浙江省寧波市鄞州區(qū)諾丁漢大學(xué)附中2022年高考數(shù)學(xué)一模試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．甲、乙、丙、丁四人通過抓鬮的方式選出一人周末值班（抓到“值”字的人值班）.抓完鬮后，甲說：“我沒抓到.”乙說：“丙抓到了.”丙說：“丁抓到了”丁說：“我沒抓到."已知他們四人中只有一人說了真話，根據(jù)他們的說法，可以斷定值班的人是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁2．對某兩名高三學(xué)生在連續(xù)9次數(shù)學(xué)測試中的成績（單位：分）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)得到折線圖，下面是關(guān)于這兩位同學(xué)的數(shù)學(xué)成績分析．①甲同學(xué)的成績折線圖具有較好的對稱性，故平均成績?yōu)?30分；②根據(jù)甲同學(xué)成績折線圖提供的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，估計(jì)該同學(xué)平均成績在區(qū)間110,120內(nèi)；③乙同學(xué)的數(shù)學(xué)成績與測試次號具有比較明顯的線性相關(guān)性，且為正相關(guān)；④乙同學(xué)連續(xù)九次測驗(yàn)成績每一次均有明顯進(jìn)步．其中正確的個數(shù)為（）A．4 B．3 C．2 D．13．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）A． B． C． D．4．已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖與側(cè)視圖是全等的直角三角形，則該幾何體的各個面中，最大面的面積為（）A．2 B．5 C． D．5．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，過的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)M，若、M是線段AB的三等分點(diǎn)，則橢圓的離心率為()A． B． C． D．6．已知集合，則全集則下列結(jié)論正確的是()A． B． C． D．7．已知函數(shù)，，若，對任意恒有，在區(qū)間上有且只有一個使，則的最大值為（）A． B． C． D．8．已知數(shù)列中，，()，則等于（）A． B． C． D．29．在明代程大位所著的《算法統(tǒng)宗》中有這樣一首歌謠，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛馬羊，要求賠償五斗糧，三畜戶主愿賠償，牛馬羊吃得異樣．馬吃了牛的一半，羊吃了馬的一半．”請問各畜賠多少？它的大意是放牧人放牧?xí)r粗心大意，牛、馬、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、馬、羊向其主人要求賠償五斗糧食（1斗=10升），三畜的主人同意賠償，但牛、馬、羊吃的青苗量各不相同．馬吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是馬的一半．問羊、馬、牛的主人應(yīng)該分別向青苗主人賠償多少升糧食？（）A． B． C． D．10．若(1＋2ai)i＝1－bi，其中a，b∈R，則|a＋bi|＝()．A． B． C． D．511．盒子中有編號為1，2，3，4，5，6，7的7個相同的球，從中任取3個編號不同的球，則取的3個球的編號的中位數(shù)恰好為5的概率是（）A． B． C． D．12．設(shè)為的兩個零點(diǎn)，且的最小值為1，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．給出以下式子：①tan25°+tan35°tan25°tan35°；②2(sin35°cos25°+cos35°cos65°)；③其中，結(jié)果為的式子的序號是_____.14．甲、乙、丙、丁四名同學(xué)報名參加淮南文明城市創(chuàng)建志愿服務(wù)活動，服務(wù)活動共有“走進(jìn)社區(qū)”、“環(huán)境監(jiān)測”、“愛心義演”、“交通宣傳”等四個項(xiàng)目，每人限報其中一項(xiàng)，記事件為“4名同學(xué)所報項(xiàng)目各不相同”，事件為“只有甲同學(xué)一人報走進(jìn)社區(qū)項(xiàng)目”，則的值為______.15．定義，已知，，若恰好有3個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.16．已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a2三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：的右焦點(diǎn)為（，為常數(shù)），離心率等于0.8，過焦點(diǎn)、傾斜角為的直線交橢圓于、兩點(diǎn)．⑴求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；⑵若時，，求實(shí)數(shù)；⑶試問的值是否與的大小無關(guān)，并證明你的結(jié)論．18．（12分）如圖，三棱錐中，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，且平面平面．求證：平面；若，，求證：平面平面.19．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位.已知直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝4sin（θ+）.（1）求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線l與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，求△MON的面積.20．（12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期以及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）已知，若，，，求的面積.21．（12分）在如圖所示的多面體中，平面平面，四邊形是邊長為2的菱形，四邊形為直角梯形，四邊形為平行四邊形，且，，（1）若分別為，的中點(diǎn)，求證：平面；（2）若，與平面所成角的正弦值，求二面角的余弦值．22．（10分）已知函數(shù)．(Ⅰ)求函數(shù)的極值；(Ⅱ)若,且,求證：．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．A【解析】

