自動控制理論全套課件(王孝武 方敏)

自動控制理論教材：《自動控制理論》王孝武，方敏，葛鎖良編.

機械工業(yè)出版社2010.6參考書：

《自動控制理論》（第五版），胡壽松主編.科學出版社

《現(xiàn)代控制工程》緒方勝彥著,科學出版社

《自動控制原理》孫虎章主編，中央廣播電視大學參考葛鎖良老師課件主講教師:平兆武合肥工業(yè)大學電氣與自動化工程學院自動化系第一章緒論1.1自動控制與自動控制系統(tǒng)

一：自動控制所謂自動控制，是指在沒有人直接參與的情況下，利用外加的設備或裝置（稱控制裝置或控制器），使機器、設備或生產過程（統(tǒng)稱控制對象）的某個工作狀態(tài)或參數（即被控量）自動地按照預定的規(guī)律運行。思考：實際中的自動控制？蒸汽機速度控制英國J．Watt發(fā)明的離心式調速器控制蒸汽機速度，被普遍認為是最早應用于工業(yè)過程的自動控制系統(tǒng)。

（１７８８年）n0二：自動控制系統(tǒng)由控制器（控制裝置）和被控對象組成，具有自動控制功能的系統(tǒng)，稱為自動控制系統(tǒng)。被控制的機器設備或生產過程稱作被控對象，將表征其工況的關鍵參數稱作被控量（輸出量），而將對這些工況參數所要求達到的值稱作給定值（或希望值、輸入量）。自動控制的任務可抽象為：使被控對象的被控量按給定值變化。對被控對象實施控制的裝置稱為控制器。其基本功能有:測量、決策和執(zhí)行1.2自動控制系統(tǒng)的組成自動控制系統(tǒng)是由各種結構不同的元部件組成的。將組成系統(tǒng)的元部件按職能分類主要由以下幾種。

1：測量元件其職能是對物理量進行檢測(被控量、內部變量、干擾信號)2：給定元件其職能是給出與期望的被控量相對應的系統(tǒng)輸入量

3：比較元件其職能是對兩個物理量進行比較、加減運算，以形成偏差信號4：放大元件其職能是將比較元件給出的偏差信號進行放大，用來推動執(zhí)行元件去控制被控對象。

5：執(zhí)行元件其職能是直接推動被控對象，使被控量發(fā)生變化6:校正元件也叫補償元件，它是結構或參數便于調整的元件，用串聯(lián)或反饋方式連接在系統(tǒng)中，以改善系統(tǒng)的性能。

自動控制系統(tǒng)原理框圖

術語：前向通道（從輸入端到輸出端）、反饋通道（從輸出端到比較元件）輸入信號、輸出信號、擾動信號擾動負反饋、正反饋反饋信號、誤差信號、控制信號控制裝置1.3自動控制方式根據控制信號的來源不同，可以分為以下三種控制結構：輸出計算執(zhí)行被控對象干擾控制裝置輸入控制量按給定值控制：按干擾補償：輸出計算執(zhí)行被控對象干擾控制裝置測量控制量輸入輸出比較、計算執(zhí)行被控對象測量干擾控制裝置輸入控制量自動控制方式：1.開環(huán)控制方式：按給定值控制、按干擾補償2.閉環(huán)控制方式（反饋控制）：按偏差調節(jié)基本控制方式3.復合控制方式：在閉環(huán)控制基礎上附加輸入補償或干擾補償按偏差調節(jié)：干擾控制裝置補償裝置被控對象輸出干擾輸入控制裝置補償裝置被控對象輸出輸入按輸入補償的復合控制按干擾補償的復合控制明確控制系統(tǒng)的任務；明確系統(tǒng)工作原理；被控對象是什么？被控量（系統(tǒng)輸出量）？有哪些干擾？參考輸入？有誰提供？畫出控制系統(tǒng)的原理方框圖，分析系統(tǒng)采用何種控制方式。分析實際控制系統(tǒng)的步驟：分析舉例爐溫控制系統(tǒng)控制任務：保持爐溫T為T0不變被控對象：爐子被控量：爐溫T控制方式：按給定值控制定時開關電阻絲爐子給定爐溫實際爐溫工作原理：．．．．水位自動控制系統(tǒng)水門2杠桿水門1水箱控制任務：保持水位Ｈ為Ｈ０不變被控對象：水箱被控量：水位Ｈ工作原理：．．．．水門１杠桿水箱Ｈ０ＨＱ１水門２用水量Ｑ２控制方式：按干擾補償熱處理爐溫度控制系統(tǒng)控制任務：保持爐溫T為T0不變被控對象：烘爐被控量：爐溫T工作原理：．．．．控制方式：按偏差調節(jié)無靜差系統(tǒng)位置隨動控制系統(tǒng)橋式電位計放大器電動機減速器工作機械手柄控制任務：要求工作機械的角位置θc跟隨給定角位置θr被控對象：工作機械被控量：角位置工作原理：．．．．控制方式：按偏差調節(jié)減速器橋式電位器電動機-放大器工作機械無靜差系統(tǒng)谷物濕度控制系統(tǒng)控制任務：保持輸出谷物濕度為給定值被控對象：谷物被控量：谷物濕度工作原理：．．．．控制方式：復合控制濕度測量調節(jié)器谷物-閥門給定濕度谷物濕度濕度測量輸入谷物濕度1.４自動控制系統(tǒng)的分類另外：

按控制方式可分為開環(huán)控制、閉環(huán)控制、復合控制等；

按元件類型可分為機械系統(tǒng)、電氣系統(tǒng)、液壓系統(tǒng)、氣動系統(tǒng)等；

按系統(tǒng)功用可分為溫度控制系統(tǒng)、壓力控制系統(tǒng)、位置控制系統(tǒng)等；

按系統(tǒng)性能可分為集總參數系統(tǒng)和分布參數系統(tǒng)、確定系統(tǒng)和不確定系統(tǒng)等；按照描述系統(tǒng)的數學模型：

線性系統(tǒng)：時變系統(tǒng)、定常系統(tǒng)

非線性系統(tǒng)按照系統(tǒng)傳遞的信號的性質：

連續(xù)控制系統(tǒng)（用微分方程描述）離散控制系統(tǒng)（用差分方程描述）按照系統(tǒng)輸入信號的變化規(guī)律：

隨動控制系統(tǒng)（伺服系統(tǒng)）恒值控制系統(tǒng)（鎮(zhèn)定系統(tǒng)、調節(jié)系統(tǒng)）程序控制系統(tǒng)線性連續(xù)系統(tǒng)這類系統(tǒng)可用線性微分方程描述，其一般形式為：

系數a0、a1、…，b0、b1、…為常數時，系統(tǒng)稱為線性定常系統(tǒng)，系數a0、a1、…，b0、b1、…隨時間而變時，系統(tǒng)稱為線性時變系統(tǒng)。

線性離散系統(tǒng)離散系統(tǒng)是指系統(tǒng)的某處或多處的信號為脈沖序列或數碼形式，因而信號在時間上是離散的。這類系統(tǒng)可用差分方程描述，其一般形式為：

非線性系統(tǒng)

系統(tǒng)中只要有一個元部件的輸入-輸出特性是非線性的，這類系統(tǒng)就稱為非線性系統(tǒng)，這時要用非線性微分（或差分）方程來描述其特性。例如：1.5對控制系統(tǒng)的性能要求控制系統(tǒng)的時間響應過程系統(tǒng)受到外部作用（給定值或干擾）后，被控量（輸出）隨時間變化的全過程稱為系統(tǒng)的時間響應過程c(t)?？刂葡到y(tǒng)動態(tài)過程（瞬態(tài)過程）穩(wěn)態(tài)過程考慮時：不同控制系統(tǒng)的時間響應過程比較穩(wěn)定性

穩(wěn)定性是保證系統(tǒng)正常工作的先決條件。一個穩(wěn)定的控制系統(tǒng)，其被控量偏離期望值的初始偏差應隨時間的增長逐漸減小或趨于零。也就是說，控制器的控制作用應使誤差逐漸減小。若控制不當，使誤差逐漸變大，就形成了不穩(wěn)定的控制系統(tǒng)，不穩(wěn)定的控制系統(tǒng)是不能正常工作的。

快速性

為了很好完成控制任務，控制系統(tǒng)僅僅滿足穩(wěn)定性要求是不夠的，還必須對其過渡過程的形式和快慢提出要求。

準確性

當過渡過程結束后，被控量達到的穩(wěn)態(tài)值（即平衡狀態(tài)）應與期望值一致。被控量的穩(wěn)態(tài)值與期望值之間的誤差稱為穩(wěn)態(tài)誤差。穩(wěn)態(tài)誤差是衡量控制系統(tǒng)控制精度的重要標志。

