從而保證與線圈一起旋轉(zhuǎn)而作圓周運動的電刷，時時同圓環(huán)磨合。注意到圖中所顯示的，提供均勻磁場的永磁體，兩個相對而立的磁極，其端面不是平面，而是一個有特定線型的凹槽，旨在保證兩凹槽所包括的空間系一個均勻場區(qū)。感生電動勢&渦旋電場（curlelectricfield）當磁場分布隨時間在變化即

B(r,t)，而線圈相對靜止不動時，所出現(xiàn)的感應電動勢，稱為感生電動勢?C

，與其相聯(lián)系的非靜電力場，是一種新型的電場，稱為渦旋電場EC

，正是在這渦旋電場作用下，導體回路中的載流子作漂移運動，而形成閉合的感應電流。

可見，這種由變化磁場激發(fā)的渦旋電場

EC，與先前由電荷產(chǎn)生的靜電場

Eq比較，其最顯著的特色是渦旋性或閉合性，其環(huán)路積分值不為零。必須說明，局地磁場

變化所激發(fā)的

EC場，是彌散的，并非局限于有形的導線回路中，實物導線回路只是提供其內(nèi)部的載流子，以形成電流而已。換言之，局地磁場變化

，將在其周圍空間激發(fā)渦旋電場

EC

(r,t)。渦旋電場的環(huán)路定理&通量定理

正如看待一切矢量場那樣，茲關注這新型渦旋電場

EC

(r,t)的環(huán)路定理和通量定理。其環(huán)路定理可由法拉第電磁感應定律直接導出：感生電動勢?法拉第定律?得到

此為渦旋電場環(huán)路定理，即，渦旋電場的環(huán)路積分，等于以該環(huán)路(L)為邊沿的任意曲面(Σ)上，磁感變化率的面積分之負值；上式中的“-”號正是楞次定律的縮影。注意到渦旋電場線的閉合性，即

EC線無頭無尾，總是渦旋轉(zhuǎn)圈，宛如恒定磁場的磁感

B線，故有理由假定渦旋電場是一種無散場，其貢獻于任意閉合面(Σ)的通量恒為零，即

此為渦旋電場的通量定理。如果說，

EC

場的環(huán)路定理有其堅實的物理基礎，那么，其通量定理的建立含有明顯的假設成分。順便提及，上兩式是麥克斯韋構(gòu)建起電磁場方程組的基本依據(jù)之一。

值得指出，僅在

B

(r,t)具有軸對稱的條件時，可由（6.4）式求出渦旋電場分布

E(r,t)；一般情況下，單憑（6.4）式是不能求解

EC

場的；我們熟悉的磁場安培環(huán)路，其功能也類似于此。感應爐&電磁爐處于交變磁場中的導體，其體內(nèi)將出現(xiàn)渦旋狀電流（渦流），這是渦旋電場推動其體內(nèi)載流子運動所致。渦流的焦耳熱效應使導體升溫，據(jù)此制成感應加熱器，俗稱感應爐，用以加熱乃至熔化金屬。感應爐加熱金屬有諸多優(yōu)點，比如，加熱方便，加熱對象不受燃燒氣體污染，甚至可將加熱導體封閉在真空室中。利用高頻電流場的趨膚效應，可將金屬表面熱處理到一定深度，以增強表面層的硬度，這有特別價值；用途極廣的鋼要有堅硬的表皮和柔軟的芯子，堅硬的表皮能經(jīng)受磨損，柔軟的芯子能減少破折；農(nóng)用拖拉機的犁頭，就是采用這種方式被熱處理的。感應爐廣泛應用于冶煉金屬，以及金屬的熱處理、熱成型和焊接，比如淬火、退火、鍛造、熱鐓和熱軋。其功率從1W直至108W，其工作頻率從50Hz直至105

Hz以上。渦旋電場EC

與磁感時間變化率直接聯(lián)系，故提高交變磁場的頻率

，將增加渦流熱功率，特別在低頻段；為了增強磁感強度，可外加一個高磁導率的鐵芯于線圈內(nèi)部，這也有利于增加渦流熱功率。電磁爐面板材質(zhì)為陶瓷或微晶玻璃，頗為昂貴，約占價格二分之一。與電磁爐配套的炊具或鍋，其底部必須平坦，即平底鍋或平底壺，以利于充分感受交變磁通；其材質(zhì)必須為鐵質(zhì)或合金鋼，以其高磁導率來加強磁感，從而大大增強渦旋電場及其渦流熱功率。鋁鍋不能用于電磁爐，它系弱磁性，以致其渦流熱功率甚小，比如，在電磁爐上用鋁鍋蒸冷饅頭，半個小時了饅頭紋絲不熱。渦旋電場造成的渦流及其熱效應，現(xiàn)如今已被制成電磁爐，用以烹調(diào)食品。電磁爐加熱器的優(yōu)點是，無污染，安全無隱患，故為老人家庭和專家公寓樂而選用。常用電磁爐的耗電功率約為2000W左右；其通電線圈呈螺旋盤狀，置于面板下方，直徑約12cm然而，渦流熱效應在電氣工程中是不受歡迎的，稱其為渦流損耗。工作于交變狀態(tài)的變壓器和電機，其繞組內(nèi)部均含有鐵芯，鐵芯的高磁導率使磁感得以極大加強和約束，但是，鐵芯作為一種磁性合金，它并非絕緣材料，多少有電導率，其導電性便產(chǎn)生了渦流及其熱效應。鐵芯的渦流損耗不僅是一種能量的浪費，而且?guī)碇T多危害，比如，熱脹冷縮，使電氣設備結(jié)構(gòu)松動；繞組絕緣皮層因受熱而脆化，以致破碎，成為電路安全隱患。電氣設備中的渦流損耗是不可避免的，減少渦流損耗的途徑有二。一是，研制電導率甚小而磁導率依然很高的鐵磁合金材料。二是，改變鐵芯的幾何結(jié)構(gòu)，用疊片式鐵芯替代塊狀鐵芯，片間多重邊界效應造成的電荷積累及其電場，使芯片內(nèi)的總電場E顯著減弱，從而使渦流損耗體密度，顯著降低。這里總電場E