可采用假設(shè)法進(jìn)行討論推理，即可得到結(jié)論.【詳解】由題意，假設(shè)甲：我沒有抓到是真的，乙：丙抓到了，則丙：丁抓到了是假的，?。何覜]有抓到就是真的，與他們四人中只有一個人抓到是矛盾的；假設(shè)甲：我沒有抓到是假的，那么?。何覜]有抓到就是真的，乙：丙抓到了，丙：丁抓到了是假的，成立，所以可以斷定值班人是甲.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了合情推理及其應(yīng)用，其中解答中合理采用假設(shè)法進(jìn)行討論推理是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與分析判斷能力，屬于基礎(chǔ)題.2．C【解析】

利用圖形，判斷折線圖平均分以及線性相關(guān)性，成績的比較，說明正誤即可．【詳解】①甲同學(xué)的成績折線圖具有較好的對稱性，最高130分，平均成績?yōu)榈陀?30分，①錯誤；②根據(jù)甲同學(xué)成績折線圖提供的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，估計(jì)該同學(xué)平均成績在區(qū)間[110,120]內(nèi)，②正確；③乙同學(xué)的數(shù)學(xué)成績與測試次號具有比較明顯的線性相關(guān)性，且為正相關(guān)，③正確；④乙同學(xué)在這連續(xù)九次測驗(yàn)中第四次、第七次成績較上一次成績有退步，故④不正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查折線圖的應(yīng)用，線性相關(guān)以及平均分的求解，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．3．C【解析】

結(jié)合基本初等函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性，結(jié)合各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.【詳解】A：為非奇非偶函數(shù)，不符合題意；B：在上不單調(diào)，不符合題意；C：為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，符合題意；D：為非奇非偶函數(shù)，不符合題意.故選：C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，屬于基礎(chǔ)題.4．D【解析】

根據(jù)三視圖還原出幾何體，找到最大面，再求面積.【詳解】由三視圖可知，該幾何體是一個三棱錐，如圖所示，將其放在一個長方體中，并記為三棱錐.，，，故最大面的面積為.選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查三視圖的識別，復(fù)雜的三視圖還原為幾何體時，一般借助長方體來實(shí)現(xiàn).5．D【解析】

根據(jù)題意，求得的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足橢圓方程，即可求得結(jié)果.【詳解】由已知可知，點(diǎn)為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，故可得，故可得；代入橢圓方程可得，解得，不妨取，故可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，易知點(diǎn)坐標(biāo)，將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程得，所以離心率為，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓離心率的求解，難點(diǎn)在于根據(jù)題意求得點(diǎn)的坐標(biāo)，屬中檔題.6．D【解析】

化簡集合，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，化簡集合，按照集合交集、并集、補(bǔ)集定義，逐項(xiàng)判斷，即可求出結(jié)論.【詳解】由，則，故，由知，，因此，，，，故選:D【點(diǎn)睛】本題考查集合運(yùn)算以及集合間的關(guān)系，求解不等式是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.7．C【解析】