對控制系統(tǒng)要求：穩(wěn)、快、準1.6自動控制理論發(fā)展概況自動控制理論

自動控制理論是研究自動控制共同規(guī)律的技術科學。它的發(fā)展初期，是以反饋理論為基礎的自動調節(jié)原理，并主要用于工業(yè)控制。第二次世界大戰(zhàn)期間，為了設計和制造飛機及船用自動駕駛儀、火炮定位系統(tǒng)、雷達跟蹤系統(tǒng)以及其他基于反饋原理的軍用裝備，進一步促進并完善了自動控制理論的發(fā)展。到戰(zhàn)后，已形成完整的自動控制理論體系，這就是以傳遞函數為基礎的經典控制理論，它主要研究單輸入-單輸出、線性定常系統(tǒng)的分析和設計。

60年代初期，隨著現(xiàn)代應用數學新成果的推出和電子計算機技術的應用，為適應宇航技術的發(fā)展，自動控制理論跨入了一個新階段——現(xiàn)代控制理論。它主要研究具有高性能、高精度的多變量變參數系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題，采用的方法是以狀態(tài)為基礎的時域法。目前，自動控制理論還在繼續(xù)發(fā)展，并且已跨越學科界限，正向以控制論、信息論、仿生學為基礎的智能控制理論發(fā)展。

經典控制理論核心是反饋控制的思想

20世紀40-50年代發(fā)展形成1945年美國人Bode“網絡分析與放大器的設計”（專著），奠定了控制理論的基礎。50年代趨于成熟對單輸入單輸出系統(tǒng)進行分析，采用頻率法、根軌跡法、相平面法、描述函數法；討論系統(tǒng)穩(wěn)定性的代數和幾何判據以及校正網絡等現(xiàn)代控制理論

20世紀60年代以后空間技術的發(fā)展提出了許多復雜控制問題，用于導彈、人造衛(wèi)星和宇宙飛船

Kalman“控制系統(tǒng)的一般理論”（論文）奠定了現(xiàn)代控制理論的基礎解決多輸入、多輸出、時變參數、高精度復雜系統(tǒng)的控制問題大系統(tǒng)、復雜系統(tǒng)、智能控制系統(tǒng)

20世紀80年代以后各學科相互滲透，要分析的系統(tǒng)越來越大，越來越復雜。例人工智能、模擬人的人腦功能、機器人等。自動控制的應用領域交通工程機器人建筑與樓宇自動化辦公自動化家庭自動化商業(yè)自動化管理自動化社會與經濟系統(tǒng)控制軍事與國防航空航天工業(yè)生產過程（石油、化工、冶金、熱動….）電力系統(tǒng)自動化先進制造技術車輛工程1.7本課程的內容線性定常連續(xù)系統(tǒng)系統(tǒng)的數學模型

系統(tǒng)的分析方法：

系統(tǒng)的校正方法（第2章）（第3章）（第4章）（第5章）（第6章）時域法根軌跡法頻域法復習:拉普拉斯變換及線性微分方程的求解

1拉氏變換的定義存在

，則稱其為的拉普拉斯變換，記為設函數當時有定義，且積分2幾種典型函數的拉氏變換

1）單位階躍函數1(t)1f(t)t2）單位斜坡函數f(t)t3）單位加速度函數f(t)t1(t)可用于表示信號作用的時間域f(t)t4）單位脈沖函數且1f(t)tf(t)t00規(guī)定積分下限取0-3拉氏變換的幾個基本法則1).線性性質2).微分性質若則3).積分性質4).終值定理設，且在平面的右半平面及除原點外的虛軸上解析，即極點均位于平面的左半平面（包括坐標原點）設，則有5).位移定理按定義求拉氏反變換很困難，一般常用部分分式法計算：4拉氏反變換例例s域的代數方程拉氏變換解代數方程系統(tǒng)的微分方程系統(tǒng)輸出的象函數拉氏反變換微分方程的解例5、用拉氏變換法求解微分方程應用拉氏變換的求解微分方程的優(yōu)點：（1）將微積分運算轉換為代數運算（2）運算過程中，初始條件直接代入，不象直接解微分方程：先解出通解，然后再由初始條件來確定待定系數。第2章控制系統(tǒng)的數學模型2.1引言建立控制系統(tǒng)的數學模型是對系統(tǒng)進行分析和設計的基礎。系統(tǒng)的數學模型：描述系統(tǒng)輸入輸出變量以及內部各變量之間關系的數學表達式。

靜態(tài)數學模型：

動態(tài)數學模型：

靜態(tài)條件下（變量的各階導數為0）,代數方程動態(tài)條件下動態(tài)數學模型有多種形式：微分方程、差分方程、狀態(tài)方程

傳遞函數、動態(tài)結構圖、信號流圖

時域：

復域：

頻域：

頻率特性建立控制系統(tǒng)數學模型的方法:對模型的要求：分析法（也稱解析法或機理法）

實驗法：

傳統(tǒng)方法

現(xiàn)代方法（系統(tǒng)辨識方法）

盡可能符合實際物理系統(tǒng)的特性，并且準確可靠；在滿足精度要求的情況下，建立的數學模型應盡可能簡單。

2.2控制系統(tǒng)的微分方程一、系統(tǒng)微分方程的建立確定系統(tǒng)或元件的輸入量和輸出量。依據各個變量之間遵循的物理或化學定律，列出一組微分方程。消去中間變量，得到系統(tǒng)輸入變量和輸出變量之間的微分方程。對微分方程進行整理，寫成標準形式。即將輸出量及其各階導數項放在等號左邊，輸入量及其各階導數項放在等號右邊，并按降冪排列。分析法建立動態(tài)系統(tǒng)的輸入－輸出微分方程的步驟：例2-1列寫圖示電路的輸入輸出微分方程)(tuiiRC)(tuc負載效應對于兩級RC網絡,若要消除負載效應，可在兩個RC電路之間設置隔離放大器

根據基爾霍夫定律，可寫出下列方程組

若兩個RC電路之間沒有隔離放大器

力-電學相似系統(tǒng)例2-2有源網絡如圖所示。列寫輸出與輸入之間的微分方程解：由運算放大器的基本特性和基爾霍夫定律，列寫出下列方程消去中間變量,整理后得

例2-3思考：理想運算放大器的特性？例2-4電樞電壓控制的他勵直流電動機電磁轉矩方程

電樞反電勢

電樞回路電壓平衡方程電動機軸上轉矩平衡方程消去中間變量、，可得-----

三階微分方程

電磁轉矩方程

電樞反電勢

電樞回路電壓平衡方程電動機軸上轉矩平衡方程一般情況電樞電感

很小，可令。有-----二階微分方程

若以

為輸出，則微分方程變?yōu)閮蛇叧?，令?-5

直流調速控制系統(tǒng)（空載）例2-6位置隨動系統(tǒng)橋式電位計放大器

電動機減速器電動機（折算到電動機軸上的等效轉動慣量、等效摩擦系數、等效外加阻力矩）消去中間變量并將折算公式代入，得到若忽略的數值，考慮令得到二階線性定常系統(tǒng)二、

非線性微分方程的線性化（1）兩個外作用同時加于系統(tǒng)所產生的總響應等于各個外作用單獨作用時分別產生的響應之和；（2）外作用的數值增大若干倍時，響應也增加同樣的倍數。線性系統(tǒng)的特點：可疊加性和齊次性（疊加原理）

嚴格地說，實際物理元件或系統(tǒng)都是非線性的。如果系統(tǒng)具有嚴重的非線性，就要采用非線性系統(tǒng)的分析處理方法；但大多數系統(tǒng)在一定限制條件下，都可通過線性化方法近似地用線性方程來描述。這里介紹一種線性化方法---小偏差法。

考慮到實際控制系統(tǒng)都有一個設定工作狀態(tài)，即系統(tǒng)中各個變量都在各自的設定值（工作點、平衡點）附近作小范圍變化，“小偏差法”的基本思想是，對于描述非線性元件輸入與輸出之間特性的非線性函數，在元件工作點鄰域內展開成泰勒級數，在能夠忽略二次以上各項的條件下，用泰勒展開式的一次項近似表示元件輸入輸出特性函數，使得系統(tǒng)中非線性元件線性化，從而使描述系統(tǒng)的非線性微分方程線性化。將非線性函數在平衡點處展開成泰勒級數解：

