2019屆江蘇省高考數(shù)學二輪專題復習與策略訓練第1部分專題5第16講高考中的圓(含解析)

第16講高考取的圓題型一|直線與圓及圓與圓(2019·江蘇高考)如圖16－1，在平面直角坐標系xOy中，已知以M為圓心的圓M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一點A(2,4)．圖16－1(1)設圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x＝6上，求圓N的標準方程；(2)設平行于OA的直線l與圓M訂交于B，C兩點，且BC＝OA，求直線l的方程；→→→＋TP＝TQ，務實數(shù)t(3)設點T(t,0)知足：存在圓M上的兩點P和Q，使得TA的取值范圍．圓N與圓M外切0―→寫出圓N的方程0――→求出y[解題指導](1)設圓心N(6，y)圓N與x軸相切l(wèi)∥OA―→設l的方程―→弦心距、半弦長、半徑間的關系―→求l的方程(3)設

P，Q的坐標

成立

P，Q坐標間的關系

等價轉(zhuǎn)變――→圓與圓的地點關系[解]圓M的標準方程為(x－6)2＋(y－7)2＝25，所以圓心M(6,7)，半徑為5.(1)由圓心N在直線x＝6上，可設N(6，y0)．因為圓N與x軸相切，與圓M外切，所以0<y0<7，圓N的半徑為y0，進而7－y0＝5＋y0，解得y0＝1.3分所以，圓N的標準方程為(x－6)2＋(y－1)2＝1.4分(2)因為直線l∥OA，4－0所以直線l的斜率為＝2.5分2－0設直線l的方程為y＝2x＋m，即2x－y＋m＝0，則圓心M到直線l的距離d＝|2×6－7＋m||m＋5|＝.7分55因為BC＝OA＝22＋42＝25，2BC2而MC＝d＋2，m＋52所以25＝＋5，解得m＝5或m＝－15.9分2故直線l的方程為2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0.10分(3)設P(x1，y1)，Q(x2，y2)．→→→因為A(2,4)，T(t,0)，TA＋TP＝TQ，x2＝x1＋2－t，所以①11分y＝y(tǒng)＋4.21因為點Q在圓M上，所以(x2－6)2＋(y2－7)2＝25.②12分將①代入②，得(x1－t－4)2＋(y1－3)2＝25.13分于是點P(x1，y1)既在圓M上，又在圓[x－(t＋4)]2＋(y－3)2＝25上，進而圓(x－6)2＋(y－7)2＝25與圓[x－(t＋4)]2＋(y－3)2＝25有公共點，所以5－5≤[t＋4－6]2＋3－72≤5＋5，14分解得2－221≤t≤2＋221.所以，實數(shù)t的取值范圍是[2－221，2＋221].16分【名師評論】此題波及知識面較廣，既考察了直線與直線的地點關系，也考查了直線與圓及圓與圓的地點關系，求解的重點是充分利用上述關系成立數(shù)目關系，注意等價轉(zhuǎn)變思想的應用．1．在平面直角坐標系xOy中，已知圓M經(jīng)過點A(1,0)，B(3,0)，C(0,1)．(1)求圓M的方程；→→(2)若直線l：mx－2y－(2m＋1)＝0與圓M交于點P，Q，且MP·MQ＝0，務實數(shù)m的值．[解](1)法一：設圓M的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，D＋F＋1＝0，則3D＋F＋9＝0，5分E＋F＋1＝0，D＝－4，解得E＝－4，F(xiàn)＝3.所以圓M的方程x2＋y2－4x－4y＋3＝0.8分法二：線段AC的垂直均分線的方程為y＝x，線段AB的垂直均分線的方程為x＝2，y＝x，由解得M(2,2).5分x＝2，所以圓M的半徑r＝AM＝5，所以圓M的方程為(x－2)2＋(y－2)2＝5.8分→→π(2)因為MP·MQ＝0，所以∠PMQ＝2.10又由(1)得MP＝MQ＝r＝5，所以點M到直線l的距離d＝2.14分|2m－4－2m－1|10由點到直線的距離公式可知，2＝2，解得m＝±6.16分m＋42．