糾錯碼Lecture6-卷積碼(I)

Lecture6

卷積碼(I)2內(nèi)容基本概念矩陣和多項式描述初始截段碼對偶碼與透明碼伴隨式計算與一般譯碼3基本概念分組碼的特點：分組碼編碼時，本組的n-k個校驗元僅與本組的k個信息元有關(guān)，而與其它各組碼元無關(guān)。分組碼譯碼時，也僅從本碼組中的碼元內(nèi)提取有關(guān)譯碼信息，而與其它各組無關(guān)。卷積碼的特點：卷積碼編碼中，本組的n0-k0個校驗元不僅與本組的k0個信息元有關(guān)，而且還與以前各時刻輸入至編碼器的信息組有關(guān)。同樣，在卷積碼譯碼過程中，不僅從此時刻收到的碼組中提取譯碼信息，而且還要利用以前或以后各時刻收到的碼組中提取有關(guān)信息。卷積碼編碼器

卷積碼每組的信息位k0和碼長n0，通常比分組碼的k和n要小。二進制卷積碼編碼器(3,1,2)卷積碼編碼器5卷積碼的定義一般將卷積碼標記為(n0,k0,m)碼，其中n0：每時刻編碼器輸出的碼元個數(shù)；其集合稱為卷積碼的一個碼段或子組k0：每時刻編碼器輸入的信息位個數(shù)m：編碼存貯；m+1稱為編碼約束度，它表示編碼過程中互相約束的子碼個數(shù)；n0(m+1)稱為編碼約束長度，表示編碼過程中互相約束的碼元個數(shù)碼率：R=k0/n0圖1為一個(3,1,2)卷積碼編碼器mp2p1圖1.(3,1,2)卷積碼編碼器6卷積碼的生成矩陣圖1的生成矩陣設(shè)圖1編碼器的初始狀態(tài)為全0，若輸入的信息序列M=(100…)則輸出碼序列為C=(111,010,001,000,…)。碼序列中第m+1段以后，后面各段取值均為0。若M=(111…)=(100…)+(010…)+(001…)+…，則有C=(111,010,001,000,…)+(000,111,010,001,000,…)+(000,000,111,010,001,000,…)+…C=MG∞基本生成矩陣7卷積碼的生成矩陣子生成元其中，gi,j表示第i個信息位對當前及后續(xù)m個子碼的第j個碼元的影響生成多項式矩陣

維矩陣G(D)表示：卷積碼碼字中，每一段子碼的n0個碼元與k0個信息位之間的關(guān)系卷積碼的設(shè)計8Example1已知(2,1,3)碼的子生成元為1求出該碼的G(D)和G矩陣2畫出該碼的編碼器3求出相應(yīng)于信息序列M=(101)的碼序列4判斷此碼是否是系統(tǒng)碼Problemformulation9Example1Step1Step2DD

D＋＋c1c2m10Example1Step3Step4非系統(tǒng)碼11Example2Mi(1)Mi(2)ci(2)ci(1)ci(3)(3,2,2)卷積編碼器Problemformulation一個(3,2,2)系統(tǒng)卷積碼的編碼器如下圖所示，請給出該碼的的子生成元、基本生成矩陣、生成矩陣和生成矩陣多項式12Example2Step1Step2Step313Step4Example214卷積碼的生成矩陣（n0，k0，m）卷積碼生成矩陣G∞的一般形式為15卷積碼的生成矩陣基本生成矩陣

式中，gi（i=0,1,2,…，m）是一個k0×n0階陣，而空白的地方全為0。g∞共有k0個生成元每一個生成元g(j)的子生成元為16卷積碼的生成多項式矩陣因而相應(yīng)的生成多項式矩陣17系統(tǒng)卷積碼的生成矩陣若(n0,k0,m)是一個系統(tǒng)卷積碼，則g∞、G∞和G(D)分別為18系統(tǒng)卷積碼的生成多項式矩陣其中是一個以生成元為元素的k0×(k0-n0)階矩陣19卷積碼的校驗矩陣卷積碼的校驗矩陣矩陣20卷積碼的校驗多項式矩陣

類似于碼的生成多項式矩陣G(D),也可以定義碼的校驗多項式矩陣H(D)

式中為碼的子校驗元，通常它也是一個次數(shù)小于m的多項式。由可以求出每個子校驗元。21系統(tǒng)卷積碼的校驗矩陣當卷積碼為系統(tǒng)碼時，根據(jù),此時的校驗矩陣為

