第 4 章 連續(xù)系統(tǒng)的振動(II)

第4章

連續(xù)系統(tǒng)的振動（II)李映輝西南交通大學2015.092023年2月1日《振動力學》22023年2月1日中國力學學會學術大會‘2005’22023年2月1日2聲明本課件可供教師教學和學生學習中免費使用。不可用于任何商業(yè)目的。本課件的部分內容參閱了上海交通大學陳國平教授和太原科技大學楊建偉教授的課件，作者在此向二位教授表示衷心感謝。如該課件無意中損害了二位教授利益，作者在此致歉。本課件以高淑英、沈火明編著的《振動力學》（中國鐵道出版社，2011年）的前四章為基礎編寫。感謝研究生蔣寶坤、王金梅在文字錄入方面的工作2023年2月1日《振動力學》3教學內容連續(xù)系統(tǒng)的振動2023年2月1日《振動力學》3連續(xù)系統(tǒng)故有特性的近似解法Rayleigh法Ritz法傳遞矩陣法Galerkin法《振動力學》4連續(xù)系統(tǒng)的振動4.4連續(xù)系統(tǒng)故有特性的近似解法前幾節(jié)皆未涉及變截面桿和梁的問題，這是由于變截面桿、梁除了個別簡單情況外往往不易找到精確解。

在工程實際問題中，常會遇到大量質量和剛度不均勻分布的連續(xù)系統(tǒng)。工程上用近似方法來解決這些問題。

介紹瑞雷法、李茲法、傳遞矩陣法和伽遼金法。2023年2月1日《振動力學》52023年2月1日《振動力學》5教學內容連續(xù)系統(tǒng)的振動2023年2月1日《振動力學》5連續(xù)系統(tǒng)故有特性的近似解法Rayleigh法Ritz法傳遞矩陣法Galerkin法2023年2月1日《振動力學》6連續(xù)系統(tǒng)的振動4.4.1瑞雷法瑞雷法主要用來估算系統(tǒng)的基頻。

由機械能守恒定律，對任一連續(xù)系統(tǒng)，如能近似地給出一階振型函數（需滿足端點條件）。通過計算系統(tǒng)的動能和勢能，即可估算出系統(tǒng)的基頻。以歐拉-伯努利梁橫向振動為例。設振型函數為Y(x),稱為試算函數2023年2月1日《振動力學》7連續(xù)系統(tǒng)的振動它必須滿足端點條件，則動能勢能在靜平衡位置，系統(tǒng)具有最大動能2023年2月1日《振動力學》8連續(xù)系統(tǒng)的振動在偏離靜平衡位置最遠處，系統(tǒng)具有最大彈性勢能由得(4.139)表明：如試算函數恰為某一真是振型函數時，則可計算出該階固有頻率ω的精確解。要知道各階振型函數是不可能的，而常僅能給出一階近似振型函數。2023年2月1日《振動力學》9連續(xù)系統(tǒng)的振動為使試算函數Y(x)更接近真實一階振型函數,最好除滿足位移（位移）邊界條件外，還需滿足力邊界條件,才能使估算出的固有頻率有比較好的近似值。【例4.8】圖4.30為一端固定，一端有剛度為k的彈性支撐的等直梁，求該梁的基頻。【解】設試算函數為它只滿足位移邊界條件，不能滿足力邊界條件2023年2月1日《振動力學》10連續(xù)系統(tǒng)的振動系統(tǒng)最大勢能系統(tǒng)最大動能由得2023年2月1日《振動力學》11連續(xù)系統(tǒng)的振動可見，系統(tǒng)固有頻率比懸臂梁固有頻率高。式中,k=l3/3EI為彈性支撐剛度和梁剛度的比值。2023年2月1日《振動力學》12連續(xù)系統(tǒng)的振動【例4.9】x=0處固定，x=l處自由的錐形軸,如圖4.31，在外界干擾去掉后，軸發(fā)生了扭振，其單位長度轉動慣量為扭轉剛度為試瑞雷法估算其固有頻率。《振動力學》13連續(xù)系統(tǒng)的振動【解】設θ(x,t)=φ(x)sin(ωt+φ)

為軸的角位移，試算函數為φ(x)=sin(πx/2l)軸的最大動能軸的最大勢能由得2023年2月1日《振動力學》142023年2月1日《振動力學》14教學內容連續(xù)系統(tǒng)的振動2023年2月1日《振動力學》14連續(xù)系統(tǒng)故有特性的近似解法Rayleigh法Ritz法傳遞矩陣法Galerkin法2023年2月1日《振動力學》15連續(xù)系統(tǒng)的振動4.4.2李茲法瑞雷法是求系統(tǒng)基頻的有效方法，缺點是不能估算高階固有頻率及振型。

李茲法對瑞雷法作了改進，除能求出更精確的基頻外，還能求出高階固有頻率及振型。李茲法思路：把連續(xù)系統(tǒng)離散化為有限自由度系統(tǒng)，由機械能守恒定律計算。以歐拉-伯努利梁為例。取n個廣義坐標qi(t)，設n個2023年2月1日《振動力學》16連續(xù)系統(tǒng)的振動振型函數yi(x)皆滿足位移邊界條件，則動能其中，彈性勢能其中，2023年2月1日《振動力學》17連續(xù)系統(tǒng)的振動由拉格朗日方程得其矩陣形式為：將無限自由度系統(tǒng)變?yōu)橛邢迋€自由度系統(tǒng)（有限元思想）。