設流體是不可壓縮的，根據物質守恒定律，有

根據流體力學

例2-8

單容水箱液位系統(tǒng)如圖所示。為水箱的流入量，

水箱液面高度為

，水箱的截面積為。

列寫

與之間的

線性化微分方程。

為流出量，是與負載閥的特性有關的系數，閥的開度一定時為常數。可得

一階非線性微分方程。

下面用小偏差法將非線性微分方程線性化。稱為水阻

1．將非線性元件（節(jié)流閥）的特性線性化設系統(tǒng)在平衡點附近的小范圍內工作，各變量可以表示為在平衡點處對非線性函數進行泰勒展開：由于很小，

考慮平衡點處

平衡點附近的線性增量方程。

簡記為2．將非線性微分方程增量化將代入3．將非線性微分方程線性化求得：總結使用小偏差法的步驟：1．將非線性元件線性化

設非線性元件的輸入輸出特性可用非線性函數表示，且可以在平衡點的鄰域內展開成泰勒級數，忽略展開式中的高次項，則元件的輸入輸出特性可近似寫成線性化增量方程。2．將非線性微分方程增量化

由于非線性元件的線性化描述是一個增量方程，為方便起見，需要將系統(tǒng)中的變量轉換成增量形式，使描述系統(tǒng)的微分方程增量化。具體做法為：將微分方程中的各個變量用平衡點處的值和增量值之和的形式表示，并且考慮平衡點處各變量之間的關系，就可以得到增量化的非線性微分方程。3．將非線性微分方程線性化

將非線性元件的線性增量方程與系統(tǒng)的非線性增量微分方程聯(lián)立，求得描述系統(tǒng)的線性增量微分方程。小偏差法的應用條件：（1）要求輸入輸出變量在平衡點附近作小范圍變化，否則忽略泰勒展開式的二次方以上各項，會產生大的誤差。（2）要求非線性特性曲線在平衡點處連續(xù)可導，對某些非線性特性，平衡點處的導數不存在，不能使用小偏差法。也可以直接對非線性方程進行線性化在平衡點處求得：2.3線性定常系統(tǒng)的傳遞函數一、

傳遞函數的定義傳遞函數定義：線性定常系統(tǒng)在零初始條件下，輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。線性定常系統(tǒng)的微分方程一般可表示為令初始條件為零，進行拉氏變換，得到根據傳遞函數的定義

RC網絡：令拉氏變換：傳遞函數二、傳遞函數的一般形式用s的多項式分式表示的傳遞函數形式-------靜態(tài)放大倍數或靜態(tài)增益

傳遞函數也可寫成零極點表示的形式

是分子多項式方程的m個根，稱為的零點；是分母多項式方程的n個根，稱為的極點。、的值由確定，零、極點可以是實數，也可以是復數，若為復數，一定以共軛形式出現(xiàn)。根軌跡增益?zhèn)鬟f函數的零、極點可以用零、極點分布圖表示

在復平面上，用“○”表示零點，“×”表示極點。例如三、傳遞函數的零、極點對輸出的影響設則四、運動的模態(tài)模態(tài)：線性微分方程的解=特解

+齊次微分方程的通解通解：由微分方程的特征方程決定，代表自由運動?！臁臁煳?、關于傳遞函數的幾點說明傳遞函數的概念只適用于線性定常系統(tǒng)，是一種在復域中描述其運動特性的數學模型。2.傳遞函數是復變量s的有理真分式函數，即，且所有系數均為實數（因為系統(tǒng)中元件參數是實數）。傳遞函數是一個輸入變量和一個輸出變量之間的關系，表征了系統(tǒng)的固有特性。建立一個系統(tǒng)的傳遞函數時，必須指明是哪一個輸入變量和哪一個是輸出變量之間的傳遞函數。傳遞函數與微分方程之間可以相互轉換。用微分算子替換傳遞函數中的復變量s，并用輸入和輸出變量的時間函數替換傳遞函數中的象函數，就可以由傳遞函數得到微分方程。

5.傳遞函數是在零初始條件下定義的，它與輸入信號的拉氏變換的乘積僅反映了系統(tǒng)在零初始條件下的響應規(guī)律。若要求解系統(tǒng)在非零初始條件下的響應，則應該先由傳遞函數求出系統(tǒng)的微分方程，然后在考慮初始條件的情況下求解該微分方程，從而得到系統(tǒng)在非零初始條件下的響應表達式。

6.一個系統(tǒng)的傳遞函數，可以通過該系統(tǒng)在零初始條件下的單位脈沖響應的拉氏變換求得，即，并且由傳遞函數拉氏反變換可求得系統(tǒng)的單位脈沖響應，即。六、典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數任何一個復雜的系統(tǒng)，從結構上看都可以由不同的元部件組成。從數學模型來看，一個復雜系統(tǒng)的傳遞函數，可以分解成一些具有典型特性的環(huán)節(jié)。由于典型環(huán)節(jié)比較簡單，建立典型環(huán)節(jié)的傳遞函數并研究其特性，可以為復雜系統(tǒng)的分析提供基礎。比例環(huán)節(jié)（放大環(huán)節(jié)）比例環(huán)節(jié)的輸出量能夠無失真、無延遲地按照一定比例關系復現(xiàn)輸入量。

為比例系數，也稱放大系數或增益

輸入輸出方程傳遞函數微分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)的輸出量是輸入量對時間t的微分。

積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)的輸出量是輸入量對時間t的積分。輸入輸出方程傳遞函數輸入輸出方程傳遞函數微分環(huán)節(jié)有一個零點位于s平面的坐標原點。

積分環(huán)節(jié)有一個極點位于s平面的坐標原點。

慣性環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié)輸入輸出方程傳遞函數傳遞函數輸入輸出方程慣性環(huán)節(jié)有一個負實數極點，T為慣性環(huán)節(jié)的時間常數。

一階微分環(huán)節(jié)的輸出量是輸入量的比例加微分。

一階微分環(huán)節(jié)有一個負實數零點。振蕩環(huán)節(jié)二階微分環(huán)節(jié)延遲環(huán)節(jié)（滯后環(huán)節(jié)）傳遞函數傳遞函數傳遞函數輸入輸出方程輸入輸出方程輸入輸出方程

振蕩環(huán)節(jié)有一對共軛復數極點分布在s平面的左半開平面。

二階微分環(huán)節(jié)有一對共軛復數零點位于s平面的左半開平面。稱為延遲時間比例環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié)幾種典型環(huán)節(jié)的運算放大器電路實現(xiàn)七、控制系統(tǒng)的傳遞函數系統(tǒng)輸入輸出微分方程系統(tǒng)的輸入輸出傳遞函數系統(tǒng)輸入輸出變換方程各元部件變量的象函數之間的代數方程組

零初始條件下拉氏變換

零初始條件下拉氏變換

微積分消元

代數消元

由定義各元部件變量之間的微分方程組求控制系統(tǒng)的傳遞函數的方法例2-7求圖示電路的傳遞函數寫出基本方程123采用復阻抗求位置隨動系統(tǒng)的傳遞函數例2-8零初始條件下進行拉氏變換求位置隨動系統(tǒng)的傳遞函數例2-8列寫出元部件變量之間的一組動態(tài)方程：零初始條件下的拉氏變換，可得一組變換方程列寫出元部件變量之間的一組動態(tài)方程：零初始條件下的拉氏變換，可得一組變換方程消去中間變量，并考慮1）求與之間的傳遞函數，令2）求與之間的傳遞函數，令

忽略的情況下令二階振蕩環(huán)節(jié)消去中間變量，并考慮2.4控制系統(tǒng)的結構圖一、結構圖的組成結構圖是描述系統(tǒng)中各元部件的功能和信號之間傳遞關系的圖解表示?？刂葡到y(tǒng)的結構圖也稱方塊圖、方框圖。

特點：結構圖能形象直觀地表示輸入信號在系統(tǒng)中的傳遞過程，能直接反映每個中間變量的特性。通過結構圖的等效變換方法，還可以方便地求系統(tǒng)中任意兩個變量之間的傳遞函數，避免使用消元法。

1.信號線2.引出點（測量點）3.綜合點（比較點）4.方框（環(huán)節(jié)）結構圖包含有四種基本單元：

二、結構圖的繪制建立控制系統(tǒng)動態(tài)結構圖的步驟：列寫系統(tǒng)各元部件的微分方程；2.

在零初始條件下，對各微分方程進行拉氏變換，并將每一個變換方程用方框表示；

3.