指渦流電場EC

和電荷電場Eq

之合成，即E=EC+Eq。電子感應加速器

運動于交變磁場中的帶電粒子(q,m,v)，將受到洛侖茲力FL

作用而變向，同時受到渦旋電場力FC作用而變速。設法讓

FL作為一向心力，而約束粒子于一圓周軌道上運動，讓FC作為一個切向力不斷加速粒子運動速率，如此往往復復，有望獲得高能粒子。這一設想促成了一種新型粒子加速器即粒子感應加速器的誕生。第一臺電子感應加速器誕生于1940年，獲得電子能量

2.3MeV。電子感應加速器的基本結(jié)構(gòu)一對電磁鐵的兩極(N,S)相對而立，且相距很近，旨在產(chǎn)生一個軸對稱的交變強磁場B(r,t)，這里r為軸距；這磁極端面并非平面，而是有特定線型，旨在產(chǎn)生一內(nèi)強外弱且符合特定要求的磁場分布B(r)；一真空環(huán)形室安置于極間，為加速電子提供一運動軌道，圖中一圈圈同心圓，表示極間存在的渦旋電場線，其半周期時段為順時針，另半周期時段為逆時針加速器工作初始，通過一電子槍向環(huán)形室注入一電子束，其電子已有一定速率和回旋方向。

為使這電子束在這交變磁場區(qū)中，穩(wěn)定回旋且不斷得以加速，在技術(shù)上加速器要達到以下三項基本要求：

在渦旋電場力

Fc=qEc

作用下，電子得以不斷加速，而不是減速，這對Ec方向提出要求。在磁場B作用下，電子所受的洛倫茲力

FL=qv×B

恰為向心力，而不是離心力，這對B

方向提出要求。應使速率不斷增加的電子，始終被維持在確定半徑的軌道上運動，此乃軌道穩(wěn)定性問題，也稱其為約束條件。

由分析得出，在交變磁場B(r,t)=B0cos(ωt)

情況下，一周期T

內(nèi)僅有T/4時段中的Ec和FL能滿足上述（1）、（2）要求。比如圖（c）所示僅有第一個T/4時段的B(t)，符合要求；在其余三個T/4時段里，或者FL為離心力，或者Fc為減速力。這里要注意，電子電荷為(-e)

：

為了滿足（3），磁場的空間分布B(r)必須遵循，這里，B(R)表示半徑為R之軌道上的磁感，

為圓面積(πR2)上按磁通考量的平均磁感值，即

由下式定義，圓面通稱上式為感應加速器的平衡軌道穩(wěn)定條件，簡稱“1/2條件”。對此列出相關方程推證如下。圓圓面這“1/2條件”的確定，為感應加速器中電磁鐵之磁極面型的設計指明了方向。其實，1932年就有人提出利用渦旋電場來加速電子的想法，爾后進行了不少實驗研究，卻未有成功者，皆因電子軌道的穩(wěn)定問題，直至1940年才得以解決。此后，電子感應加速器的研制不斷進步，其所獲電子能量持續(xù)提升。1942年，20MeV；1945年，100MeV；1980’s，高達315MeV。在磁場由弱變強的T/4時段內(nèi)，電子得到加速，在真空環(huán)形室里轉(zhuǎn)上106

周以上，獲得高能，然后令其脫離軌道而引出，射向鎢、鈉等金屬靶上，旨在發(fā)生軔致輻射而產(chǎn)生?射線，然后，再將電子束引入既定軌道給予加速，用于工業(yè)探傷或探測和醫(yī)療，比如，?

射線探測儀，?射線治癌儀俗稱?刀。它們輸出的?射線是脈沖式的，其脈沖重復頻率等于交變磁場的頻率?！居懻摗繚M足“1/2”條件一種可取的磁場分布

探討一種磁場分布以滿足軌道穩(wěn)定條件

。

在半徑為R

之圓面上，與磁通量對應的平均磁感值為試求之。借助積分中值定理，表達上式左邊積分式為

且令

，得，這是一個積分方程，如何求解其被積函數(shù)？于是有（常數(shù)），試探

最終得這表明一個與軸距

r

成反比例而減弱的磁場分布，可以滿足軌道穩(wěn)定條件。不妨反過來檢驗，由上式可否導出

。又及，為了避免r

0時，B(r)∞

發(fā)散困難，或從實驗裝置上考量，不宜于使磁極間中心區(qū)域磁場過于強大，為此，不妨修正B(r)函數(shù)為以下形式這里，可調(diào)參數(shù)

a具有(m-1)量綱。試看由上式可否導出。6.3自感&互感磁能引言自感系數(shù)&互感系數(shù)例題—估算電感系數(shù)強耦合時自感電動勢&互感電動勢自感磁能&互感磁能磁場能量密度例題—同軸電纜的電感系數(shù)討論—兩個電感元件的串聯(lián)引言

在電路中一電感線圈是一磁場集中性元件，如同電路中電容器是一電場集中性元件，而電阻則是一電流熱耗散集中性元件。服從于電路分析以便于建立電路方程，特將一線圈的感生電動勢視為自感電動勢與互感電動勢之和，前者與線圈自身電流磁場所貢獻的磁通變化率直接聯(lián)系，后者與另一線圈電流磁場所貢獻的磁通變化率直接相聯(lián)系；為此，引入一線圈的自感系數(shù)L，及其與另一線圈之間的互感系數(shù)M，用以分別考量上述自感磁通與互感磁通自感系數(shù)&互感系數(shù)鑒于畢奧-沙伐爾定律給出的磁場B與電流