設2023年2月1日《振動力學》18連續(xù)系統(tǒng)的振動代入(4.140)，得振型方程由(4.141)可計算系統(tǒng)固有頻率及振型。注意：欲求系統(tǒng)的二階固有頻率,n至少為2。為了減少誤差,用李茲法計算某階固有頻率時,選取的振型函數的項數,應比需求固有頻率階數至少多一倍。2023年2月1日《振動力學》19連續(xù)系統(tǒng)的振動【例4.10】圖4.32所示變截面梁具有單位厚度，截面變化為A(x)=2bx/l=A0x/l，A0為根部截面積，用瑞雷法及李茲法求其基頻，比較兩者結果。【解】1.瑞雷法由A(x)=2bx/l=A0x/l求出I(x)=(2bx/l)3/12=I0x3/l3，式中I0為根部截面積對中心主軸的慣性矩。設試算振型函數為則2023年2月1日《振動力學》20連續(xù)系統(tǒng)的振動滿足力和位移邊界條件，即將振型函數代入(4.139)中，得2023年2月1日《振動力學》21連續(xù)系統(tǒng)的振動2.李茲法設試算振型函數為

因求系統(tǒng)基頻，故選取n=2，則

由(4.141)求出mij和kij如下：2023年2月1日《振動力學》22連續(xù)系統(tǒng)的振動將mij和kij代入(4.141)得頻率方程《振動力學》23連續(xù)系統(tǒng)的振動解出基頻精確解用瑞雷法誤差為3%，用李茲法誤差為0.08%。將ω1代入(a)中任一式得得一階主振型近似值2023年2月1日《振動力學》242023年2月1日《振動力學》24教學內容連續(xù)系統(tǒng)的振動2023年2月1日《振動力學》24連續(xù)系統(tǒng)故有特性的近似解法Rayleigh法Ritz法傳遞矩陣法Galerkin法2023年2月1日《振動力學》25連續(xù)系統(tǒng)的振動4.4.3傳遞矩陣法傳遞矩陣法適合于計算鏈狀結構的固有頻率及振型。該法可推廣用于求系統(tǒng)的響應。以等直桿扭轉振動和橫向振動為例說明其在連續(xù)系統(tǒng)中應用。2023年2月1日《振動力學》26連續(xù)系統(tǒng)的振動軸的扭轉振動一軸系以圓頻率ω作扭轉振動，不計阻尼。由(4.31)知由扭矩公式，得式中，GIt是i段軸的抗扭剛度,。A與B為待定常數，由i-1點右邊的狀態(tài)矢量來決定。2023年2月1日《振動力學》27連續(xù)系統(tǒng)的振動當x=0時，(4.142)、(4.143)為故有A、B代入(4.142)、(4.143)，得i軸段在x處的傳遞關系將x=l代入，得扭轉角θiL和扭振矩MtiL2023年2月1日《振動力學》28連續(xù)系統(tǒng)的振動寫成矩陣形式故i軸段傳遞矩陣為也是軸扭轉振動的場傳遞矩陣。2023年2月1日《振動力學》29連續(xù)系統(tǒng)的振動2.梁的橫向振動梁以圓頻率ω作橫向振動，不計阻尼。取i段等直梁如圖4.34，建立其傳遞矩陣。等直梁自由振動方程(4.50)解（4.55）也可表為式中2023年2月1日《振動力學》30連續(xù)系統(tǒng)的振動由(4.145)得轉角θ、彎矩M和剪力Q

式中，EI為梁i段的抗彎剛度，A、B、C、D為待定常數,由i-1點右邊的狀態(tài)矢量決定。當x=0時，由(4.145)和(4.146)得由以上四式得到《振動力學》31連續(xù)系統(tǒng)的振動代入(4.145)、(4.146)得i段在x處的傳遞關系：將x=l代入上四式，即得位移yiL、轉角θiL、彎矩MiL和剪力QiL，其矩陣形式2023年2月1日《振動力學》32連續(xù)系統(tǒng)的振動即為直梁的場傳遞矩陣由此可計算分布質量系統(tǒng)的固有頻率與振型。2023年2月1日《振動力學》332023年2月1日《振動力學》33教學內容連續(xù)系統(tǒng)的振動2023年2月1日《振動力學》33連續(xù)系統(tǒng)故有特性的近似解法Rayleigh法Ritz法傳遞矩陣法Galerkin法2023年2月1日《振動力學》34連續(xù)系統(tǒng)的振動4.4.4伽遼金法伽遼金法基于能量變分法對梁橫向振動，有將梁的自由振動解代入(4.148)得2023年2月1日《振動力學》35連續(xù)系統(tǒng)的振動選函數族Yj(x),j=1,2,…,n,同時滿足幾何和力邊界條件。設近似解Aj為待定系數，相當于獨立的廣義坐標，對(4.151)變分得

將(4.151)、(4.152)代入(4.150)，有36連續(xù)系統(tǒng)的振動整理得式中由δAi任意性得式(4.154)為Ai的線性代數方程組?？梢?，伽遼金法將無限多個自由度系統(tǒng)離散化為