相似理論及應用-part21相似準則的導出方法

第二章相似準則的導出方法

2.1定律分析法2.2方程分析法2.3量綱分析法

上一章已詳細論述了模型與原型構(gòu)成相似的條件；在本章中將討論怎樣才能實現(xiàn)相似．所謂相似準則，是指為使模型現(xiàn)象與原型現(xiàn)象相似所必須滿足的條件，也就是模型設(shè)計及模型實驗的基本準則．根據(jù)相似第二定律，用模型與原型相似準則相等的關(guān)系式，可求得模型實驗遵守的條件．根據(jù)相似第三定律，可以將模型實驗結(jié)果整理成相似準則間的函數(shù)式，以便將模型實驗結(jié)果推廣到原型中去．因此，必須找到相似準則的導出方法．

相似準則的導出方法有三：從理論上說，三種方法可以得出同樣結(jié)果，只是用不同方法對物理現(xiàn)象作數(shù)學上的描述．定律分析法、方程分析法和量綱分析法緒論

條件：要求對所研究的現(xiàn)象充分運用已掌握的全部物理定律，并能辨別其主次．

缺點：限于就事論事，看不出現(xiàn)象的變化過程和內(nèi)在聯(lián)系．對未能全部掌握其機理的、較為復雜的物理理象，運用這種方法是不可能的，甚至無法找到它的近似解；

此外，常常會有一些物理定律，表面看去對于所討論的問題關(guān)系并不密切，但又不宜妄加刪除，而必須通過實驗找出各個定律間的制約關(guān)系，決定哪個定律對問題說來是主要的，這就為解決問屬帶來不便．定律分析法

所說方程，主要是指微分方程，此外也有積分方程，積分-微分方程，它們統(tǒng)稱為數(shù)理方程．

優(yōu)點：結(jié)構(gòu)嚴密，能反映現(xiàn)象最為本質(zhì)的物理定律，故在解決問題時結(jié)論可靠，分析過程程序明確．分析步驟易于檢查，各種成分的地位一覽無遺，有利于推斷，比較和校驗．但在方程尚處于建立階段時，需要對現(xiàn)象的機理有深入的認識，在有了方程以后，由于運算上的困難，也并非任何時候都能找到它的完整解，或者只能在一定假設(shè)條件下找出它的近似解，從而在某種程度上失去了原來的意義。方程分析法

所說量綱分析法是在研究現(xiàn)象相似性問題的過程中，對各種物理量的量綱進行考察時產(chǎn)生的．

其理論基礎(chǔ)，是關(guān)于量綱齊次的方程的數(shù)學理論．

π定理一經(jīng)導出，便不再局限于帶有方程的物理現(xiàn)象．這時根據(jù)正確選定的參量，通過量綱分析法考察其量綱，可求得和π定理一致的函數(shù)關(guān)系式，并據(jù)此進行相似現(xiàn)象的推廣．量綱分析的這個優(yōu)點．對于一切機理尚未徹底弄清，規(guī)律也未充分掌握的復雜現(xiàn)象來說，尤其明顯．量綱分析法定律分析法、方程分析法和量綱分析法三種方法中，方程分析法和量綱分析法目前應用較為廣泛，其中又以量分析法為最常用。當研究的對象過于復雜，不能列出微分方程時，量綱分析法往往成為獲得相似準則的唯一方法．它是解決近代工程技術(shù)問題的重要手段之一．與方程分析法比較，凡是能用量綱分析法的地方，不一定能用方程分析法，而能用方程分析法的地方，必定能用量綱分析法。

定律分析法也在許多情況可采用，并有時十分方便．在相似條件下，有時可將各種方法結(jié)合使用．三種導出方法比較

當利用定律分析法導出其相似準則時，前提是現(xiàn)象必須有可能利用這種方法解決問題．而在有可能變?yōu)楝F(xiàn)實的過程中，則需要考慮如何正確地選擇物理定律．開始時，由于人們對現(xiàn)象機理認識不足，可以先預想一些適用于現(xiàn)象的物理定律，對它們作出某種假設(shè)，然后通過實驗驗證它們對現(xiàn)象的適用程度．這就有必要在同樣物理定律的指導下，將模型實驗結(jié)果同原型所得結(jié)果加以比較，確定那些在模型和原型上能很好地取得一致的物理定律，它們作為適用的物理定律加以肯定．這個過程對于陌生的物理現(xiàn)象，常常需要反復地進行，直到找到對現(xiàn)象適用的全部必要的物理定律．第二章相似準則的導出方法2.1定律分析法

一、應用前提與條件適用于現(xiàn)象的任何物理定律都不是孤立的，各個物理定律表現(xiàn)在同一現(xiàn)象上有著密切的聯(lián)系，只有在總體效果上滿足相似性的時候，才能說其中的某個定律是適用的．