按系統(tǒng)中各變量的傳遞順序，依次將方框連接起來。將系統(tǒng)的輸入變量置于左端，輸出變量置于右端，得到系統(tǒng)完整的結構圖。

繪制圖示RC無源網絡的結構圖。

解：應用電路理論，可以直接利用復阻抗的概念列寫拉氏變換后的方程組：從輸入變量開始，按照變量之間因果關系，對方程進行整理：

11RCsR12R-例2-9繪制圖示RC無源網絡的結構圖。

11RCsR12R-例2-911R2R-另一種形式繪制圖示兩級RC網絡的結構圖。

-例2-10--繪制電樞電壓控制的他勵直流電動機結構圖。

-例2-11-例2-12建立位置隨動系統(tǒng)的結構圖---三、結構圖的等效變換等效變換：指變換前后系統(tǒng)輸入輸出傳遞關系保持不變。等效變換規(guī)則：串聯(lián)方框的等效變換規(guī)則并聯(lián)方框的等效變換規(guī)則反饋方框的等效變換規(guī)則綜合點與引出點的移動規(guī)則串聯(lián)方框的等效變換)(sR)(sC)()(21sGsG=1G2G…nG)(sR)(sCnGGGL21=)(sR)(sC)(1sG)(2sG)(sU)(sC)(sR并聯(lián)方框的等效變換)(1sG)(2sG+±)(sRC(s))()(21sGsG±)(sR)(sC=反饋方框的等效變換綜合點與引出點的移動綜合點前移綜合點后移引出點前移引出點后移相鄰引出點之間移動

相鄰綜合點之間移動

綜合點和引出點交換位置負號在支路上的移動注意：綜合點和引出點之間交換位置，往往會使結構圖變復雜，一般盡量避免使用?；唭杉塕C網絡的結構圖，并求傳遞函數。

-例2-13----------化簡下面的結構圖，并求傳遞函數。例2-14------對圖示結構圖進行化簡,求傳遞函數（1）（2）（3）（7）解：例2-15（4）R31GG42GGHG3HG45GC--（5）R4231GGGG+-HGHG43+5GC（6）R4231GGGG+HGHG1431++C5G引出點前移綜合點后移相鄰綜合點移動例2-16對圖示結構圖進行化簡,求傳遞函數---------+--引出點前移綜合點和引出點交換位置綜合點后移綜合點后移一個兩輸入兩輸出系統(tǒng)的結構圖如圖所示。求下列傳遞函數：解：令令

例2-17結構圖化簡求傳遞函數的步驟2.應用移動規(guī)則，消除回路之間的交叉聯(lián)系，使系統(tǒng)的結構圖變換為無交叉的多回路結構。注意在消除交叉聯(lián)系時，應力求避免相鄰的綜合點與引出點之間交換位置。3.對多回路系統(tǒng)，由里向外進行變換，直至變?yōu)橐粋€方框，即可得到輸入輸出總的傳遞函數。1.確定系統(tǒng)的輸入量和輸出量。如果系統(tǒng)有多個輸入量或輸出量，要分別進行結構圖化簡，求各自的傳遞函數。信號流圖與結構圖一樣，都是用圖形來描述控制系統(tǒng)中信號傳遞關系，但符號更簡單，便于繪制和應用。2.5控制系統(tǒng)的信號流圖一、信號流圖的概念信號流圖是由節(jié)點和支路組成的信號傳遞網絡，是一種表示聯(lián)立線性代數方程組的圖。

例：線性代數方程組

abcdef1x2x3x4xg5x信號流圖中的幾個術語節(jié)點：用來表示變量和信號，其大小為流入節(jié)點的支路信號之和,用符號“o”表示。

輸入節(jié)點（源節(jié)點）：只有輸出支路的節(jié)點。輸入節(jié)點對應系統(tǒng)的輸入變量；

輸出節(jié)點（匯節(jié)點）：只有輸入支路的節(jié)點，輸出節(jié)點對應系統(tǒng)的輸出變量；

混合節(jié)點：既有輸入支路，又有輸出支路的節(jié)點。支路：連接兩個節(jié)點的定向線段，具有確定的增益（支路增益），增益可以是常數（增益為1時，可以省略），也可以是傳遞函數。信號按照箭頭方向從支路的一個節(jié)點乘以增益后流向另一節(jié)點。通路：從一個節(jié)點沿支路箭頭方向到達另一節(jié)點所經過的各相連支路叫通路（通道）。

前向通路：從輸入節(jié)點到輸出節(jié)點的通路，且通過任何節(jié)點不多于一次?；芈罚喝绻返慕K點就是通路的起點，且通過任何節(jié)點不多于一次，稱為回路。

自回路：只有一條支路的回路稱為自回路。

不接觸回路：如果一些回路之間沒有公共節(jié)點則稱它們?yōu)椴唤佑|回路。前向通路增益：前向通路中，各支路增益的乘積。回路增益：回路中各支路增益的乘積。abcdef1x2x3x4xg5x（1）節(jié)點變量是所有流向該節(jié)點的信號之和，而從同一節(jié)點流向各支路的信號均用該節(jié)點變量表示。（2）支路表示了一個節(jié)點信號到另一個節(jié)點信號的傳輸關系，信號只能沿著支路上的箭頭方向傳遞。（3）在混合節(jié)點上，增加一條具有單位增益的支路，可把混合節(jié)點變?yōu)檩敵龉?jié)點，即可以分離出系統(tǒng)的輸出變量。需要注意的是，用這種方法不能將混合節(jié)點變?yōu)檩斎牍?jié)點。（4）對于給定系統(tǒng)，信號流圖不是唯一的。（5）信號流圖只適用于線性系統(tǒng)。2.關于信號流圖的幾點說明二、信號流圖的繪制例2-18信號流圖可以由控制系統(tǒng)的微分方程直接繪制，也可以由動態(tài)結構圖轉化獲得。1.由系統(tǒng)的微分方程繪制信號流圖

繪制圖示電路的信號流圖。已知電容初始電壓為解：

列寫微分方程如下：在考慮初始條件的情況下進行拉氏變換，得

2.由系統(tǒng)結構圖繪制信號流圖1）用“o”在結構圖的信號線上標出信號流圖的節(jié)點。2）用與結構圖相應的支路連接節(jié)點，方框中的傳遞函數為信號流圖中的支路增益，綜合點處的“—”號用負增益表示。3）略去只有一個輸入支路和一個輸出支路的節(jié)點（因為流入流出這些節(jié)點的信號相同），注意新的支路增益是與所略去節(jié)點有關的支路增益的乘積。信號流圖與結構圖的對應關系：信號流圖的節(jié)點對應結構圖的信號線，信號流圖的支路和支路增益對應結構圖的方框。繪制圖示結構圖的信號流圖。解：1.首先在結構圖上標出節(jié)點.按順序自左向右排列節(jié)點.例2-192.

用支路連接節(jié)點，標出支路增益。3.

略去只有一個輸入支路和一個輸出支路的節(jié)點.實際上，只需要在輸入量和輸出量信號線上、綜合點之后、引出點之前的信號線上標出節(jié)點Re2e3eC1G4G2G3GH-例2-20-三、信號流圖的等效變換規(guī)則2：并聯(lián)支路的簡化規(guī)則3：混合節(jié)點的消除規(guī)則1：串聯(lián)支路的簡化規(guī)則4：回路的消除n個同方向的并聯(lián)支路可用一個等效支路代替，等效支路增益等于并聯(lián)支路增益之和。

n個同方向的串聯(lián)支路可用一個等效支路代替，等效支路增益等于串聯(lián)支路增益的乘積。四、梅遜增益公式式中

——從輸入至輸出的前向通路數

——特征式——余因子式。在信號流圖中除去與第k條前向通路相接觸的回路后求得的特征式?！谢芈吩鲆嬷汀忻績蓚€互不接觸回路增益乘積之和

——所有每三個互不接觸的回路增益乘積之和

其中

——從輸入到輸出的第k條前向通路的通路增益梅遜公式給出了一種直接由信號流圖或結構圖計算系統(tǒng)傳遞函數的方法。例2-21RC1G3GH1-試用梅遜公式求圖示信號流圖的傳遞函數H3-H2-G2G4有3個回路，回路增益：從R到C的前向通路：

試用梅遜公式求圖示信號流圖的傳遞函數。解：

有4個回路，回路增益：②①③④兩兩互不接觸回路：三個互不接觸回路：

特征式：

例2-22從R到C的前向通路：

4條。各前向通路的余子式：控制系統(tǒng)的結構圖如圖所示，試用梅遜公式由求傳遞函數解：

有2條前向通路：例2-23使用梅遜公式時需要注意：梅遜公式只適用于求信號流圖的輸出節(jié)點、混合節(jié)點對輸入節(jié)點的總增益。求一個節(jié)點對一個混合節(jié)點的總增益不能直接使用梅遜公式。RC1G3GH1-H3-H2-G2G4E求2.6閉環(huán)控制系統(tǒng)中幾個常用的傳遞函數概念

一、閉環(huán)系統(tǒng)的典型結構二、閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數

斷開系統(tǒng)的主反饋通路后，前向通路的傳遞函數與反饋通路傳遞函數的乘積，稱為閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數。

