第08講 激光束的輸出特性1

1激光束輸出特性23.1光學諧振腔的衍射理論3.1.1惠更斯-基爾霍夫衍射公式

惠更斯提出了關于子波的概念，認為波面上每一點可看作次球面子波的波源，下一時刻新的波前形狀由次級子波的包絡面所決定?？臻g光場是各子波干涉疊加的結果。

惠更斯－菲涅耳原理設波陣面上任一源點的光場復振幅為，則空間任一觀察點P的光場復振幅由下列積分式計算：

圖3-1惠更斯-菲涅耳原理式中為源點與觀察點之間的距離；為源點處的波面法線與的夾角；

為光波矢的大小，為光波長；為源點處的面元。

33.1.2光學諧振腔的自再現(xiàn)模積分方程自再現(xiàn)模概念起因：由于反射鏡的有限大小，它在對光束起反射作用的同時，還會引起光波的衍射效應，引起反射回來的光束的強度減弱.特點1：當反射次數(shù)足夠多時（大約三百多次反射）光束的橫向場分布便趨于穩(wěn)定，分布不再受衍射的影響。特點2：場分布在腔內(nèi)往返傳播一次后能夠“再現(xiàn)”出來，反射只改變光的強度大小，而不改變光的強度分布。這種穩(wěn)態(tài)場經(jīng)一次往返后，唯一的變化是，鏡面上各點的場振幅按同樣的比例衰減，各點的相位發(fā)生同樣大小的滯后。這個穩(wěn)定的橫向場分布，就是激光諧振腔的自再現(xiàn)模。4圖(3-2)所示為一個圓形鏡的平行平面腔，鏡面和上分別建立了坐標軸兩兩相互平行的坐標和。利用上式由鏡面上的光場分布可以計算出鏡面M上的場分布函數(shù)，即任意一個觀察點的光場強度。自再現(xiàn)模積分方程圖3-2鏡面上場分布的計算示意圖

假設為經(jīng)過q次渡越后在某一鏡面上所形成的場分布，表示光波經(jīng)過q+1次渡越后，到達另一鏡面所形成的光場分布，則

與之間應滿足如下的迭代關系：

考慮對稱開腔的情況，按照自再現(xiàn)模的概念，除了一個表示振幅衰減和相位移動的常數(shù)因子以外，應能夠?qū)⒃佻F(xiàn)出來，兩者之間應有關系：

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其中，稱為積分方程的核。綜合上兩式可得自再現(xiàn)模積分方程(續(xù))

簡化：對于一般的激光諧振腔來說，腔長L與反射鏡曲率半徑R通常都遠大于反射鏡的線度a，而a又遠大于光波長。對上式做兩點近似可得到自再現(xiàn)模所滿足的積分方程：

和的下標表示該方程存在一系列的不連續(xù)的本征函數(shù)解與本征值解，這說明在某一給定開腔中，可以存在許多不同的自再現(xiàn)模。

6積分方程解的物理意義本征函數(shù)和激光橫模本征函數(shù)的模代表對稱開腔任一鏡面上的光場振幅分布，幅角則代表鏡面上光場的相位分布。它表示的是在激光諧振腔中存在的穩(wěn)定的橫向場分布，就是自再現(xiàn)模，通常叫做“橫?！保琺、n稱為橫模序數(shù)。圖3-3橫模光斑示意圖

用TEMmnq來表示激光模式，TEM代表橫電磁波(transverseelectro-magneticwave)的簡寫，m、n分別代表在截面的x、y軸方向出現(xiàn)的節(jié)線數(shù)，為橫模序數(shù)；q代表在z軸上出現(xiàn)的節(jié)線數(shù)，為縱模序數(shù)7

損耗包括衍射損耗和幾何損耗，但主要是衍射損耗，稱為單程衍射損耗，用表示。定義為本征值和單程衍射損耗、單程相移本征值的模反映了自再現(xiàn)模在腔內(nèi)單程渡越時所引起的功率損耗.本征值幅角與自再現(xiàn)模腔內(nèi)單程渡越后所引起的總相移有關。

自再現(xiàn)模在對稱開腔中單程渡越所產(chǎn)生的總相移定義為

自再現(xiàn)模在對稱開腔中的單程總相移一般并不等于由腔長L所決定的幾何相移，它們的關系為83.1.3光學諧振腔諧振頻率和激光縱模

諧振條件、駐波和激光縱模光波在腔內(nèi)往返一周的總相移應等于2的整數(shù)倍，即只有某些特定頻率的光才能滿足諧振條件每個q值對應一個駐波，稱之為：縱模，q為縱模序數(shù)。諧振腔的諧振頻率主要決定于縱模序數(shù)。9縱模頻率間隔腔內(nèi)兩個相鄰縱模頻率之差稱為縱模的頻率間隔舉例1：10cm腔長的He-Ne激光器可能出現(xiàn)的縱模數(shù)（一種，單縱模）舉例2：30cm腔長的He-Ne