I之關系為一線性關系，故自感全磁通

，互感全磁通

；分別引入兩個常系數(shù)而將以上關系寫成等式如下，即

（與I1無關）；

（與I1無關）稱

L1為線圈?1

的自感系數(shù)，M12為線圈?1對?2的互感系數(shù)；有時為敘述方便，將兩者合稱為電感系數(shù)。換言之，上式是電感系數(shù)的定義式，即自感

L是單位電流強度所產(chǎn)生的自感全磁通，M

是單位電流強度所產(chǎn)生的互感全磁通。

同理，線圈?2的自感系數(shù)和互感系數(shù)分別定義為

理論和實驗上均可證明。（簡寫為M）

電感系數(shù)

(L,M)值決定于線圈截面積、線圈繞組形狀、匝鏈數(shù)，以及兩個線圈的相對距離和方位；若內(nèi)部填充鐵芯，將大大提高

(L,M)值。

電感系數(shù)的單位為，（韋伯/安培）；簡寫為

H（亨利）

1H是一個很大的電感值，常用其輔助單位

mH（毫亨），或

μH（微亨）。比如，一個細長螺線管，長度10cm、匝鏈數(shù)2000，截面積

cm2，其自感值

L近

50μH

。若將此螺線管繞制在一軟磁棒上，磁導率為

μr~104

，則該線圈自感值提高

104倍，接近

500mH。

最后尚須說明全磁通Ψ的確切含義。線圈通常由導線連續(xù)繞制多匝而成，其總匝數(shù)N

在電工學中稱為匝鏈數(shù)，其中每一匝線圈近乎閉合而圍出一個面積S，相應地有一磁通量Φ，那么整個線圈從一個端面至另一端面的全磁通規(guī)定為

在電工學中稱全磁通為磁鏈數(shù)。如果通過每一匝線圈的磁通相等，即

Φn=Φ0（常數(shù)），與

n無關，則（亦稱此為無漏磁）這里似有一個疑問，表觀上看線圈從一端面至另一端面，其間有無限多個截面，為什么僅計及那

N個截面的磁通呢，這涉及電感線圈在交變電路中的作用問題。線圈以其感應電動勢和相應的電壓影響著電路的性能，而貢獻于感應電動勢的渦旋電場

Ec，正是沿導線環(huán)繞的，或者說，決定感應電動勢的

Ec線積分，其積分路徑正是從線圈一端順著導線環(huán)行至另一端。簡言之，電感系數(shù)定義式中的那個全磁通規(guī)定為

N匝線圈的磁通之和，是電路分析以建立電路方程的直接需求，這一點在隨后的暫態(tài)電路和交流電路中將有進一步體現(xiàn)。例題—估算電感系數(shù)（1）單匝線圈的自感系數(shù).

一圓線圈其半徑為

R，導線直徑即線徑為

2r；當通以電流為I

時，其中心處的磁感

B0與導線邊緣磁感

B(R-)，

現(xiàn)取兩者之平均值，用以估算其圓平面上的磁通量，即得其自感系數(shù)為設R=1.0cm，r=0.5mm，估算出該單匝線圈的自感系數(shù)為（2）長直螺線管和螺繞環(huán)的自感系數(shù).

一長直螺線管，其繞線密度為n=N/l；當通以電流I時，以無限長密繞螺線管內(nèi)部的磁感公式B0=μ0nI

，近似估算這螺線管的磁通量，單匝線圈磁通，螺線管全磁通

，遂得其自感系數(shù)若螺線管內(nèi)部充滿鐵芯μr，則其自感系數(shù)提高μr倍，當然，實際上空心長直螺線管的自感系數(shù)要小些，即這系數(shù)

K取決于螺線管長寬比(l/d)

；當l>>d，則K

略小于1，比如l=10d，L≈0.9L0

對于螺繞環(huán)，其自感系數(shù)Lr可精算出，即

這里，

為螺繞環(huán)的平均半徑，

為其平均繞線密度，即

，N為匝鏈數(shù)。注意到

L0或L

或Lr

均正比于

n2

這一性質(zhì)

茲外繞N2匝較大線圈?2于螺線管?1之中部，則?1的磁場貢獻于?2的磁通為遂得?1與?2之間的互感系數(shù)為

要注意該式中S依然是?1的截面積，并非外繞線圈?2的截面積，這是因為螺線管外部B≈0。強耦合時

如圖情形下通過磁棒各界面的磁通幾乎相等，即

Φ11=Φ12=Φ0

，稱其

L1與L2之間有了強耦合，也稱其為無漏磁。設線圈?1通以電流I1，則同理兩式相乘，且利用M12=M21=M，得考量到實際上存在些許漏磁，上式可修正為

這種借助一長直軟磁棒以實現(xiàn)強耦合，常見于電磁訊號的接收或傳輸系統(tǒng)中。

其實，憑借H環(huán)路定理和強耦合無漏磁條件，可直接求得此時的L1、L2

和M，結(jié)果如下。注意，這里n1=N1/l，n2

=N2

/l

，其中l(wèi)是長直磁棒的長度，并非N1

匝或N2

匝繞線自身的寬度。自感電動勢&互感電動勢

若線圈?1電流隨時間在變化i1(t)，則相應的磁場和全磁通隨之而變，即i1(t)B1(t)Ψ11(t)

，Ψ12(t)

。于是，在線圈?1、?2中分別產(chǎn)生自感電動勢?11

和互感電動勢?12，?

?

同理，i2(t)B2(t)Ψ22(t)

，Ψ21(t)

。則有自感電動勢?22

和互感電動勢?21，分別存在于?1、?2中。?

?

