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文檔簡介
矩陣位移法1
一、矩陣位移法的基本思路
矩陣位移法的兩個(gè)基本步驟是(1)結(jié)構(gòu)的離散化;(2)單元分析;(3)整體分析,任務(wù)意義單元分析建立桿端力與桿端位移間的剛度方程,形成單元?jiǎng)偠染仃囉镁仃囆问奖硎緱U件的轉(zhuǎn)角位移方程整體分析由變形條件和平衡條件建立結(jié)點(diǎn)力與結(jié)點(diǎn)位移間的剛度方程,形成整體剛度矩陣用矩陣形式表示位移法基本方程2指桿件除有彎曲變形外,還有軸向變形和剪切變形的單元,桿件兩端各有三個(gè)位移分量,
符號(hào)規(guī)則:圖(a)表示單元編號(hào)、桿端編號(hào)和局部座標(biāo),局部座標(biāo)的座標(biāo)與桿軸重合;12eEAIl(a)圖(b)表示的桿端位移均為正方向。單元編號(hào)桿端編號(hào)局部座標(biāo)12(b)桿端位移編號(hào)12桿端力編號(hào)(c)二、桿端位移、桿端力的正負(fù)號(hào)規(guī)定一般單元:3eee局部坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠确匠蘀Al6EIl2
6EIl2
EAl12EIl3
12EI
l34EIl2EIlee=(1)(2)(3)(4)(5)(6)(1)(2)(3)(4)(5)(6)0000006EI
l206EIl20-EAl-6EIl2-6EIl2
EAl-12EIl3
12EIl32EIl4EIl000000-6EIl206EIl20只與桿件本身性質(zhì)有關(guān)而與外荷載無關(guān)局部座標(biāo)系的單元?jiǎng)偠染仃?§13-3單元?jiǎng)偠染仃?整體座標(biāo)系)exyX1Y1X2Y2eeeee座標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣一、單元座標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣正交矩陣[T]-1=[T]Teeee??5三、單元?jiǎng)偠染仃嚨男再|(zhì)(1)單元?jiǎng)偠认禂?shù)的意義e—代表單元桿端第j個(gè)位移分量等于1時(shí)所引起的第i個(gè)桿端力分量。(2)單元?jiǎng)偠染仃囀菍?duì)稱矩陣,e即。(3)一般單元的剛度矩陣是奇異矩陣;e因此它的逆矩陣不存在從力學(xué)上的理解是,根據(jù)單元?jiǎng)偠确匠蘣eeee由有一組力的解答(唯一的),即正問題。ee由如果e不是一組平衡力系則無解;若是一組平衡力系,則解答不是唯一的,即反問題。[k]=[T]T
ke[T]e二、整體座標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃?§13-4連續(xù)梁的整體剛度矩陣按傳統(tǒng)的位移法i1i21214i112i110i1i21222i122i22(4i1+4i2)2i1i212302i234i23每個(gè)結(jié)點(diǎn)位移對(duì){F}的單獨(dú)貢獻(xiàn)F1F2F34i12i102i14i1+4i22i202i24i2123={F}=[K]{}根據(jù)每個(gè)結(jié)點(diǎn)位移對(duì)附加約束上的約束力{F}的貢獻(xiàn)大小進(jìn)行疊加而計(jì)算所得。傳統(tǒng)位移法7一、單元集成法的力學(xué)模型和基本概念分別考慮每個(gè)單元對(duì){F}的單獨(dú)貢獻(xiàn),整體剛度矩陣由單元直接集成i1i212123F3{F}1=[F11F211]TF11F21F31令
i2=0,則F31=0[k]=4i12i14i12i11F11F21=4i12i14i12i112(a)(b)F11F21F31=4i12i14i12i1000001231[K]{}{F}=1[K]=14i12i14i12i100000單元1的貢獻(xiàn)矩陣單元1對(duì)結(jié)點(diǎn)力{F}的貢獻(xiàn)略去其它單元的貢獻(xiàn)。8i1i212123F12F22F32[k]=4i22i24i22i22F12F22F32=4i12i14i12i1000001232[K]{}{F}=2設(shè)
i1=0,則F12=0[K]=24i12i14i12i100000單元的貢獻(xiàn)矩陣F3{F}2=[F12F222]T單元對(duì)結(jié)點(diǎn)力{F}的貢獻(xiàn)略去單元的貢獻(xiàn)。91[K]{}{F}=1[K]=14i12i14i12i1000002[K]{}{F}=2[K]=24i12i14i12i100000i1i2121212[K]=([K]+[K])=12ee[k][K][K]ee{F}={F}+{F}=([K]+[K]){}12{F}=[K]{}整體剛度矩陣為:單元集成法求整體剛度矩陣步驟:根據(jù)單元和單元分別對(duì)結(jié)點(diǎn)力{F}的貢獻(xiàn),可得整體剛度方程:10[k][K][K]ee12[k]=4i12i14i12i11[K]=14i12i14i12i100000[k]=4i22i24i22i22[K]=24i22i24i22i2000001214i12i14i12i1000002i22i24i2[K]=4i12i14(i1+i2)2i102i202i24i24i1+4i2整體剛度矩陣:11二、按照單元定位向量由[k]求