(2019·江蘇高考)如圖16－2，在平面直角坐標系xOy中，點A(0,3)，直線l：y＝2x－4.設圓C的半徑為1，圓心在l上．圖16－2(1)若圓心C也在直線y＝x－1上，過點A作圓C的切線，求切線的方程；(2)若圓C上存在點M，使MA＝2MO，求圓心C的橫坐標a的取值范圍．[解](1)由題設，圓心C是直線y＝2x－4和y＝x－1的交點，解得點C(3,2)，于是切線的斜率必存在．設過A(0,3)的圓C的切線方程為y＝kx＋3.3分|3k＋1|＝1，解得k＝0或k＝－3由題意，得24，k＋1故所求切線方程為y＝3或3x＋4y－12＝0.6分(2)因為圓心在直線y＝2x－4上，所以圓C的方程為(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.設點M(x，y)，因為MA＝2MO，10分所以x2＋y－32＝2x2＋y2，化簡得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，所以點M在以D(0，－1)為圓心，2為半徑的圓上．由題意，點M(x，y)在圓C上，所以圓C與圓D有公共點，則－≤≤＋，即1≤2－32≤3.|21|CD21a＋2a整理，得－8≤5a2－12a≤0.14分由5a2－12a＋8≥0，得a∈R；212由5a－12a≤0，得0≤a≤5.12所以點C的橫坐標a的取值范圍為0，5.16分題型二|與圓相關的函數(shù)建模問題(2019·江蘇高考)如圖16－3，為保護河上古橋OA，規(guī)劃建一座新橋BC，同時建立一個圓形保護區(qū)．規(guī)劃要求：新橋BC與河岸AB垂直；保護區(qū)的界限為圓心M在線段OA上并與BC相切的圓，且古橋兩頭O和A到該圓上隨意一點的距離均許多于80m．經(jīng)丈量，點A位于點O正北方向60m處，點C4位于點O正東方向170m處(OC為河岸)，tan∠BCO＝3.圖16－3(1)求新橋BC的長；(2)當OM多長時，圓形保護區(qū)的面積最大？[解題指導](1)成立平面直角坐標系―→求AB，BC的斜率―→求點B及BC的長設OM＝d，圓的半徑為r―→用d表示r―→成立對于d的不等式組―→求d的范圍[解]法一：(1)如圖(1)，以O為坐標原點，OC所在直線為x軸，成立平面直角坐標系xOy.(1)由條件知A(0,60)，C(170,0)，4直線BC的斜率kBC＝－tan∠BCO＝－3.3又因為AB⊥BC，所以直線AB的斜率kAB＝4.4分設點B的坐標為(a，b)，則kBC＝b－0＝－4，①a－1703b－603kAB＝＝.②a－04聯(lián)立①②解得a＝80，b＝120.6分所以BC＝170－802＋0－1202＝150.所以新橋BC的長是150m．8分(2)設保護區(qū)的界限圓M的半徑為rm，OM＝dm(0≤d≤60)．4由條件知，直線BC的方程為y＝－3(x－170)，即4x＋3y－680＝0.10分|3d－680|因為圓M與直線BC相切，故點M(0，d)到直線BC的距離是r，即r＝42＋32680－3d＝.12分5因為O和A到圓M上隨意一點的距離均許多于80m，680－3dr－d≥80，5－d≥80，所以即r－60－d≥80，680－3d5－60－d≥80.解得10≤d≤35.14分680－3d故當d＝10時，r＝最大，即圓面積最大．5所以當OM＝10m時，圓形保護區(qū)的面積最大.16分法二：(2)(1)如圖(2)，延伸OA，CB交于點F.因為tan∠FCO＝4，3所以sin∠FCO＝4，53cos∠FCO＝5.2分因為OA＝60，OC＝170，680OC850500所以OF＝OCtan∠FCO＝3，CF＝cos∠FCO＝3，進而AF＝OF－OA＝3.