這里已經(jīng)注意到，一個線圈的電感系數(shù)(L，M)與其載流i的數(shù)值大小無關，故許可將其作為一個常數(shù)提出微分算符。

以上兩式進一步顯示了電感系數(shù)的物理意義，它將線圈的感生電動勢與回路中的電流變化率直接聯(lián)系起來；在含電感元件的暫態(tài)電路和交變電路中或在電磁訊號的傳輸系統(tǒng)中，正是憑借這種形式的自感電動勢和互感電動勢，而建立起電路方程。自感磁能&互感磁能一純電感元件L與一純電阻元件R串聯(lián)于一個直流電源?，這里已將實際電感元件繞線的直流電阻r算計在阻值R之中。當合上電鍵K時，該電路之電流i不會突變到?/R

值，這是因為電感元件中存在自感電動勢?L，它系反電動勢，?它將阻礙電流驟增。故可預料，該電流i(t)經(jīng)歷一漸變過程，從零開始至終值

I=?/R

，而趨于穩(wěn)定，試看這一暫態(tài)過程中的能量轉(zhuǎn)化事宜：穩(wěn)定態(tài)：電源功率I?=I2R

焦耳熱功率；充磁暫態(tài)過程，i<I，則i?>i2R.可見在此過程中，電源輸出功率大于電路中焦耳熱功率，富裕量為它對時間的積分值，轉(zhuǎn)化為電感元件中儲存的磁能，即

由該電路方程，可以求出這暫態(tài)過程電流函數(shù)i(t)，代入上式便可得到WL公式，這項工作留待下一節(jié)完成。茲采取另一種方式，即，克服電感繞線中的自感電動勢?L而作功A，以導出WL公式，具體推演如下。在t—t+dt時間中，克服?L所做之元功為，據(jù)WL=A，最終得到自感磁能公式為

對于存在互感的情形，以同樣方式考量其能量轉(zhuǎn)化與存儲事宜，設兩線圈之電感系數(shù)為(L1,L2,M)。合上電鍵K1與K2，兩個回路均將經(jīng)歷一充磁暫態(tài)過程，其電流函數(shù)分別為相應地自感電動勢和互感電動勢分別為于是，在dt時間中，克服這四項反電動勢所做之元功為注意到其中

，故總功為頭兩項轉(zhuǎn)化為自感磁能，第三項為互感磁能WM，即

這互感磁能也正是兩線圈間的相互作用能ΔW。換言之，當這兩個線圈相距無限遠而無相互作用時，其總磁能為再將它倆逐漸接近至圖中狀態(tài)，其總磁能為其總磁能改變量被稱作相互作用能，即因此，互感系數(shù)M含±號。當兩個線圈的磁場或磁通彼此加強，則M>0，ΔW>0

；當兩個線圈的磁場或磁通彼此削弱，則M<0，ΔW<0；當然，如此判定，基于心目中已經(jīng)默認電流I1，I2

恒為正值。磁場能量密度

磁場空間蘊含能量。以長直密繞螺線管、且充滿介質(zhì)μr為例自感系數(shù):

存儲磁能:

這表明，磁能定域于磁場空間，凡是有(B,H)的地方，必存在一種能量，其能量體密度公式為必須說明，長直密繞螺線管磁場之特點，在于磁場高度集中于管內(nèi)，且近似為均勻場；以上推演是基于長直螺繞管這一特例，用(B,H)場之眼光，審視并改寫其磁能WL表達式，而導出普遍成立的磁場能量體密度公式。該式適用于各向同性介質(zhì)或各向異性介質(zhì)，適用于恒定或交變場，但不適用于非線性鐵磁質(zhì)。

憑借上式，給出空間(V)

區(qū)域中磁場能量為，例題—同軸電纜的電感系數(shù)

一個甚長的同軸電纜，其內(nèi)、外導體圓筒的半徑分別為R1、R2

，其間充滿介質(zhì)μr，試求同軸電纜上長度為l一段的電感系數(shù)L’。先設定一電流I，流經(jīng)內(nèi)筒，又從外筒返回；據(jù)H場環(huán)路定理，已知悉在內(nèi)筒以內(nèi)和外筒以外空間，H=0

；磁場集中于r∈(R1,R2)

區(qū)間，磁場H線繞軸環(huán)行而形成一組同心圓；磁場分布為相應的磁場能量密度為那么，這段長度為l、半徑為r∈(R1,R2)的空心柱體中之磁場總能量為令其等于(L’I2/2)，便得甚長同軸電纜中長度為l一段的電感系數(shù)為以上采取磁能Wm

途徑求出這電感系數(shù)；其實，本題也可以采取磁通Ψ

途徑求出電感系數(shù)L’。注意到圖中那矩孔

(a,b,c,d)

，其磁通為按電感系數(shù)的初始定義，得同軸電纜中這

l一段的電感系數(shù)為對本題的進一步討論：（1）上述謹慎地將L’稱為電感系數(shù)，而非自感系數(shù)，這是因為導出

L’

所依據(jù)的磁場

B(r)和H(r)系總磁場，它們并非僅是l

一段電流所產(chǎn)生的，還有其他區(qū)段電流的貢獻。從這個意義上看，這L’事實上是l段的自感與其它區(qū)段提供的互感系數(shù)之和。

（2）若據(jù)上式計算同軸電纜全長的電感系數(shù)L’，那自然這

L’

就是單純的自感系數(shù)了，令人不爽的是這時出現(xiàn)了發(fā)散疑難，即L’∞

，當l∞

。為避開這發(fā)散疑難，便將此題擬為，試求一段有限長度l的電感系數(shù)或單位長度的電感系數(shù)。實際上的同軸電纜總是有限長的，故其全長自感系數(shù)也是有限值，并非無窮大；不過，這時不易求得磁場B、H

準確的解析表達式；注意到同軸電纜其實際長度l遠遠大于其線徑(R1,R2)，比如，一般l在

m至102m量級，(R1,R2)在mm

至10mm量級，故以上式估算其全長電感系數(shù)，是一相當好的近似處理。用于電磁訊號傳輸?shù)耐S電纜，具有布線簡便、抗干擾能力強的優(yōu)點。

（3）在考量磁通Ψ

時，為什么僅計算一個截面的磁通，在

l區(qū)段形式上不是有很多個截面嗎？是的，不過與這些截面磁通相聯(lián)系的感應電動勢，彼此是并聯(lián)的，并不增加總的感應電動勢，故選取一個截面計算