e[K]e(1)在整體分析中按結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移統(tǒng)一編碼,稱為總碼。(2)在單元分析中按單元兩端結(jié)點(diǎn)位移單獨(dú)編碼,稱為局部碼。以連續(xù)梁為例121231(1)(2)2(1)(2)位移統(tǒng)一編碼,總碼單元12對(duì)應(yīng)關(guān)系局部碼總碼單元定位向量e(1)1(2)21=(1)2(2)32=確定中的元素在中的位置。為此建立兩種編碼:[k]
e[K]e位移單獨(dú)編碼局部碼由單元的結(jié)點(diǎn)位移總碼組成的向量12(3)單剛[k]
e[K]e和單元貢獻(xiàn)中元素的對(duì)應(yīng)關(guān)系單元單元[k]=4i12i14i12i11(1)(2)(1)(2)1=[K]=11230000000004i12i12i14i1123[k]=4i22i24i22i22(1)(2)(1)(2)2=[K]=20000000004i22i24i22i2123123單元定位向量描述了單元兩種編碼(總碼、局部碼)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。單元定位向量定義了整體坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃囍械脑卦谡w剛度矩陣中的具體位置,故也稱為“單元換碼向量”。單元貢獻(xiàn)矩陣是單元?jiǎng)偠染仃?,利用“單元定位向量”進(jìn)行“換碼重排位”。13三、單元集成法的實(shí)施(定位累加)[K]123123000000000[k]110000000004i12i12i14i1123123[k]224i12i14i12i1000002i22i24i24i1+4i2123123(1)將[K]置零,得[K]=[0];(2)將[k]的元素在[K]中按{}定位并進(jìn)行累加,得[K]=[K];(3)將[k]的元素在[K]中按{}定位并進(jìn)行累加,得[K]=[K]+[K];按此作法對(duì)所有單元循環(huán)一遍,最后即得整體剛度矩陣[K]。1412i1i2i3312301230=0(1)結(jié)點(diǎn)位移分量總碼(2)單元定位向量1=2=3=(3)單元集成過程[k]=4i12i14i12i111221[k]=4i22i24i22i222332[k]=4i32i34i32i330330[K]=1231230000000004i12i12i12i22i24i24i14i2+4i34i1+4i2例.求連續(xù)梁的整體剛度矩陣。15四、整體剛度矩陣[K]的性質(zhì)(1)整體剛度系數(shù)的意義:Kij-j=1(其余=0)時(shí)產(chǎn)生的結(jié)點(diǎn)力Fi(2)[K]是對(duì)稱矩陣(3)對(duì)幾何不變體系,[K]是可逆矩陣,如連續(xù)梁i1i2123F1F2F3{F}=[K]{}{}=[K]-1{F}(4)[K]是稀疏矩陣和帶狀矩陣,如連續(xù)梁123F1F2F3123nnFnn+1Fn+10000000000000000000000000000000000004i12i12i12i22i24i2+4i34i1+4i24in2i32in16§13-5剛架的整體剛度矩陣思路要點(diǎn):(1)設(shè)各單元已形成了整體座標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃嚕籩[k](2)各經(jīng)由e{}進(jìn)行累加集成[K]。與連續(xù)梁相比:(1)各單元考慮軸向變形;(2)每個(gè)剛結(jié)點(diǎn)有三個(gè)位移;(3)要采用整體座標(biāo);(4)要處理非剛結(jié)點(diǎn)的特殊情況。一、結(jié)點(diǎn)位移分量的統(tǒng)一編碼——總碼ABCxy123004000結(jié)點(diǎn)位移總碼{}=[1
234]T規(guī)定:對(duì)于已知為零的結(jié)點(diǎn)位移分量,其總碼均編為零。=[uA
vA
A
C]T整體結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移向量為:相應(yīng)地結(jié)點(diǎn)力向量為:=[XA
YA
MA
MC]T{F}=[F1
F2
F3
F4]T①②17x(1)(2)(3)(5)(6)x(2)(3)(5)(6)單元結(jié)點(diǎn)位移分量局部碼二、單元定位向量單元單元局部碼總碼局部碼總碼(1)1(2)2(3)3(4)0(5)0(6)4(1)1(2)2(3)3(4)0(5)0(6)0三、單元集成過程①②ABCxy12300400結(jié)點(diǎn)位移總碼②①0(4)(1)(4)181ABC2xy123004000121234[K]=123400000000000000001[k]=000000000000000000000000000000000000111213141516212223242526313233343536414243444546515253545556616263646566123004123004111213212223313233616263661626361112132122233132332[k]1230001230001112131415162
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