定義碼的基本校驗矩陣為22系統(tǒng)卷積碼的校驗多項式矩陣23Example2(continued)24Example2(continued)25Example2(continued)26初始截段碼定義編碼器初始狀態(tài)全為0時，編碼器輸出碼序列的前m+1段子碼所組成的碼字，稱為卷積碼的初始截段碼字，以表示，其中而以表示在同一時間段內(nèi)輸入至編碼器的信息序列。其中所有初始截段碼字的集合構(gòu)成一個((m+1)n0,(m+1)k0)線性碼27初始截段碼生成矩陣和校驗矩陣基本校驗矩陣基本生成矩陣28系統(tǒng)碼的對偶碼系統(tǒng)碼情況下,(n0,k0,m)碼的29系統(tǒng)碼的對偶碼相應(yīng)的(n0,n0-k0,m)對偶碼的30透明碼如果(n0,k0,m)卷積碼的每個子生成元中有奇數(shù)項，則稱為透明碼。透明碼的每個碼字的補碼也是該碼的一個碼字。(2,1,2)碼的生成矩陣,它的兩個生成元有奇數(shù)項。若,則碼序列它的補碼也是碼的一個碼字，因此該碼是透明碼。31伴隨式計算與一般譯碼

卷積碼的譯碼代數(shù)譯碼

概率譯碼

代數(shù)譯碼

與分組碼所定義的伴隨式相同，設(shè)發(fā)送的半無限長碼序列為C∞，信道的半無限長錯誤圖樣為E∞，則接收到的半無限長序列R∞=C∞+E∞。定義以下半無限長序列為R∞的伴隨式。32伴隨式多項式若僅檢驗接收序列中連續(xù)m+1段以內(nèi)的校驗關(guān)系，則(n0,k0,m)碼的伴隨式定義為相應(yīng)的伴隨式多項式定義為33伴隨式多項式式中:

稱Si(D)為子伴隨式多項式序列。由此可知，伴隨式是一個有(m+1)(n0-k0)個分量的序列，它反映了編碼約束長度內(nèi)有關(guān)錯誤圖樣的信息。34系統(tǒng)卷積碼代數(shù)譯碼的基本概念

卷積碼的譯碼問題就是從收到的序列R(D)=C(D)+E(D)中，確定出發(fā)送的碼序列C(D)或相應(yīng)的信息序列M(D)，這相當于要求譯碼器首先計算伴隨式S(D)，然后由S(D)確定錯誤圖樣，最后得到了已經(jīng)糾正過的序列，它可能與原發(fā)送的序列相同，也可能不同。若，說明譯碼產(chǎn)生了錯誤。35系統(tǒng)卷積碼的代數(shù)譯碼系統(tǒng)卷積碼的一般代數(shù)譯碼器的框圖錯誤圖樣檢測器……伴隨式寄存器……修正伴隨式伴隨式計算電路輸入R(D)-……信息元緩沖寄存器36系統(tǒng)卷積碼的代數(shù)譯碼

(1)由收到的序列R中，分成兩個序列，信息序列M和校驗序列P。M序列送入信息緩存寄存器寄存，同時送入伴隨式計算電路(它就是一個與發(fā)端相同的編碼器)計算新的校驗元，并與收到的校驗元序列進行比較，得到伴隨式寄存在伴隨式寄存器中。(2)當接收完第m+1段子組后，伴隨式寄存器中的伴隨式送到錯誤圖樣檢測電路，以確定此時刻前第m個時間單位內(nèi)，收到的子組中的信息位內(nèi)的錯誤圖樣 。這時第0子組的信息元已移至信息元存儲器的最右邊，與錯誤圖樣相減后就得到了已糾正過的第0子組內(nèi)的信息元。若與原發(fā)送的信息元 相同，則認為譯碼無錯；否則有錯。37系統(tǒng)卷積碼的代數(shù)譯碼

(3)由卷積碼的編碼過程可知，第0子組的信息元，對其后m段子碼中的校驗元均有約束關(guān)系，因而為了消除第0子組中的錯誤對以后m段子組的影響，充分發(fā)揮碼的糾錯能力，就反饋一個信號給伴隨式寄存器以修正伴隨式，消除第0子組內(nèi)錯誤對以后子組的影響。