激光器可能出現(xiàn)的縱模數(shù)

（三種，多縱模）圖(3-4)腔中允許的縱模數(shù)103.2.1共焦腔鏡面上的場分布方形鏡面共焦腔自再現(xiàn)模積分方程的解析解

(1)設方鏡每邊長為2a，共焦腔的腔長為L，光波波長為λ，并把x，y坐標的原點選在鏡面中心而以(x，y)來表示鏡面上的任意點，則在近軸情況下，積分方程有本征函數(shù)近似解析解本征值近似解Hm(X)和Hn(Y)均為厄密多項式，其表示式為：11鏡面上自再現(xiàn)模場的特征

振幅分布:令,則有圖(3-5)畫出了m=0，1，2和n=0，1的的變化曲線，同時還畫出了相應的光振動的鏡面光強分布圖(3-5)的變化曲線及相應的光強分布

激光模式的符號：TEMmnq，TEM00是基橫模。m、n的數(shù)值正好分別等于光強在x，y方向上的節(jié)線(光強為零的線)數(shù)目，而且m、n的數(shù)值越大，光場也越向外擴展。

12振幅分布:基橫模TEM00場分布為：鏡面上基模的“光斑有效截面半徑”鏡面上自再現(xiàn)模場的特征(續(xù))

相位分布:共焦腔反射鏡面本身構成光場的一個等相位面。

單程衍射損耗：一般忽略不計，但是在討論激光器單橫模的選取時必須考慮單程衍射損耗13鏡面上自再現(xiàn)模場的特征(續(xù))單程相移與諧振頻率：共焦腔的頻率間隔：共焦腔諧振頻率的簡并性：只要保證（2q+m+n+1）

不變,對應的諧振頻率是

可以相同的.圓形鏡共焦腔：圖(3-6)方形鏡共焦腔的振蕩頻譜143.2.2共焦腔中的行波場與腔內(nèi)外的光場分布

腔內(nèi)的光場:

可以通過基爾霍夫衍射公式計算由鏡面M1上的場分布在腔內(nèi)造成的行波求得，行波被反射鏡M2反射產(chǎn)生傳播方向相反的另一列行波，兩列行波在腔內(nèi)迭加成駐波。

腔外的光場:

則就是腔內(nèi)沿一個方向傳播的行波透過鏡面的部分。即行波函數(shù)乘以鏡面的透射率t。求空間場分布的關鍵是：求出鏡面場分布生成的行波在任意空間點的表達式。153.2.2共焦腔中的行波場與腔內(nèi)外的光場分布

如圖3-7所示，將鏡面場分布代入基爾霍夫衍射公式可得：圖3-7計算腔內(nèi)外光場分布的示意圖16

當場振幅為軸上()的值的e-1倍，即強度為軸上的值的e-2倍時，所對應的橫向距離即z處截面內(nèi)基模的有效截面半徑為；3.3.1高斯光束的振幅和強度分布基橫模TEM00的場振幅U00和強度I00分布分別為：

在共焦腔中心(z＝0)的截面內(nèi)的光斑有極小值，稱為高斯光束的束腰半徑173.3.1高斯光束的振幅和強度分布(續(xù))用束腰半徑表示的形式圖(3-8)基模光斑半徑隨z按雙曲線規(guī)律的變化

基模光斑半徑隨z按雙曲線規(guī)律變化：183.3.2高斯光束的相位分布

隨坐標而變化，與腔的軸線相交于點的等相位面的方程為

忽略由于z變化引起的的微小變化，用代替，則在腔軸附近有193.3.2高斯光束的相位分布(續(xù))令，則有：

表明等位相面在近軸區(qū)域可看成半徑為R0的球面203.3.2高斯光束的相位分布(續(xù))由式子可知：當z0＞0時，z-z0＜0；而當z0＜0時,z-z0＞0

當當共焦腔反射鏡面是共焦場中曲率最大的等相位面

共焦場中等相位面的分布如圖(3-9)所示。

圖(3-9)共焦腔中等位相面的分布213.3.3高斯光束的遠場發(fā)散角

遠場發(fā)散角(全角)定義為雙曲線的兩根漸近線之間的夾角[參見圖(3-8)]

共焦腔基模光束的理論發(fā)散角具有毫弧度的數(shù)量級，它的方向性相當好.

由于高階模的發(fā)散角是隨著模的階次的增大而增大，所以多模振蕩時，光束的方向性要比單基模振蕩差。223.3.4高斯光束的高亮度

亮度B:

單位面積的發(fā)光