---輸入---干擾---輸出---誤差2.6閉環(huán)控制系統(tǒng)中幾個常用的傳遞函數概念

一、閉環(huán)系統(tǒng)的典型結構---輸入---干擾---輸出---誤差三、閉環(huán)傳遞函數

（1）輸入信號作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數定義：當時，與之間的傳遞函數定義：當時，與之間的傳遞函數（2）干擾信號作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數（3）系統(tǒng)總的輸出定義系統(tǒng)的誤差：

四、閉環(huán)系統(tǒng)的誤差傳遞函數

定義：當時，與之間的傳遞函數（1）作用下系統(tǒng)的誤差傳遞函數定義：當時，與之間的傳遞函數（3）系統(tǒng)總的誤差（2）作用下系統(tǒng)的誤差傳遞函數五、閉環(huán)特征方程

四種閉環(huán)傳遞函數表達式具有相同的分母：方程稱為閉環(huán)控制系統(tǒng)的特征方程（閉環(huán)特征方程）。閉環(huán)特征方程的根稱為閉環(huán)特征根，即閉環(huán)傳遞函數的極點。本章小結建立系統(tǒng)的動態(tài)數學模型，是對系統(tǒng)進行定性分析和定量估算的基礎，也是對系統(tǒng)進行仿真研究的依據。本章主要介紹了連續(xù)時間系統(tǒng)的四種數學模型：微分方程、傳遞函數、結構圖、信號流圖。建立這些模型的方法是分析法。

微分方程是另外三種數學模型的基礎，只有正確分析元部件和系統(tǒng)的工作原理，并且進行合理的簡化，才能得到合乎實際需要的微分方程。不同的物理系統(tǒng)，只要具有相同的運動規(guī)律，就可以抽象出相同的微分方程，說明這些系統(tǒng)的動態(tài)過程具有相同的本質特征。

由于實際系統(tǒng)中的元部件往往不同程度地存在著非線性特性，系統(tǒng)需要由非線性微分方程描述，這就給系統(tǒng)的分析和計算帶來很大困難。工程實際中，在系統(tǒng)的工作點附近進行線性化處理的小偏差法是常用的線性化方法之一。

結構圖和信號流圖是圖形化的數學模型，可以清楚地描述系統(tǒng)中各個變量之間的信號傳遞關系。結構圖和信號流圖是以傳遞函數的概念為基礎建立起來的，同時又為求解系統(tǒng)輸入輸出傳遞函數提供了更為方便的方法，即結構圖和信號流圖的等效變換方法、梅遜增益公式計算方法。傳遞函數是用拉氏變換求解微分方程中引伸出來的數學模型，只適用于線性定常系統(tǒng)。傳遞函數是由系統(tǒng)本身的結構和參數決定的，表征了系統(tǒng)的固有特性。因此，傳遞函數是經典控制理論中最主要的數學模型，是控制系統(tǒng)分析和校正方法的基礎。如何建立線性定常系統(tǒng)的傳遞函數是本章學習的重點。求控制系統(tǒng)的傳遞函數方法數學物理原理微積分消元代數消元拉氏變換拉氏變換等效變換梅遜公式等效變換梅遜公式控制系統(tǒng)原理框圖元部件微分方程系統(tǒng)輸入輸出微分方程系統(tǒng)輸入輸出變換方程系統(tǒng)輸入輸出傳遞函數元部件變換方程元部件結構圖系統(tǒng)的結構圖系統(tǒng)的信號流圖第3章控制系統(tǒng)的時域分析3.1

引言時域分析法：直接在時間域中對系統(tǒng)性能進行分析的方法。即在系統(tǒng)輸入端施加一個典型輸入信號，根據系統(tǒng)的微分方程或傳遞函數，求出系統(tǒng)的輸出，并依據輸出來分析系統(tǒng)的性能（穩(wěn)定性、瞬態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能）。時域分析法特點：（1）是一種直接分析方法，直觀、易于理解；（2）比較準確，可以提供輸出響應的全部信息；（3）求解高階系統(tǒng)比較困難。考慮單輸入、單輸出線性定常系統(tǒng)：取初始時刻t=0，方程兩邊進行拉氏變換：

其中整理后在用時域分析法研究控制系統(tǒng)時，為了分析和比較系統(tǒng)性能的優(yōu)劣，通常對系統(tǒng)的初始狀態(tài)和輸入信號作一些典型化處理。

影響系統(tǒng)響應c(t)

的因素：

系統(tǒng)自身的結構與參數加在系統(tǒng)上的輸入信號（信號的大小及形式）系統(tǒng)的初始狀態(tài)（或初始條件）對C(s)進行拉氏反變換：零狀態(tài)響應零輸入響應求得一、典型初始狀態(tài)

二、典型輸入信號規(guī)定取零初始狀態(tài)典型初始狀態(tài)表明在輸入信號作用于系統(tǒng)之前，輸出量相對于平衡工作點的增量為零，其各階導數也為零，系統(tǒng)處于相對靜止狀態(tài)。所謂典型輸入信號，是指根據系統(tǒng)經常遇到的輸入信號形式，在數學描述上加以理想化的一些基本輸入函數。是各種實際輸入信號的近似和抽象形式盡可能簡單，便于計算和分析在實驗中易于產生典型輸入信號特點：1.單位階躍函數

常用的典型輸入信號有以下幾種：

2.單位斜坡函數

3.單位加速度函數

4.單位脈沖函數

5.正弦函數

三、典型時間響應

初始狀態(tài)為零的系統(tǒng)，在典型輸入信號作用下的輸出，稱為典型時間響應。

瞬態(tài)過程：瞬態(tài)過程又稱過渡過程或動態(tài)過程，是指系統(tǒng)在典型輸入信號作用下，系統(tǒng)輸出由初始狀態(tài)到達最終狀態(tài)的響應過程。

穩(wěn)態(tài)過程：指系統(tǒng)在典型輸入信號作用下，當時間t趨于無窮大時，系統(tǒng)輸出量的表現(xiàn)形式。穩(wěn)態(tài)過程只存在于穩(wěn)定的系統(tǒng)中。典型時間響應由瞬態(tài)過程和穩(wěn)態(tài)過程兩部分組成：單位階躍響應單位斜坡響應單位脈沖響應…..描述穩(wěn)定的系統(tǒng)在單位階躍函數作用下，瞬態(tài)過程隨時間t的變化狀況的指標，稱為瞬態(tài)性能指標。四、控制系統(tǒng)的性能指標瞬態(tài)性能指標穩(wěn)態(tài)性能指標描述系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)控制精度或抗擾動能力的一種性能指標，通常在階躍函數、斜坡函數和加速度函數作用下進行測定或計算。在系統(tǒng)時間響應過程的不同階段，有相應的性能指標要求。1.延遲時間

：指響應曲線第一次達到其終值一半所需要的時間。2.上升時間

：指響應曲線從零第一次上升到終值所需要的時間；對于無振蕩的系統(tǒng)，也可定義為響應從終值的10%上升到終值的90%所需要的時間。上升時間是系統(tǒng)響應速度的一種度量。3.峰值時間

：指響應超過終值達到第一個峰值所需要的時間。4.調節(jié)時間

：指響應達到并保持在終值±5%（或±2%）內所需要的時間。5.超調量：指響應的最大偏離量

與終值h(∞)之差的百分比，即：階躍響應下的性能指標5.超調量：指響應的最大偏離量

與終值h(∞)之差的百分比，即：瞬態(tài)性能指標2.上升時間

：指響應曲線從零第一次上升到終值所需要的時間；對于有振蕩的系統(tǒng)，也可定義為響應從終值的10%上升到終值的90%所需要的時間。上升時間是系統(tǒng)響應速度的一種度量。1.延遲時間

：指響應曲線第一次達到其終值一半所需要的時間。

穩(wěn)態(tài)誤差

：當時間趨于無窮大時，系統(tǒng)的希望輸出量與實際輸出量之差。穩(wěn)態(tài)性能指標3.峰值時間

：指響應超過終值達到第一個峰值所需要的時間。4.調節(jié)時間

：指響應達到并保持在終值±5%（或±2%）內所需要的時間。一階系統(tǒng)的結構圖閉環(huán)傳遞函數為

R(s)E(s)C(s)-3.2一階系統(tǒng)的時域分析一、一階系統(tǒng)的數學模型用一階微分方程描述的系統(tǒng)稱為一階系統(tǒng)。

其開環(huán)傳遞函數為

一階系統(tǒng)的主要參數:時間常數

T2T3Th(t)014T63.2%86.5%95%98.2%t二、一階系統(tǒng)的時間響應1.單位階躍響應

T1/T初始斜率一階系統(tǒng)的性能指標一階系統(tǒng)跟蹤階躍輸入信號時無穩(wěn)態(tài)誤差，稱為無靜差系統(tǒng)。穩(wěn)態(tài)性能指標為：