Ψ、L’、和(-L’di/dt)就足夠了。說到底，關注電感最終是為了給出感應電動勢或感應電壓?！居懻摗績蓚€電感元件的串聯(lián)兩個線圈串聯(lián)于一回路中，可將其視作一個電感元件，設其自感系數(shù)為L，而兩個線圈的自感系數(shù)及其互感系數(shù)為

(L1,L2,M)

。試給出串聯(lián)自感L與

(L1,L2,M)

之關系式?？刹捎么磐ù鷶?shù)和之方式予以討論。一電感元件的自感L易于被測量，而兩個電感元件間的互感不易被直接測量；由(L,L1,L2

)數(shù)據(jù)可求得M值。提示

結(jié)果

注意

互感

M可正可負。應用

6.4小環(huán)流與外磁場的相互作用能有源小環(huán)流與外磁場的相互作用能證明A2=A1

梯度力無源小環(huán)流與外磁場的相互作用能小環(huán)流與電偶極子性質(zhì)的類比有源小環(huán)流與外磁場的相互作用能已知悉，小環(huán)流之磁性由其磁矩m=iS予以表征，它在外場B中將受到一安培力矩M=m×B作用發(fā)生轉(zhuǎn)動，從而獲得轉(zhuǎn)動能WA

。然而，這里不能簡單地像對待電偶極子那樣，認為轉(zhuǎn)動能的增加必以其相互作用能ΔW的減少為代價，即認定ΔW=-WA；這是因為在宏觀電磁學中，小環(huán)流均系有源小環(huán)流，其電流是通過一電路由一電源?提供的，在小環(huán)流轉(zhuǎn)動過程中必有一感應電動勢出現(xiàn)于小環(huán)流之中，從而改變了電流，也改變了外接電源的輸出能量及其分配。簡言之，小環(huán)流牽連著一個外接電源，小環(huán)流與外磁場組成的系統(tǒng)為一非孤立系。在考量小環(huán)流與外磁場之相互作用能時，理應在轉(zhuǎn)動能、相互作用能和外接電源等三者之間，討論能量事宜，對此數(shù)學描寫和推演如下。

基于能量乃狀態(tài)函數(shù)，與過程無關，特設計這樣一個過程，讓小環(huán)流在轉(zhuǎn)動過程中，保持兩個線圈中的電流i和I

恒定，為此外接電壓應隨時遞增ΔU1和ΔU2

，以補償線圈中出現(xiàn)的感應電動勢?1i

和?2i

。設A0為磁矩m從取向π/2θ過程中安培力矩的功，A1和A2分別為補償電壓U2

，以補償線圈中出現(xiàn)的感應電動勢?1i

和?2i

。設A0為磁矩m從取向π/2θ

過程中安培力矩的功，A1和A2分別為補償電壓ΔU1和ΔU2為克服反電動勢所提供的功，則小環(huán)流與外磁場之相互作用能等于，其中第一項與電偶極子情形類同,

在電流I產(chǎn)生的外磁場B為恒定情形下，電壓增量ΔU1和A1應當為利用小環(huán)流與大線圈之間的互感系數(shù)彼此相等，M21=M12

，可以證明A2=A1，即大線圈中克服互感電動勢?2i

所做之功，等于小環(huán)路中克服互感電動勢?1i所做之功，于是最終得到有源小環(huán)流與外磁場之相互作用能公式為該式表明，在安培力矩作用下，原本小環(huán)流磁矩就將順向外場，故其轉(zhuǎn)動能和相互作用能均將增加，這兩部分能量的增加一并來源于外接的電源能；這電源能除支付各自回路中的焦耳熱能以外，還有富裕能量轉(zhuǎn)化為相互作用能和轉(zhuǎn)動能。又及，如果設計其它過程，比如，保持電壓U1和U2不變，而讓

i和I

在小環(huán)流轉(zhuǎn)動過程中應勢而變，則上式依然成立；在任何過程中，外接電源參與能量交換是不可避免的，A2

+

A1總等于2m·B，盡管它在A1與A2

之間的分配有所不同，因過程而異?？傊?，在無外部機械力的情形下，僅受磁力作用的有源載流體，其動能及其與磁場相互作用能可以同時獲得增加，或者說磁場總能量亦得以增加，這一點是磁現(xiàn)象與電現(xiàn)象的一個重要區(qū)別。證明

A2

=A1

在小環(huán)流轉(zhuǎn)動過程中，如前所述令i

和I得以恒定，故出現(xiàn)于小環(huán)流和大線圈中的感應電動勢，惟有互感電動勢?1i

和?2i

，而無自感電動勢；同時注意到，小環(huán)流轉(zhuǎn)動過程中，互感系數(shù)M21和M12并非恒定，隨時變動M21(t)和M12(t)。兩個互感電動勢分別表示為，??相應地在兩個回路中為克服這互感電動勢所做之功分別為先前已確認兩線圈間之互感系數(shù)彼此相等，即

，遂得，梯度力先將符號ΔW改寫為Wi

。設處于外場某一處的小環(huán)流磁矩m，所受安培力為

F(Fx,Fy,Fz)，令其沿x方向有一虛位移

，則相聯(lián)系的功和能的改變量為又據(jù)

，有遂得

同理借用劈形算符，三個分力表達式濃縮為一個公式無源小環(huán)流與外磁場的相互作用能這類無源小環(huán)流或無源磁矩，廣泛地存在于微觀世界。比如，一個原子中，其核外電子的軌道磁矩me、電子自旋磁矩ms