適用的物理定律并不一定都是主要的．為了簡化實驗過程．突出主要矛盾，暴露現(xiàn)象本質(zhì)，還應通過實驗剔除一些次要的物理定律．

一、應用前提與條件2.1定律分析法

pro:建立一模型，以預測原型粱自由振動的衰減時間

5分析：梁自由振動現(xiàn)象的物理定律，必須包括：①由于梁處于振動狀態(tài)，考慮牛頓慣性定律；②由于梁受到由彎曲而產(chǎn)生阻力，考慮虎克彈性定律；③由于振動是衰減的，須考慮關(guān)于材料的內(nèi)部摩擦定律．為此，粱的振動過程與慣性力，彈性力及內(nèi)摩擦有關(guān)．故本例應利用這三方面的物理定律．

二、實例一2.1定律分析法

pro:建立一模型，以預測原型粱自由振動的衰減時間

5

二、實例2.1定律分析法

pro:建立一模型，以預測原型粱自由振動的衰減時間

5

二、實例2.1定律分析法

pro:建立一模型，以預測原型粱自由振動的衰減時間

5

二、實例2.1定律分析法由上述牛頓慣性定律、虎克彈性定律、材料的內(nèi)部摩擦定律得出的三個式中，只有第一式含時間t，故將該式除以其它兩式，可得兩個有用的π項為

二、實例2.1定律分析法上式表明在上例中，所得的相似準則π1，π2，在模型、原型采取同樣材料的情況下，都能得到

所示的結(jié)果，說明這三個定律在現(xiàn)象上是相互聯(lián)系的，而現(xiàn)象選擇這三個定律也是正確的．但同時可看到，為求得本例解答，式與所代表的物理定律，有一個是多余的．顯然，只有充分掌握理象機理，才能在一開始就掉除這一多余的物理定律，使問題的分析過程簡化．

二、實例2.1定律分析法

二、實例二2.1定律分析法

pro:假定做6kg烤肉需要3小時，問同一溫度的爐子3kg烤肉需花費多長時間？5

pro:假定做6kg烤肉需要3小時，問同一溫度的爐子3kg烤肉需花費多長時間？5解：控制該現(xiàn)象的物理定律是熱傳導及由熱量積蓄而引起的溫升。①傳給單位質(zhì)量肉的熱量遵循的物理定律可寫為：②溫升單位質(zhì)量肉內(nèi)積蓄的熱量可按如下物理定律

二、實例二2.1定律分析法K為導熱率[L-1T-1QΘ-1]θ為溫度[Θ]C為比熱[L2T-2Θ-1]ρ為密度[L-5T2Q]

用方程分析法導出相似準則的方法：相似轉(zhuǎn)換法、積分類比法

第二章相似準則的導出方法2.2方程分析法

一、相似轉(zhuǎn)化法kμYpro:“彈簧-質(zhì)量-阻尼”系統(tǒng)，假定借助模型來研究決定位移Y的參量Y是時間t的函數(shù)

一、相似轉(zhuǎn)化法2.2方程分析法（1）（2）（3）（4）

一、相似轉(zhuǎn)化法將上式則：（5）（6）（7）2.2方程分析法作相似變換時，為了保持基本微分方程(5)和(6)的一致性，式(7)各項的系數(shù)必須彼此相等，即

一、相似轉(zhuǎn)化法（9）（10）（11）2.2方程分析法5．將相似常數(shù)表達式代入相似指標中，從而獲得相似準則即將式(2)～(4)所表示的相似常數(shù)值代入式(9)～(11)，即可求得相似準則式，即一、相似轉(zhuǎn)化法2.2方程分析法

二、積分類比法（1）（18）（19）2.2方程分析法

二、積分類比法（18）、（19）（20）（21）（20）（21）2.2方程分析法

二、積分類比法上式（21）（23）（24）（23）、（24）步驟3中2.2方程分析法2.積分類比法的數(shù)學基礎(chǔ)

在應用積分類比法時，需要進一步從理論上闡明的一個問題是：為什么導數(shù)可以用相應量的比值替代？二、積分類比法則2.2方程分析法二、積分類比法根據(jù)上述22.2方程分析法二、積分類比法由以上方程分析法推導相似準則的過程中可以看出，只有當已知描述現(xiàn)象的方程式的具體形式時，才能用這種方法導出相似準則。

2.2方程分析法第二章相似準則的導出方法2.3量綱分析法量綱分析法是用于尋求一定物理過程中，相關(guān)物理量之間規(guī)律性聯(lián)系的一種方法。它對于正確地分析、科學地表達物理過程是十分有益的。量綱分析法

量綱分析法是根據(jù)量綱齊次性原理尋求物理量之間函數(shù)關(guān)系的一種方法，也可以得出相似準則。量綱分析法有兩種：雷利法和π定理雷利法解題步驟：找出影響問題的物理量，并用它們寫出假擬的指數(shù)方程；以對應的量綱代替方程中的物理量本身，并根據(jù)量綱和諧性原理求出各物理量的指數(shù)，整理出最后形式。Π定理對于某個物理現(xiàn)象或過程，如果存在有n個變量互為函數(shù)關(guān)系，

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