第一節(jié) 初始近似根的確定

數(shù)值計算方法第10章非線性方程（組）及其解法1．根的存在性。方程有沒有根？如果有根，有幾個根？2．這些根大致在哪里？如何把根隔離開來？3．根的精確化一引言（1.1）本章主要討論單變量非線性方程的求根問題，這里一類特殊的問題是多項式方程（1.2）的求根問題，其中系數(shù)為實數(shù).10.1求實根的對分區(qū)間法其中為正整數(shù)，且當(dāng)時，稱為單根，若稱為（1.1）的重根，或為的重零點.若是的重零點，且充分光滑，則方程的根，又稱為函數(shù)的零點，它使，若可分解為當(dāng)為代數(shù)多項式（1.2）時，根據(jù)代數(shù)基本定理可知，次方程在復(fù)數(shù)域有且只有個根（含復(fù)根，重根為個根）.

時方程的根是大家熟悉的，時雖有求根公式但比較復(fù)雜，可在數(shù)學(xué)手冊中查到，但已不適合于數(shù)值計算，而時就不能用公式表示方程的根.通常對的多項式方程求根與一般連續(xù)函數(shù)方程（1.1）一樣都可采用迭代法.迭代法要求先給出根的一個近似，若且，根據(jù)連續(xù)函數(shù)性質(zhì)可知在內(nèi)至少有一個實根，這時稱為方程（1.1）的有根區(qū)間.1．畫出f(x)的略圖，從而看出曲線與x軸交點的位置。2．從左端點x=a出發(fā)，按某個預(yù)先選定的步長h一步一步地向右跨，每跨一步都檢驗每步起點x0和終點x0+h的函數(shù)值，若那么所求的根x*必在x0與x0+h之間，這里可取x0或x0+h作為根的初始近似。abx*f(x)通常可通過逐次搜索法求得方程（1.1）的有根區(qū)間.由此可知方程的有根區(qū)間為

例7.1.1

求方程的有根區(qū)間.

解根據(jù)有根區(qū)間定義，對的根進(jìn)行搜索計算，結(jié)果如下：用逐步搜索法進(jìn)行實根隔離的關(guān)鍵是選取步長h

要選擇適當(dāng)h，使之既能把根隔離開來，工作量又不太大。為獲取指定精度要求的初值,可在以上隔離根的基礎(chǔ)上采用對分法繼續(xù)縮小該含根子區(qū)間

二分法可以看作是搜索法的一種改進(jìn)。二二分法考察有根區(qū)間，取中點將它分為兩半，假設(shè)中點不是的零點，然后進(jìn)行根的搜索.檢查與是否同號，如果確系同號，說明所求的根在的右側(cè),這時令；否則必在的左側(cè)，這時令.不管出現(xiàn)哪一種情況，新的有根區(qū)間的長度僅為的一半.對壓縮了的有根區(qū)間又可施行同樣的手續(xù)，即用中點將區(qū)間再分為兩半，然后通過根的搜索判定所求的根在的哪一側(cè)，從而又確定一個新的有根區(qū)間，其長度是的一半.如此反復(fù)二分下去，即可得出一系列有根區(qū)間其中每個區(qū)間都是前一個區(qū)間的一半，因此的長度當(dāng)時趨于零，就是說，如果二分過程無限地繼續(xù)下去，這些區(qū)間最終必收縮于一點，該點顯然就是所求的根.每次二分后，設(shè)取有根區(qū)間的中點作為根的近似值，則在二分過程中可以獲得一個近似根的序列該序列必以根為極限.由于（1.3）只要二分足夠多次（即充分大），便有這里為預(yù)定的精度.

例2求方程在區(qū)間內(nèi)的一個實根，要求準(zhǔn)確到小數(shù)點后第2位.

解這里，而取的中點，將區(qū)間二等分，由于，即與同號，故所求的根必在右側(cè)，這時應(yīng)令，而得到新的有根區(qū)間如此反復(fù)二分下去,按誤差估計（1.3）式,欲使只需，即只要二分6次，便能達(dá)到預(yù)定的精度.計算結(jié)果如表7-1.且f(x)在[2,3]上連續(xù),故方程f(x)=0在[2,3]內(nèi)至少有一個根。又當(dāng)時，,故f(x)在[2,3]上是單調(diào)遞增函數(shù),從而f(x)在[2,3]上有且僅有一根。給定誤差限＝0.5×10-3,使用二分法時證明令例３證明方程在區(qū)間[2,3]內(nèi)有一個根,使用二分法求誤差不超過的根要二分多少次？誤差限為只要取k滿足即可，二分法的優(yōu)點是不管有根區(qū)間多大,總能求出滿足精度要求的根,且對函數(shù)f(x)的要求不高,只要連續(xù)即可,計算亦簡單;它的局限性是只能用于求函數(shù)的實根,不能用于求復(fù)根及重根,它的收斂速度與比值為的等比級數(shù)相同。即所以需二分10次便可達(dá)到要求。二分法是計算機(jī)上的一種常用算法，計算步驟為：步驟1準(zhǔn)備計算在有根區(qū)間端點處的值步驟2二分計算在區(qū)間中點處的值

步驟3判斷若，則即是根，計算過程結(jié)束，否則檢驗.若