瞬態(tài)性能指標為：

延遲時間：

上升時間：

調節(jié)時間：

一階系統(tǒng)的階躍響應如果按照其初始速度勻速上升,經過T秒可達到響應的穩(wěn)態(tài)值;經過一階系統(tǒng)階躍響應曲線上任一點作切線，與直線相交，切點與交點之間的時間間隔(次割距)為T。當時間時,一階系統(tǒng)的階躍響應值為穩(wěn)態(tài)值的63.2%;

時間常數T的物理意義:

討論:的單位階躍響應及性能2.單位脈沖響應

T2T3T01/T4T0.368/T0.135/T0.05/T0.018/T初始斜率穩(wěn)態(tài)誤差3.單位斜坡響應

說明一階系統(tǒng)跟蹤單位斜坡輸入信號時，穩(wěn)態(tài)誤差為T。

04.單位加速度響應

說明一階系統(tǒng)無法跟蹤加速度輸入信號。

5.四種響應的關系

R(s)C1(s)C2(s)輸入信號的積分（或微分）作用于線性定常系統(tǒng)后的響應,等于該輸入信號作用于系統(tǒng)后的響應的積分（或微分）。

為積分環(huán)節(jié)或微分環(huán)節(jié)

例3-1

一階系統(tǒng)如圖所示，試求：（1）當反饋系數時，系統(tǒng)單位階躍響應的調節(jié)時間ts；（2）如果要求ts小于0.1秒，試問系統(tǒng)的反饋系數應如何調整？解：

（1）系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數為：

根據一階系統(tǒng)求調節(jié)時間的公式，有（2）系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數為：-C(s)R(s)時間常數：時間常數：已知某元部件的傳遞函數為：

采用圖示方法引入負反饋，將調節(jié)時間減至原來的0.1倍，但總放大系數保持不變，試選擇KH、K0的值。

KH-C(s)R(s)K0解：

原系統(tǒng)的調節(jié)時間為

引入負反饋后，系統(tǒng)的傳遞函數為：

若將調節(jié)時間減至原來的0.1倍，但總放大系數保持不變，則：

解得

例3-23.3二階系統(tǒng)的時域分析一、二階系統(tǒng)的數學模型二階系統(tǒng)的結構圖：閉環(huán)傳遞函數為：二階系統(tǒng)的主要參數：R(s)E(s)C(s)-開環(huán)傳遞函數為：

:自然振蕩頻率（無阻尼振蕩頻率）:阻尼比閉環(huán)特征方程

閉環(huán)特征根為

二、二階系統(tǒng)的單位階躍響應1.欠阻尼情況（0<ξ<1）

閉環(huán)極點為共軛復數：

圖中：

衰減系數：

阻尼振蕩頻率：

系統(tǒng)閉環(huán)極點與原點的連線稱為等阻尼線，β反映了阻尼比ξ的大小。h(t)包含穩(wěn)態(tài)分量和瞬態(tài)分量，其穩(wěn)態(tài)分量為1，瞬態(tài)分量呈現(xiàn)振蕩衰減特性。輸入信號：

h(t)的包絡線為：

包絡線在繪制h(t)曲線時，應注意到：

（1）延遲時間：

由方程

,作曲線：或

較大范圍內

由曲線擬合出:（3）峰值時間：（2）上升時間：

（6）穩(wěn)態(tài)誤差：（5）調節(jié)時間：

說明二階欠阻尼系統(tǒng)跟蹤階躍輸入信號時，無穩(wěn)態(tài)誤差，系統(tǒng)為無靜差系統(tǒng)。（4）超調量：

為方便，往往采用包絡線代替實際響應曲線估算調節(jié)時間。

超調量的大小只取決于阻尼比（橫坐標為無因次時間）阻尼比ξ

越小，系統(tǒng)的超調量越大，系統(tǒng)的響應振蕩越劇烈。阻尼比的大小反映了系統(tǒng)響應的平穩(wěn)性。ωn越大，振蕩越劇烈．故ξ大、

ωn小，響應平穩(wěn)。

調節(jié)時間的計算公式為近似表達式(略保守)工程上把ξ=0.707時的二階系統(tǒng)稱為最佳二階系統(tǒng)，這時121080.20.40.60.84201.00.680.436調節(jié)時間與閉環(huán)極點實部數值ξωn成反比。當阻尼比一定時，加大自然振蕩頻率ωn會減小調節(jié)時間。為了減小調節(jié)時間，通常取ξ=0.4~0.8。2.無阻尼情況（ξ=0）

無阻尼是欠阻尼的特殊情況

:單位階躍響應為等幅振蕩曲線。3.過阻尼情況（ξ>1）閉環(huán)極點為兩個負實數極點：設

則

相當于兩個慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)(與一階系統(tǒng)不同)穩(wěn)態(tài)誤差為0，說明系統(tǒng)跟蹤階躍輸入信號時，無穩(wěn)態(tài)誤差，系統(tǒng)為無靜差系統(tǒng)。

動態(tài)指標:(近似為一階系統(tǒng))(與欠阻尼擬合方法相同)過阻尼二階系統(tǒng)的調節(jié)時間特性

考慮:，作曲線：由圖中曲線看出：4.臨界阻尼情況（ξ=1）

閉環(huán)極點為重極點：

即

臨界阻尼二階系統(tǒng)單位階躍響應具有非周期性，沒有振蕩和超調。該響應曲線不同于典型一階系統(tǒng)的單位階躍響應，起始點斜率為零.動態(tài)性能指標為：穩(wěn)態(tài)誤差為0，說明跟蹤階躍輸入信號時，無穩(wěn)態(tài)誤差，系統(tǒng)為無靜差系統(tǒng)。

5.負阻尼情況（ξ<0）

設二階系統(tǒng)的單位階躍響應曲線如圖所示，試確定系統(tǒng)的傳遞函數。

解：

根據響應曲線，可知代入傳遞函數例3-3系統(tǒng)如圖所示。要求單位階躍響應無超調，調節(jié)時間不大于1秒，求開環(huán)增益K。

R(s)E(s)C(s)-解：

系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為：

驗證：

根據題意，要使調節(jié)時間最小應選擇ξ=1，有例3-4三、二階系統(tǒng)的單位脈沖響應

由于單位脈沖響應是單位階躍響應對時間的導數，對不同阻尼比下的單位階躍響應表達式求導，可以得到二階系統(tǒng)的單位脈沖響應。穩(wěn)態(tài)誤差為：

四、二階系統(tǒng)的單位斜坡響應

瞬態(tài)分量穩(wěn)態(tài)分量穩(wěn)態(tài)誤差為：

穩(wěn)態(tài)誤差為：

穩(wěn)態(tài)誤差為：

小結閉環(huán)傳遞函數阻尼比ξ階躍響應曲線特性瞬態(tài)指標穩(wěn)態(tài)誤差欠阻尼按正弦規(guī)律衰減振蕩00過阻尼按指數規(guī)律單調上升00臨界阻尼按指數規(guī)律單調上升00問題：僅靠調整參數不能同時改善瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能。開環(huán)傳遞函數R(s)E(s)C(s)-五、改善二階系統(tǒng)瞬態(tài)性能的措施R(s)E(s)C(s)-欠阻尼系統(tǒng)在單位階躍信號作用下，系統(tǒng)將產生超調。[0，t1]時間內：e(t)為正，輸出c(t)增加，一方面使輸出接近希望值，另一方面有可能使系統(tǒng)出現(xiàn)超調，要減小超調，e(t)不能過大。給e(t)加入一個附加的負信號，有利于減小超調；在[t1，t2]時間內：系統(tǒng)出現(xiàn)超調，e(t)為負，有利于減弱c(t)增加的趨勢。給e(t)加入一個附加的負信號，有利于減小超調；在[t2，t3]時間內：c(t)已經過最大值，出現(xiàn)下降趨勢，e(t)為負，有利于c(t)的下降，同時有可能使c(t)出現(xiàn)反向超調。給e(t)加入一個附加的正信號，有利于減小反向超調。在[t3，t4]時間內：c(t)出現(xiàn)反向超調，e(t)為正，有利于減小c(t)的反向超調。在此時間段內，給e(t)加入一個附加的正信號，有利于減小反向超調。通過以上分析，要減小超調量，可以給e(t)加入一個附加信號，其極性要求為：