，還有原子核內(nèi)的質(zhì)子磁矩mp和中子磁矩mn

。這類微觀粒子的經(jīng)典圖象是，帶電粒子的旋轉(zhuǎn)而形成一個小環(huán)流。然而，這類微觀小環(huán)流與宏觀有源小環(huán)流有著原則意義上的區(qū)別。它是無源的，其旋轉(zhuǎn)與生俱來，無需外接電源供電；它旋轉(zhuǎn)不遭受電阻力，故無焦耳熱效應；當其磁矩在外場中轉(zhuǎn)向時，無電磁感應效應，即無感應電動勢出現(xiàn)于此類小環(huán)流中。簡言之，這類微觀小環(huán)流為三無小環(huán)流，即無源、無熱效應和無感應電動勢。

因此，在考量這類無源小環(huán)流

m與外磁場

B

的相互作用能ΔW時，(m,B)系統(tǒng)就是一個孤立系，無需算計電源能和焦耳熱能參與能量交換，這雷同于電偶極子p與外電場E組成的孤立系。于是，A2

+

A1=0，遂得無源小環(huán)流與外磁場的相互作用能公式為，

此式恰好與有源小環(huán)流ΔW公式反號。無怪乎，在量子力學中，考量外磁場中電子運動行為時，其能量項要添加這樣一項ΔW，稱其為磁矩在外磁場中的勢能，并以符號

μ

表達磁矩，寫成ΔW=-μ·B。小環(huán)流與電偶極子性質(zhì)的類比6.5電路暫態(tài)過程引言LR暫態(tài)過程—充磁&放磁RC暫態(tài)過程—充電&放電暫態(tài)過程三要素LRC串聯(lián)暫態(tài)過程及其三種表現(xiàn)二階線性常系數(shù)齊次方程通解的三種形式討論—LRC并聯(lián)暫態(tài)過程引言

在直流電源工作的電路中，若含有電感元件或電容元件，則當電建動作或合上或斷開之后，便有一變化的電流或電壓出現(xiàn)于電路中，通常這變化的時間十分短暫，故稱其為暫態(tài)過程（transientstateprocess），它是相對于定態(tài)而言的。某些場合，利用電路暫態(tài)性能，可獲得脈沖高電壓或脈沖大電流，這是暫態(tài)過程的重要應用之一。LR暫態(tài)過程—充磁&放磁

（1）電鍵

K1

，充磁過程。此回路電壓方程為?

其中電感元件的電壓

?

電阻元件的電壓于是，該電路方程顯示為?

這是一階、線性、常系數(shù)、非齊次方程，其通解i(t)等于其齊次方程的通解i1(t)與其非齊次方程的特解i2(t)之和，即不難求得?

?

其中，待定常數(shù)K，由

i(t)初條件i(0)=0

，確定為

K=-?/R

.最終得充磁暫態(tài)過程中的電流為?

?

稱τ為暫態(tài)過程的時間常數(shù)，它直接表征了暫態(tài)過程的時間尺度，τ越小，其過程越短暫，達到穩(wěn)定值越快。對于LR充磁過程，其時間常數(shù)為τ=L/R例如，

，

，則

這里尚需說明，如何正確理解電感元件電壓概念。電感元件L是磁場集中性元件，與變化電流i(t)相聯(lián)系的變化磁場

B(t)，使L內(nèi)部和周圍充滿渦旋電場Ec(t)，它是有旋場，不存在標量勢函數(shù)；那么，電勢差UL

或Uab是何含義，而且，這UL

或Uab是否就是跨接(a,b)兩端的外部電壓表所測出的值。原來，電感元件其導線中的電流j與電場

Ec和電荷電場

Eq

之關系，依然遵從導電介質(zhì)動力學方程，

對于純電感元件其直流電阻已倂合在R之中，這等效于其電導率

σ∞，而電流密度

j值有限，故得于是，線圈兩端(a,b)之電勢差Ua,b，還是原來靜電學意義上的電勢差，?

它與路徑無關，即

這也正是外部電壓表的測量值。

茲考量這充磁過程中的能量轉(zhuǎn)化事宜。在此過程中

i(t)<I

，從而i2R<i?，這表明充磁過程中每一時刻，電源輸出功率大于焦耳熱功率，其富裕部分對時間積分的能量值，轉(zhuǎn)化為電感元件所儲存的磁場能量WL；定量上，憑借i(t)函數(shù)，確可導出?

或者說，雖然i(0)=0，但i(t)曲線在初始點的斜率并非為零，而是L(di/dt)=?。這個事實的普遍意義在于，電感元件系一電流惰性元件，凡含電感元件的支路其電流不會突變，其電流初始值等于電路接通之前的電流值，即

i(0)=i(0-)

；而電感電壓UL可能突變，即注意到其初始電壓UL(0)=?

，并非為零；這不難理解，在初始時刻既然電流i(0)=0，電阻上電壓降便為零，那端電壓?就全部降落在電感L兩端；正確把握電流電壓初條件，對暫態(tài)過程之電路微分方程的正確定解，至關重要。其初條件不應該被簡單地理解為電路接通之前時刻(0-)的狀態(tài)。

（2）電鍵

K2，放磁過程。其定解為電壓方程，電路微分方程和初條件分別為?

相應的電感電壓為?

特別關注電感電壓的初始值，?

?

當

R0

為高阻，R為低阻，R0>>R時，

?

>>

?

比如，R0=1KΩ，R=10Ω，?=12V

，則電感電壓或高阻R0電壓在初始瞬間可達，其結(jié)論是，通過高阻放磁，可以獲得脈沖高壓。這源于電感元件系電流惰性元件，既然這一路初始電流為，它通過高阻自然要產(chǎn)生瞬間高壓。這一事理受到電氣工程師的格外重視，電氣設備均有電感繞組，故在斷電時，在開關處極易出現(xiàn)強大的火光（弧光），這是一種危險現(xiàn)象；此處的高阻并非人為安置的電阻元件，而是電閘刀脫接處的空氣隙，它等效于一段高阻，其兩端的瞬間高壓可擊穿空氣而致發(fā)光。在電工技術(shù)操作手冊中，提示人們拉開電閘的動作要果斷迅速；對于大電流設備，特將其閘刀浸泡在油質(zhì)中，稱其為油浸開關，因為油的擊穿場強數(shù)倍于空氣。其實，這類斷電火光也時常出現(xiàn)在家用接線板里，特別在與電飯煲、微波爐聯(lián)接的接線板處，當其電鍵斷開瞬間，閃現(xiàn)火光，這類家用電器的工作電流約為10A。RC暫態(tài)過程—充電&放電

（1）電鍵

K1，充電過程。此回路電壓方程為?