根據(jù)的零點(diǎn)和最值點(diǎn)列方程組，求得的表達(dá)式（用表示），根據(jù)在上有且只有一個最大值，求得的取值范圍，求得對應(yīng)的取值范圍，由為整數(shù)對的取值進(jìn)行驗(yàn)證，由此求得的最大值.【詳解】由題意知，則其中，．又在上有且只有一個最大值，所以，得，即，所以，又，因此．①當(dāng)時，，此時取可使成立，當(dāng)時，，所以當(dāng)或時，都成立，舍去；②當(dāng)時，，此時取可使成立，當(dāng)時，，所以當(dāng)或時，都成立，舍去；③當(dāng)時，，此時取可使成立，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，成立；綜上所得的最大值為．故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)的零點(diǎn)和最值，考查三角函數(shù)的性質(zhì)，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.8．A【解析】

分別代值計(jì)算可得，觀察可得數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，問題得以解決.【詳解】解：∵，()，

，

，

，

，

…，

∴數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，

，

，

故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的周期性和運(yùn)用：求數(shù)列中的項(xiàng)，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.9．D【解析】

設(shè)羊戶賠糧升,馬戶賠糧升,牛戶賠糧升,易知成等比數(shù)列,,結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)可求出答案.【詳解】設(shè)羊戶賠糧升,馬戶賠糧升,牛戶賠糧升,則成等比數(shù)列,且公比,則,故,,.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列與數(shù)學(xué)文化,考查了等比數(shù)列的性質(zhì),考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.10．C【解析】試題分析：由已知，－2a＋i＝1－bi，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件，有a＝－，b＝－1所以|a＋bi|＝，選C考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算，復(fù)數(shù)相等的充要條件，復(fù)數(shù)的模11．B【解析】

由題意，取的3個球的編號的中位數(shù)恰好為5的情況有，所有的情況有種，由古典概型的概率公式即得解.【詳解】由題意，取的3個球的編號的中位數(shù)恰好為5的情況有，所有的情況有種由古典概型，取的3個球的編號的中位數(shù)恰好為5的概率為：故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了排列組合在古典概型中的應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，概念理解，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.12．A【解析】

先化簡已知得,再根據(jù)題意得出f（x）的最小值正周期T為1×2，再求出ω的值．【詳解】由題得,設(shè)x1，x2為f（x）=2sin（ωx﹣）（ω＞0）的兩個零點(diǎn)，且的最小值為1，∴=1，解得T=2；∴=2，解得ω=π．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了三角恒等變換和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．①②③【解析】

由已知分別結(jié)合和差角的正切及正弦余弦公式進(jìn)行化簡即可求解.【詳解】①∵tan60°＝tan（25°+35°），tan25°+tan35°tan25°tan35°；tan25°tan35°，，②2（sin35°cos25°+cos35°cos65°）＝2（sin35°cos25°+cos35°sin25°），＝2sin60°；③tan（45°+15°）＝tan60°；故答案為：①②③【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩角和與差的三角公式在三角化簡求值中的應(yīng)用，屬于中檔試題.14．【解析】

根據(jù)條件概率的求法，分別求得，再代入條件概率公式求解.【詳解】根據(jù)題意得所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查條件概率的求法，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.15．【解析】

