第七章彎曲變形 第一節(jié)積分法

一、工程實例（Exampleproblem）第七章彎曲變形第一節(jié)引言車輛上的板彈簧,要求有足夠大的變形,以緩解車輛受到的沖擊和振動作用.二、梁對稱彎曲時的變形對稱彎曲時，梁的軸線彎成一條光滑連續(xù)的平面曲線。該曲線稱為梁的撓曲線建立圖示坐標(biāo)系，彎曲變形所導(dǎo)致的梁橫截面的位移可橫截面形心的豎向線位移，為撓曲線的縱坐標(biāo)

w，1.撓度（線位移）即規(guī)定上正下負(fù)；用兩個參量來描述

——撓曲線方程橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)動的角度，2.轉(zhuǎn)角（角位移）記作

，規(guī)定逆時針旋向為正，反之為負(fù)第二節(jié)撓曲線近似微分方程一、梁的撓曲線（中性層）曲率式中，EIz稱為梁的抗彎剛度橫力彎曲時,M

和都是x的函數(shù)，略去剪力對梁的位移的影響,則二、梁的撓曲線近似微分方程高等數(shù)學(xué)中的曲率計算公式OxwxOw

此式稱為

梁的撓曲線近似微分方程（differentialequationofthedeflectioncurve）

近似原因:（1）略去了剪力的影響;

（2）略去了

項;與1相比十分微小而可以忽略不計,故上式可近似為◆轉(zhuǎn)角方程◆撓曲線方程第三節(jié)計算彎曲變形的積分法說明：1）若彎矩方程

M(x)

為分段函數(shù)，積分則應(yīng)分段進行；2）積分常數(shù)由梁的位移邊界條件以及位移連續(xù)條件確定二、確定位移邊界條件[例1]圖示懸臂梁，自由端承受集中力

F

作用，試建立梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程，并計算最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。設(shè)梁的抗彎剛度

EI

為常數(shù)。1）列彎矩方程解：2）建立轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程對撓曲線近似微分方程積分一次，得轉(zhuǎn)角方程再積分一次，得撓曲線方程3）確定積分常數(shù)該梁的位移邊界條件為解得積分常數(shù)故得梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為4）計算最大撓度和最大轉(zhuǎn)角由梁的變形圖易見，梁的最大撓度和最大轉(zhuǎn)角均發(fā)生于x=l

的自由端面

B

處，故得最大撓度：最大轉(zhuǎn)角：[例2]圖示簡支梁，在截面

C

處受集中力

F

作用，試建立梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程，并計算最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。設(shè)梁的抗彎剛度

EI

為常數(shù)。1）列彎矩方程解：支座反力分段列彎矩方程AC段（0≤

x1≤

a）CB段（a

≤

x2≤

l

）分段積分，得轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為AC段（0≤

x1≤

a）CB段（a

≤

x2≤

l

）2）建立轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程3）確定積分常數(shù)位移邊界條件：位移連續(xù)條件：根據(jù)上述條件求得四個積分常數(shù)分別為AC段（0≤

x1≤

a）CB段（a

≤

x2≤

l

）所以，最終梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為AC段（0≤

x1≤

a）CB段（a

≤

x2≤

l

）4）計算最大轉(zhuǎn)角和最大撓度假設(shè)

a

＞

b，可得梁的最大轉(zhuǎn)角AC段（0≤

x1≤

a）CB段（a

≤

x2≤

l

）最大撓度[例3]圖示一抗彎剛度為EI的簡支梁,在全梁上受集度為q的均布荷載作用.試求此梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程,并確定其

和

ABql解:由對稱性可知ABqlFRAFRBx

此梁的彎矩方程及撓曲線微分方程分別為梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為

邊界條件x=0和x=l時,

xABqlFRAFRBAB