分4因為OA⊥OC，所以cos∠AFB＝sin∠FCO＝5.又因為AB⊥BC，所以BF＝AFcos∠AFB＝4003，進而BC＝CF－BF＝150.所以新橋BC的長是150m．8分(2)設保護區(qū)的界限圓M與BC的切點為D，連接MD，則MD⊥BC，且MD是圓M的半徑，并設MD＝rm，OM＝dm(0≤d≤60)．因為OA⊥OC，所以sin∠CFO＝cos∠FCO.故由(1)知sin∠CFO＝MD＝MD＝r＝3，MFOF－OM68053－d所以r＝680－3d5.12分因為O和A到圓M上隨意一點的距離均許多于80m，r－d≥80，680－3d－d≥80，5所以即r－60－d≥80，680－3d－60－d≥80，5解得10≤d≤35.14分故當d＝10時，r＝680－3d5最大，即圓面積最大．所以當OM＝10m時，圓形保護區(qū)的面積最大.16分【名師評論】此題以直線、圓的知識為載體，與實質(zhì)生活問題相聯(lián)合，重在考察成立數(shù)學模型及運用已知的數(shù)學知識解決實質(zhì)問題的能力，求解的重點是如何把實質(zhì)問題數(shù)學模型化．1．一條形如斜L型的鐵路線MON在經(jīng)過某城市O時轉(zhuǎn)彎而改變方向，測得tan∠MON＝－3，因市內(nèi)禁止建站，故考慮在郊區(qū)A，B處罰別建設東車站與北車站，此中東車站A建于鐵路OM上，且OA＝6km，北車站B建于鐵路ON上，同時在兩站之間建設一條貨運公路，使直線AB經(jīng)過貨物中轉(zhuǎn)站Q，已知Q站與鐵路線OM，ON的垂直距離分別為2km，710km.5現(xiàn)以點O為坐標原點，射線OM為x軸的正半軸，成立如圖16－4所示的直角坐標系．圖16－4(1)若一貨運汽車以362km/h的速度從車站A開往車站B，不計途中裝卸貨物時間，則需多長時間？(2)若在中轉(zhuǎn)站Q的正北方向6km有一個工廠P，為了節(jié)儉開銷，產(chǎn)品不經(jīng)中轉(zhuǎn)站而運至公路上C處，讓貨車直接運走，試確立點C的最正確地點．[解](1)由已知得A(6,0)，直線ON的方程為y＝－3x，|3x0＋2|710設Q(x0,2)(x0>0)，由10＝5及x0>0得x0＝4，∴Q(4,2).5分∴直線AQ的方程為y＝－(x－6)，即x＋y－6＝0，y＝－3x，x＝－3，即B(－3,9)，由得x＋y－6＝0，y＝9，∴AB＝－3－62＋92＝92，進而t＝92＝1h.3624即貨運汽車需要15分鐘時間.8分(2)點P到直線AB的垂直距離近來，則垂足為C.由(1)知直線AB的方程為x＋y－6＝0，12分∵P(4,8)，則直線PC的方程為x－y＋4＝0，x＝1，聯(lián)立上述兩式得即點C的坐標為(1,5).16分y＝5，2．(2019·南京鹽城二模)如圖16－5，某城市有一塊半徑為1(單位：百米)的圓形景觀，圓心為C，有兩條與圓形景觀相切且相互垂直的道路．最先規(guī)劃在拐角處(圖中暗影部分)只有一塊綠化地，以后有眾多市民建議在綠化地上建一條小道，便于市民快捷地來回兩條道路．規(guī)劃部門采用了此建議，決定在綠化地中增建一條與圓C相切的小道AB.圖16－5問：A，B兩點應選在哪處可使得小道AB最短？[解]如圖，分別由兩條道路所在直線成立直角坐標系xOy.設A(a,0)，B(0，b)(0＜a＜1,0＜b＜1)，xy則直線AB的方程為a＋b＝1，即bx＋ay－ab＝0.因為

AB與圓

C相切，所以

|b＋a－ab|＝1.b2＋a2化簡得

ab－2(a＋b)＋2＝0，即

ab＝2(a＋b)－2.

5分所以

AB＝

a2＋b2＝

a＋b

2－2ab＝a