于是，以

q0(t)

為函數(shù)，該電路微分方程及其初條件分別為?

其定解為?

相應的電容電壓

Uc和回路電流

i分別為?

?

特別關注該充電暫態(tài)過程的初始值，

電壓

電流?

由此可見，電容元件是一電壓惰性元件，其電壓與其電量成比例，而電量的積累或釋放總是漸變的，不會發(fā)生突變；與此相聯(lián)系，含電容元件的電路電流可能有突變，這不難理解，既然初始瞬間電容器無電壓，那端電壓?就全部降落在電阻R上，其電流值必為?/R

；當這R值甚小，比如R為電容器之漏電電阻，則初始電流甚大，出現(xiàn)一個脈沖大電流，比如，?=12V

，R=0.1Ω

，則此電流脈沖峰值為120A。注意到RC暫態(tài)過程的時間常數(shù)

τ=RC

，比如，R=0.1Ω，C=500μF，則τ≈50μs（微秒），相當短暫。更有意思的是，電阻值R對

τ

的影響，當R與電容C搭配時，τ∝R

；當

R

與電感L搭配時，τ∝1/R。試問，若要增加暫態(tài)過程之時間常數(shù)，究竟是該加大電阻值，還是減少電阻值，這要先區(qū)分是電容性電路，還是電感性電路。

（2）電鍵

K2，放電過程。

當電鍵撥向2，就構(gòu)成了一個RC無源回路，原已充電的電容器就成為一個暫態(tài)電源，向電阻R放電，造成一個脈沖電流，最終將電容器儲存的電能，完全轉(zhuǎn)化為電阻的焦耳熱能而耗散，電流i(t)趨于零，電壓UC(t)，UR(t)

趨于零。據(jù)此，可以推斷出，?

?

?,

?

暫態(tài)過程三要素其一，準確判定初條件，它獨立于電路微分方程，須知含電感電路的電流不會突變，

；電容兩端電壓不會突變，

。其二，準確判定電路終態(tài)電流

I，或I=?/R

，或I=0。其三，從初態(tài)到終態(tài)電路歷經(jīng)的暫態(tài)過程，必含因子

或因子

，須知

，

。

姑且稱這三個特征為暫態(tài)過程三要素，實乃抓兩頭帶中間，憑借對這三要素的準確把握，就能快捷地寫出暫態(tài)過程的電流函數(shù)和電壓函數(shù)，而無須依賴電路微分方程；對LR電路或RC電路便是如此簡明，但對LRC電路，其暫態(tài)過程顯得較為復雜，隨后給出分析。暫態(tài)過程及其三種表現(xiàn)

（1）電鍵

K1，充磁又充電。

經(jīng)歷一個暫態(tài)過程，而趨向一穩(wěn)定的終態(tài)，i(∞)=0，Uc(∞)=?。

此時電路的電壓方程為?

?

注意到電流i(t)=dq0/dt，便得以電容器電量q0(t)為對象的該電路微分方程為?

初條件?

這是一個標準的二階、線性、常系數(shù)、非齊次方程，在數(shù)學上有現(xiàn)成的解法，其結(jié)果：存在三種可能的函數(shù)形式，取決于系數(shù)a，b

和c，對此類方程的一般形式而言，集中于一特征量λ，稱λ為阻尼度，目前

這三種過程是，若λ>1，過阻尼；若

λ=1

，臨界阻尼；若

λ<1

，阻尼振蕩.

對于阻尼振蕩曲線，電容器的電量q0(t)大體上以(C?)為平均值，時漲時落，發(fā)生著電容器電能Wc與電感器磁能WL

之間的可逆轉(zhuǎn)化，而每漲落一回，均在電阻R上發(fā)生著不可逆的熱耗散，故電量峰值有所下降，或其振蕩幅度有所下降，呈現(xiàn)阻尼振蕩。

感興趣于R=0，即無阻尼時的等幅振蕩。電路的微分方程為?

?

這是一個標準的含常數(shù)項的諧振動方程，其解為一簡諧函數(shù)，再加一常數(shù)，為明瞭此事，茲將以上方程改寫為，?)

?

其解為

，即

?

再由初條件

q0(0)=0，確定了Q0=-C?，最終得到LRC串聯(lián)無阻尼時，充電過程的等幅振蕩解為?

振蕩角頻率

（2）電鍵

K2，放電過程。構(gòu)成了一個LRC無源回路，原已充電的電容器成為一暫態(tài)電源，它放電而電感器充磁；因為存在能量耗散元件R

，使電路電流i(t)或電壓Uc(t)最終衰減為零，即，i(∞)=0，Uc(∞)=0。

其歷程q0(t)也有三種可能，過阻尼、臨界阻尼和阻尼振蕩，分別對應阻尼度λ>1、λ=1、λ<1

，這也相當于，

，過阻尼；

，臨界阻尼；

，阻尼振蕩。試看R=0，無阻尼理想條件下的等幅振蕩，此時電路方程為，?

其解為一單純的簡諧函數(shù)，?

振蕩角頻率相應的回路電流亦即通過電感L的電流為?

這等幅電磁振蕩得以維持表明，電容器電能WC

與電感器磁能WL之間進行著可逆轉(zhuǎn)換而守恒，可以預測兩者之和為一常數(shù)，與t無關，即，這一事理類似于力學中無阻尼諧振子的運動，其慣性動能WV與彈性勢能WK之間的可逆轉(zhuǎn)換而守恒，即從類比中得到力學量與電磁量的對應如下，位置坐標x

—q0

電量，速度v

—i

電流；慣性質(zhì)量m

—L

電感，倔強系數(shù)

k

—(1/C)

電容倒數(shù).