[0，t1]：“-”[t1，t2]：“-”[t2，t3]：“+”[t3，t4]：“+”經分析，e(t)的導數

和-c(t)的導數的極性符合要求。因此，減小系統(tǒng)的超調量，改善平穩(wěn)性的措施可以有以下兩種：

輸出信號的測速負反饋控制誤差信號的比例-微分控制取控制信號為1、比例-微分控制

系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為：

閉環(huán)傳遞函數為：

阻尼比為：

可見，采用比例-微分控制，增加了系統(tǒng)的等效阻尼比，不改變系統(tǒng)的自然振蕩頻率和開環(huán)增益，但增加了一個閉環(huán)零點。

R(s)E(s)C(s)-R(s)E(s)C(s)注意：采用比例-微分控制后，系統(tǒng)為有零點的二階系統(tǒng)，性能指標計算公式為：

式中：

1）峰值時間

2）超調量

3）調節(jié)時間

21dndxwjb--2、測速反饋控制

開環(huán)傳遞函數為：

閉環(huán)傳遞函數為：

阻尼比為：

可見，測速反饋控制增大了系統(tǒng)的等效阻尼比，不改變自然振蕩頻率，但降低了系統(tǒng)的開環(huán)增益。

R(s)E(s)C(s)3、兩種措施的比較比例-微分控制測速反饋控制增加了等效阻尼比超調量下降；調節(jié)時間減小增加了等效阻尼比超調量下降；調節(jié)時間減小不改變自然振蕩頻率不改變自然振蕩頻率不改變開環(huán)增益不影響常值穩(wěn)態(tài)誤差降低了開環(huán)增益加大了系統(tǒng)在斜坡信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差增加了一個閉環(huán)負實零點抗噪聲干擾能力較差；可減小上升時間不增加閉環(huán)零點抗噪聲干擾能力較好；例3-5根據系統(tǒng)傳遞函數找出單位階躍響應曲線例3-6圖示系統(tǒng),根據單位階躍響應曲線判定反饋極性3.4高階系統(tǒng)的時域分析一、高階系統(tǒng)的數學模型R(s)E(s)C(s)-靜態(tài)增益（靜態(tài)放大倍數）實數或復數閉環(huán)零點實數或復數閉環(huán)極點二、高階系統(tǒng)的單位階躍響應（考慮無重極點的情況）1.若閉環(huán)極點si為互不相同的實數靜態(tài)放大倍數幅值大、衰減慢的分量起主要作用2.若閉環(huán)極點中有q個實數極點，r對復數極點(q+2r=n)1.如果高階系統(tǒng)的所有閉環(huán)極點都具有負實部，即所有閉環(huán)極點都位于左半s開平面，那么隨著時間的增長，響應的瞬態(tài)分量趨于零，其穩(wěn)態(tài)輸出量h(∞)=A0。（這時稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的）2.閉環(huán)極點負實部的絕對值越大，其對應的瞬態(tài)響應分量衰減得越迅速；反之，則衰減緩慢。結論3.瞬態(tài)響應分量衰減快慢也取決于瞬態(tài)分量的系數。系數是由相應的閉環(huán)零極點之間的距離決定的。三、高階系統(tǒng)的近似分析高階系統(tǒng)的分析方法：使用計算機，應用數值分析法求解微分方程（MATLAB仿真工具）近似分析（利用主導極點、偶極子的概念）使用高階系統(tǒng)性能指標的估算公式閉環(huán)主導極點和偶極子穩(wěn)定的高階系統(tǒng)所有的閉環(huán)極點中，如果距離虛軸最近的極點到虛軸的距離小于其它極點到虛軸距離的1/5，且周圍沒有閉環(huán)零點，這樣的閉環(huán)極點就稱為主導極點。閉環(huán)主導極點可以是實數極點，也可以是復數極點。閉環(huán)主導極點所對應的響應分量，在系統(tǒng)的時間響應過程中起主導作用。閉環(huán)主導極點以外的其他閉環(huán)極點對系統(tǒng)的時間響應過程影響甚微，因而統(tǒng)稱為非主導極點。一對閉環(huán)零、極點之間的距離小于它們到虛軸的距離的1/10,則這樣的一對閉環(huán)零、極點稱為偶極子。該閉環(huán)極點所對應的響應分量系數很小，對系統(tǒng)的時間響應過程影響甚微，在分析高階系統(tǒng)的性能時，可以忽略偶極子的影響。當主導極點為一個實數極點時，系統(tǒng)可近似為一階系統(tǒng)；當主導極點為一對共軛復數極點時，系統(tǒng)可近似為二階欠阻尼系統(tǒng)；這時，高階系統(tǒng)可近似按照一、二階系統(tǒng)估算性能指標。

求下列傳遞函數的主導極點，并寫出簡化的傳遞函數。

控制系統(tǒng)的傳遞函數為：若采用閉環(huán)主導極點和偶極子概念簡化系統(tǒng)的傳遞函數，應選擇以下哪個答案？例

３－7例３－8求下列閉環(huán)系統(tǒng)的單位階躍響應。解：方法1

運用閉環(huán)主導極點的概念對系統(tǒng)數學模型進行簡化。3個閉環(huán)極點為：為主導極點。系統(tǒng)可近似為單位階躍響應為：方法2忽略與非主導極點對應的瞬態(tài)分量，可得方法1更簡單方法2更準確例３－9四、高階系統(tǒng)瞬態(tài)性能估算即

設高階系統(tǒng)具有一對共軛復數主導極點

，在單位階躍響應表達式中忽略與閉環(huán)非主導極點和偶極子對應的瞬態(tài)分量，則輸出量的拉氏變換近似式為1.峰值時間

閉環(huán)零點的作用為減小峰值時間，使系統(tǒng)響應速度加快，并且閉環(huán)零點越接近虛軸，這種作用便越顯著。

閉環(huán)非主導極點的作用為增大峰值時間，使系統(tǒng)響應速度變慢。若閉環(huán)零、極點彼此接近，則它們對系統(tǒng)響應速度的影響相互削弱。2.超調量

若閉環(huán)零點距虛軸較近，將使超調量增大，表明閉環(huán)零點會減小系統(tǒng)阻尼。

若閉環(huán)非主導極點距虛軸較近，將使超調量減小，表明閉環(huán)非主導極點可以增大系統(tǒng)阻尼。3.調節(jié)時間

若閉環(huán)零點距虛軸較近，將使調節(jié)時間增大。

若閉環(huán)非主導極點距虛軸較近，將使調節(jié)時間減小。閉環(huán)零點對系統(tǒng)動態(tài)性能總的影響是減小峰值時間，增大系統(tǒng)的超調量和調節(jié)時間，這種作用將隨閉環(huán)零點接近虛軸而加劇。閉環(huán)非主導極點對系統(tǒng)動態(tài)性能總的影響是增大峰值時間，減小系統(tǒng)的超調量和調節(jié)時間。

結論：3.5線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

一、穩(wěn)定性的基本概念如果系統(tǒng)仍能逐漸恢復到原平衡狀態(tài)，則稱系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，或簡稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的；如果系統(tǒng)圍繞平衡點作等幅震蕩，或偏離平衡點的距離趨于某一非零值，則稱系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的；如果系統(tǒng)偏離平衡點越來越遠，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。穩(wěn)定不穩(wěn)定臨界穩(wěn)定一個線性定常系統(tǒng)工作在某平衡狀態(tài)，在受到有界擾動后，偏離了平衡狀態(tài)，而當擾動消失后大范圍穩(wěn)定：系統(tǒng)受到擾動后，不論初始偏差多大，系統(tǒng)都是穩(wěn)定的，稱為大范圍穩(wěn)定（全局穩(wěn)定）的系統(tǒng)。小范圍穩(wěn)定：當擾動引起的初始偏差小于某一范圍時，系統(tǒng)才是穩(wěn)定的，稱為小范圍穩(wěn)定（局部穩(wěn)定）的系統(tǒng)。若線性系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則一定是大范圍穩(wěn)定的。

穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)的重要性能，也是系統(tǒng)能夠正常工作的首要條件。二、線性系統(tǒng)穩(wěn)定的數學條件（充要條件）思路：設線性系統(tǒng)的初始條件為零，作用一個理想單位脈沖δ(t)，這時系統(tǒng)的輸出響應為單位脈沖響應c(t)。這就相當于系統(tǒng)在擾動信號作用下，輸出信號偏離原平衡工作點的問題。若t→∞時，有c(t)→0，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

設線性定常系統(tǒng)的傳遞函數為：輸入信號：輸出響應：若系統(tǒng)的特征根中有一個或一個以上正實部根，則t→∞時，c(t)→∞，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的；線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的所有根均具有負實部；或者說，閉環(huán)傳遞函數的極點均嚴格位于左半s平面。

分析c(t)→0的條件：若系統(tǒng)特征根中有一個或一個以上零實部根，而其余的特征根均具有負實部，則t→∞時，c(t)趨于常數或趨于等幅正弦振蕩，系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的，屬不穩(wěn)定系統(tǒng)；