根據(jù)題意，分類討論求解，當(dāng)時，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)無零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時，令，得，令，得或，再分當(dāng)，兩種情況討論求解.【詳解】由題意得：當(dāng)時，在軸上方，且為增函數(shù)，無零點(diǎn)，至多有兩個零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時，令，得，令，得或，如圖所示：當(dāng)時，即時，要有3個零點(diǎn)，則，解得；當(dāng)時，即時，要有3個零點(diǎn)，則，令，，所以在是減函數(shù)，又，要使，則須，所以.綜上：實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)，指數(shù)函數(shù)的圖象和分段函數(shù)的零點(diǎn)問題，還考查了分類討論的思想和運(yùn)算求解的能力，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，屬于中檔題.16．-2【解析】試題分析：∵a2考點(diǎn)：等比數(shù)列性質(zhì)及求和公式三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）（2）（3）為定值【解析】試題分析：（1）利用待定系數(shù)法可得，橢圓方程為；（2）我們要知道=的條件應(yīng)用，在于直線交橢圓兩交點(diǎn)M，N的橫坐標(biāo)為，這樣代入橢圓方程，容易得到，從而解得；（3）需討論斜率是否存在．一方面斜率不存在即=時，由（2）得；另一方面，當(dāng)斜率存在即時，可設(shè)直線的斜率為，得直線MN：，聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理和焦半徑公式，就能得到，所以為定值，與直線的傾斜角的大小無關(guān)試題解析：（1），得：，橢圓方程為（2）當(dāng)時，，得：，于是當(dāng)=時，，于是，得到（3）①當(dāng)=時，由（2）知②當(dāng)時，設(shè)直線的斜率為，，則直線MN：聯(lián)立橢圓方程有，，，=+==得綜上，為定值，與直線的傾斜角的大小無關(guān)考點(diǎn)：（1）待定系數(shù)求橢圓方程；（2）橢圓簡單的幾何性質(zhì)；（3）直線與圓錐曲線18．證明見解析；證明見解析.【解析】

利用線面平行的判定定理求證即可；為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，可得，，，可知，故為直角三角形，，利用面面垂直的判定定理求證即可.【詳解】解：證明：為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，，又平面，平面，平面；證明：為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，，又，，則，故為直角三角形，，平面平面，平面平面，，平面，平面，又∵平面，平面平面.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行和面面垂直的判定定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.19．(1)直線l的普通方程為x＋y－4＝0.曲線C的直角坐標(biāo)方程是圓：(x－)2＋(y－1)2＝4.(2)4【解析】

（1）將直線l參數(shù)方程中的消去，即可得直線l的普通方程，對曲線C的極坐標(biāo)方程兩邊同時乘以，利用可得曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）求出點(diǎn)到直線的距離，再求出的弦長，從而得出△MON的面積．【詳解】解：(1)由題意有，得，x＋y＝4，直線l的普通方程為x＋y－4＝0.因?yàn)棣眩?sin所以ρ＝2sinθ＋2cosθ，兩邊同時乘以得，ρ2＝2ρsinθ＋2ρcosθ，因?yàn)?，所以x2＋y2＝2y＋2x，即(x－)2＋(y－1)2＝4，∴曲線C的直角坐標(biāo)方程是圓：(x－)2＋(y－1)2＝4.(2)∵原點(diǎn)O到直線l的距離直線l過圓C的圓心(，1)，∴|MN|＝2r＝4，所以△MON的面積S＝|MN|×d＝4.【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的極坐標(biāo)方程與普通方程、參數(shù)方程與普通方程的互化知識，解題的關(guān)鍵是正確使用這一轉(zhuǎn)化公式，還考查了直線與圓的位置關(guān)系等知識.20．（1）最小正周期為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）.【解析】

（1）利用三角恒等變換思想化簡函數(shù)的解析式為，利用正弦型函數(shù)的周期公式可求得函數(shù)的最小正周期，解不等式可求得該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）由求得，由得出或，分兩種情況討論，結(jié)合余弦定理解三角形，進(jìn)行利用三角形的面積公式可求得的面積.【詳解】（1），所以，函數(shù)的最小正周期為，由得，因此，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）由，得，或，或，，，又，，即.①當(dāng)時，即，則由，，得，則，此時，的面積為；②當(dāng)時，則，即，則由，解得，，.綜上，的面積為.【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)的周期和單調(diào)區(qū)間的求解，同時也考查了三角形面積的計(jì)算，涉及余弦定理解三角形的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.21．(1)見解析(2)【解析】試題分析：（1）第（1）問，轉(zhuǎn)化成證明平面,再轉(zhuǎn)化成證明和.(2)第（2）問，先利用幾何法找到與平面所成角，再根據(jù)與平面所成角的正弦值為求出再建立空間直角坐標(biāo)系，求出二面角的余弦值.試題解析：（1）連接,因