最后必須說明，無阻尼畢竟是一理想情形，電感器的繞線電阻和電容器的漏電電阻多少有之，故欲獲得穩(wěn)定等幅電磁振蕩，必定要求有外加交變電源不斷提供能量，以補償電阻上的能量耗散，這一問題將在交流電路一章和電磁波輻射部分繼續(xù)討論。二階線性常系數(shù)齊次方程通解的三種形式

其方程的一般形式為其規(guī)范形式為比對LRC串聯(lián)暫態(tài)過程，有（1）當λ>1，即

β>ω0

，其通解為此為過阻尼衰減過程。

（2）當λ=1，即

β=ω0

，其通解為

此為臨界阻尼衰減過程，它比過阻尼更快衰減。（3）當λ<1，即

β<ω0，弱阻尼情形，其通解為

此為弱阻尼衰減振蕩過程。理想情形，β=0

，無阻尼，則此為無阻尼等幅振蕩過程。注意到以上三個通解中均含有兩個待定常數(shù)(c1,c2)或(A,?0)，它們由初條件(x0

,v0=(dx/dt)0

)決定。比如，對于LRC串聯(lián)放電過程，其初條件為q0(0)=C?，i(0)=0。還要注意到這三種過程的共同特點是衰減，其函數(shù)值經(jīng)一定時間之后趨于零，物理上稱其為非定態(tài)或暫態(tài)。簡言之，二階線性常系數(shù)齊次方程的通解系非定態(tài)的暫態(tài)解，不可能長時間存在之。這一結(jié)論將應用于交流電路一章LRC諧振電路的分析中。

二階線性常系數(shù)齊次或非齊次方程，是物理學中也算常見的一類微分方程，比如，力學中有阻尼彈簧振子的運動方程。電磁學中就有三種場合出現(xiàn)此類方程，其一，眼前的LRC串聯(lián)充電或放電的暫態(tài)過程；其二，在交變電源作用下，LRC諧振電路方程；其三，靈敏電流計線圈的運動方程，對此將稍加詳細介紹如下。

通電載流線圈，在轉(zhuǎn)動過程中將同時受到三個力矩M1、M2和

M3的作用，其中，安培力矩

，（恒定，與轉(zhuǎn)角無關）；楞次阻尼力矩懸絲恢復力矩

（

D為懸絲扭轉(zhuǎn)系數(shù)）.應用剛體力學的轉(zhuǎn)動定理，（J為線圈轉(zhuǎn)動慣量）得該線圈運動θ(t)的微分方程為通電時

，阻尼度斷電時值得指出，使用靈敏電流計進行實際測量操作時，要先調(diào)節(jié)電路外電阻R外，以滿足λ=1，使電流計處于臨界阻尼的工作狀態(tài)，這樣通電時就能更快地達到穩(wěn)定值θ，斷電時也能盡快地回到零點，這對多次連續(xù)測量十分需要。否則，若讓靈敏電流計處于過阻尼或弱阻尼工作狀態(tài)，均要耗費不少測量時間?！居懻摗縇RC并聯(lián)暫態(tài)過程

一電感器(L,r)

與電容C并聯(lián)，再同一電阻串聯(lián)于一直流電源?，當合上電鍵K，試求解暫態(tài)電流i(t)、i1(t)和

i2(t)。（1）擬先從物理上判定三者的初值和終值，即，（2）建立電路方程，討論

?

?

?

并聯(lián)電路其兩端電壓相等。得

注意到總電流經(jīng)整理列出電路方程為（3）這是一個二元聯(lián)立微分方程組，如何解出

i1(t)和

i2(t)，還得求助于高等數(shù)學。試繼續(xù)討論之。6.6超導電性引言零電阻性—臨界溫度&臨界磁場完全抗磁性—邁斯納效應磁通量子化超導結(jié)及其隧道效應約瑟夫森效應庫珀對百年追求高

Tc

引言

在人類低溫技術(shù)與物理的發(fā)展史上，1911年是值得紀念的一年。荷蘭實驗物理學家開默林?昂內(nèi)斯（H.Kamerling

Onnes），首先于1908年7月10日成功地將氦氣液化，其液化溫度為

4.2K，得到了60cm3液氦。接著，昂內(nèi)斯利用這低溫條件，研究金屬電阻對溫度的依賴關系，終于在1911年4月發(fā)現(xiàn)了汞在液氦溫度附近時，其電阻突然消失，他肯定這是一個全新的物理現(xiàn)象，并將其命名為超導電性（superconductivity）?，F(xiàn)今人們將具有超導電性的物質(zhì)或物態(tài)，簡稱為超導體或超導態(tài)，以區(qū)別為正常態(tài)。1913年昂內(nèi)斯獲得諾貝爾物理學獎，其獲獎原因是研究物質(zhì)在低溫下的性質(zhì)，并制得液氦。

1933年，荷蘭科學家邁斯納和奧森菲爾德發(fā)現(xiàn)超導體內(nèi)部的磁感強度總為零，即超導體具有完全抗磁性，也稱其為邁斯納效應（Meissnereffect）后來的數(shù)十年里，人們發(fā)現(xiàn)了諸多金屬和合金在低溫條件下呈現(xiàn)超導電性，且從多方面研究處于超導態(tài)物質(zhì)的各種獨特物性，比如其電學性質(zhì)、磁學性質(zhì)、熱學性質(zhì)和同位素性質(zhì)等。零電阻性—臨界溫度&臨界磁場對于汞，準確地說它在溫度為4.153K、磁場為41.2mT（毫特斯拉）時，其電阻突然消失，即呈現(xiàn)零電阻性。超導體由正常態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)槌瑢B(tài)的溫度，稱為臨界溫度TC

；當該物質(zhì)所處實際溫度