當且僅當系統(tǒng)特征根全部具有負實部，才有t→∞時，c(t)→0，即系統(tǒng)是穩(wěn)定的。三、穩(wěn)定性的代數判據根據上面介紹的充要條件判穩(wěn)，需要知道系統(tǒng)全部特征根，對于高階系統(tǒng)，求特征根是困難的。問題：代數判據是直接根據閉環(huán)特征方程的系數判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，避免了求解閉環(huán)特征根的困難。1.勞斯穩(wěn)定判據設線性系統(tǒng)的特征方程為：根據特征方程式的系數，可建立勞斯表如下：

若勞斯表中第一列系數全部為正，則所有閉環(huán)極點均位于左半s平面，系統(tǒng)穩(wěn)定；若勞斯表第一列系數有負數或零，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，說明有閉環(huán)極點位于右半s平面或虛軸上；位于右半s平面的閉環(huán)極點數正好等于勞斯表第一列系數符號改變的次數。

設線性系統(tǒng)特征方程式為：

試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解：

建立勞斯表：

勞斯表中第一列系數符號改變2次，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，且有2個正實部根。

例3-10勞斯判據中的兩種特殊情況：特殊情況1勞斯表任一行第一列系數為零，該行其余系數不全為零。

勞斯表某行第一列系數為零，則勞斯表無法計算下去，這時可以斷定系統(tǒng)不穩(wěn)定，但是無法判斷系統(tǒng)在右半s平面的極點個數。處理方法：可以用無窮小的正數ε代替0，接著進行計算，勞斯判據結論不變。

方法1用一個因子乘原特征方程（其中為任意正數），得到新的方程，再重新列勞斯表。

方法2用1/s代替原特征方程中的s，得到新的方程，再重新列勞斯表。

方法3設線性系統(tǒng)特征方程式為：

試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解：

建立勞斯表：

例3-11(1)由于勞斯表中第一列系數出現(xiàn)零，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。(2)符號改變2次，有2個正實部根。

方法1設線性系統(tǒng)特征方程式為：

試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解：

因方程中缺項，其勞斯表為：

例3-12(1)勞斯表中第一列系數出現(xiàn)零，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。(2)符號改變2次，有2個正實部根。

由方法2，用(s+1)乘方程兩邊：

對上面的例子，使用方法3：用1/s代替原特征方程中的s，有:(1)勞斯表中第一列系數出現(xiàn)零，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。(2)符號改變2次，有2個正實部根。

系統(tǒng)中存在對稱于原點的根，即：1）絕對值相等、符號相反的實數根；2）共軛虛根；3）對稱于原點的兩對共軛復根。特殊情況2

勞斯表中出現(xiàn)某行系數全為零

原因：1）用全零行上面一行的系數構造一個輔助方程式F(s)=0；2）全零行的系數則由輔助多項式F(s)對s求導后所得的多項式系數來代替，勞斯表可以繼續(xù)計算下去，由第一列系數變符號次數可判斷位于右半s開平面的根的個數；3）對稱于原點的根可由輔助方程求得。處理方法：設線性系統(tǒng)特征方程式為：

試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解：

建立勞斯表并計算：

例3-13出現(xiàn)全零行

結論：系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。勞斯表第一列不變號，說明沒有正實部根，由輔助方程式可以求得系統(tǒng)對稱于原點的根:

利用長除法，可以求出特征方程其余的根：設線性系統(tǒng)特征方程式為：

試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解：

建立勞斯表：

系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。由勞斯表第一列可知，有1個正實根。解出4個根：用長除法解出另外2個根：利用輔助方程：例3-14關于勞斯判據的幾點說明在使用勞斯判據時，只要遇到上述兩種特殊情況，系統(tǒng)一定是不穩(wěn)定的。輔助方程在s右半平面的根的個數已包含在勞斯表第一列元素符號變化的次數之中。勞斯表某一行元素同時乘以一個大于零的數，不影響判穩(wěn)結果。設線性系統(tǒng)的特征方程為：

線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：由系統(tǒng)特征方程系數所構成的Hurwitz行列式Δn及其各階順序主子式Δi(i=1,2…,n-1)全部為正。其中：

2.赫爾維茨（Hurwitz）判據設線性系統(tǒng)特征方程式為：

試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解：

不滿足赫爾維茨穩(wěn)定判據，系統(tǒng)不穩(wěn)定。

例3-15設線性系統(tǒng)的特征方程為：

線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：1）方程式所有系數為正；2）所有奇數階或偶數階Hurwitz行列式為正，即：Δ奇>0或Δ偶>0。3.林納德-奇帕特（Lienard-Chipard）判據

設線性系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為：

試判斷系統(tǒng)穩(wěn)定時K,T應滿足的條件。

解：

系統(tǒng)特征方程式為1+G(s)H(s)=0，即根據李納德-奇帕特判據，要求K>0,T>0，且Δ偶>0。

系統(tǒng)穩(wěn)定時，要求：

例3-161）利用穩(wěn)定判據，判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。2）利用穩(wěn)定判據，判斷系統(tǒng)穩(wěn)定時，參數的取值范圍。

4.代數穩(wěn)定判據的應用例3-17設單位負反饋系統(tǒng)，開環(huán)傳遞函數為求系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時的開環(huán)增益,并計算臨界開環(huán)增益的極小值。解

系統(tǒng)的特征方程式為建立勞斯表系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時，有令系統(tǒng)臨界開環(huán)增益的極小值包含在開環(huán)傳遞函數中的多個慣性環(huán)節(jié)時間常數相互接近，則系統(tǒng)臨界開環(huán)增益較小若要提高系統(tǒng)的臨界開環(huán)增益，設計時應設法將包含在開環(huán)傳遞函數中的多個慣性環(huán)節(jié)的時間常數相互錯開。

設單位負反饋系統(tǒng)，開環(huán)傳遞函數為：

試確定系統(tǒng)穩(wěn)定時K的取值范圍。

解：

系統(tǒng)的特征方程式為：

建立勞斯表：

系統(tǒng)穩(wěn)定時，要求求得參數穩(wěn)定范圍：0<K<8例3-183）利用穩(wěn)定判據，求系統(tǒng)具有一定穩(wěn)定裕度時，參數的取值范圍。

系統(tǒng)穩(wěn)定時，要求所有閉環(huán)極點在s平面的左邊，閉環(huán)極點離虛軸越遠，系統(tǒng)穩(wěn)定性越好，閉環(huán)極點離開虛軸的距離，可以衡量系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度。

設單位負反饋系統(tǒng)，開環(huán)傳遞函數為：

若要求閉環(huán)極點在s=-1左邊，試確定K的取值范圍。解：

系統(tǒng)的特征方程式為：

令s=s1-1

例3-19在系統(tǒng)的特征方程D(s)=0中，令s=s1-a，得到D(s1)=0，利用穩(wěn)定判據，若D(s1)=0的所有解都在s1平面左邊，則原系統(tǒng)的特征根在s=-a左邊。所以，當0.25<K<2

時，閉環(huán)極點在s=-1左邊。整理后：

建立勞斯表：

要使勞斯表第1列為正，應有：

3.6線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差計算

R(s)E(s)C(s)-B(s)對于圖示一般線性控制系統(tǒng)，若按輸入端定義：e(t)=r(t)-b(t)，E(s)=R(s)-B(s)若按輸出端定義：E(s)=R(s)/H(s)-C(s)穩(wěn)態(tài)誤差是指誤差信號的穩(wěn)態(tài)值，即：對于單位負反饋系統(tǒng)，兩種定義方法是一致的。在系統(tǒng)分析和設計中，一般采用按輸入端定義誤差。一：誤差與穩(wěn)態(tài)誤差若系統(tǒng)的誤差傳遞函數為Φe(s)，則E(s)=Φe(s)R(s)，若E(s)滿足拉氏變換終值定理的條件（要求系統(tǒng)穩(wěn)定，且R(s)的所有極點在左半s開區(qū)間），可以利用終值定理來求穩(wěn)態(tài)誤差，即例3-20

設單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為：求r(t)=1(t),r(t)=t,r(t)=t2/2以及r(t)=sinωt時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。

解：

誤差傳遞函數為：

系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

若輸入信號為正弦信號，則不能應用拉氏變換終值定理。

穩(wěn)態(tài)誤差為：

二：系統(tǒng)類型

設控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為：

其中K稱為系統(tǒng)的開環(huán)增益。υ=0，系統(tǒng)稱為0型系統(tǒng)，υ=1，系統(tǒng)稱為1型系統(tǒng)，υ=2，系統(tǒng)稱為2型系