誤差理論與數(shù)據(jù)處理第二章誤差的基本性質(zhì)與處理

第二章

誤差的基本性質(zhì)與處理

本章分別詳細(xì)闡述隨機(jī)誤差、系統(tǒng)誤差、粗大誤差三類誤差的來(lái)源、性質(zhì)、數(shù)據(jù)處理的方法以及消除或減小的措施。特別是在隨機(jī)誤差的數(shù)據(jù)處理中，分別掌握等精度測(cè)量和不等精度測(cè)量的不同數(shù)據(jù)處理方法。通過(guò)學(xué)習(xí)本章內(nèi)容，使讀者能夠根據(jù)不同性質(zhì)的誤差選取正確的數(shù)據(jù)處理方法并進(jìn)行合理的數(shù)據(jù)處理。教學(xué)目標(biāo)三大類誤差的特征、性質(zhì)以及減小各類誤差對(duì)測(cè)量精度影響的措施掌握等精度測(cè)量的數(shù)據(jù)處理方法掌握不等精度測(cè)量的數(shù)據(jù)處理方法重點(diǎn)與難點(diǎn)第一節(jié)隨機(jī)誤差一、隨機(jī)誤差產(chǎn)生的原因

在相同條件下，對(duì)同一測(cè)量值進(jìn)行重復(fù)多次測(cè)量時(shí)，得到一系列不同的測(cè)量值（常稱為測(cè)量列），每個(gè)測(cè)量值都含有誤差，這些誤差的出現(xiàn)沒(méi)有確定的規(guī)律，即前一個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)后，不能預(yù)測(cè)下一個(gè)數(shù)據(jù)的大小和方向。但就誤差整體而言，卻明顯具有某種統(tǒng)計(jì)規(guī)律。隨機(jī)誤差是由很多暫時(shí)未能掌握或不便掌握的微小因素構(gòu)成，主要有以下幾方面：

①測(cè)量裝置方面的因素

②環(huán)境方面的因素

③

人為方面的因素零部件變形及其不穩(wěn)定性，信號(hào)處理電路的隨機(jī)噪聲等。溫度、濕度、氣壓的變化，光照強(qiáng)度、電磁場(chǎng)變化等。瞄準(zhǔn)、讀數(shù)不穩(wěn)定，人為操作不當(dāng)?shù)?。第一?jié)隨機(jī)誤差一、隨機(jī)誤差產(chǎn)生的原因第一節(jié)隨機(jī)誤差正態(tài)分布的特性正態(tài)分布誤差概率密度曲線和直方圖０δ對(duì)稱性抵償性單峰性有界性第一節(jié)隨機(jī)誤差①對(duì)稱性

②單峰性

δ=0時(shí),

③有界性隨機(jī)誤差δ出現(xiàn)在一個(gè)有限的區(qū)間內(nèi)，即

[-kσ,+kσ]的可能性較大。④抵償性隨著測(cè)量次數(shù)的增加，。

正態(tài)分布的特性第一節(jié)隨機(jī)誤差令為隨機(jī)誤差，滿足正態(tài)分布，則標(biāo)準(zhǔn)差（或均方根誤差）：σ數(shù)學(xué)期望：方差：平均誤差：或然誤差：反映隨機(jī)誤差分布的中心位置反映隨機(jī)誤差相對(duì)于中心的分散程度二、正態(tài)分布

圖2-1為正態(tài)分布曲線以及各精度參數(shù)在圖中的坐標(biāo)。σ值為曲線上拐點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，θ值為曲線右半部面積重心B的橫坐標(biāo)，ρ值的縱坐標(biāo)線則平分曲線右半部面積。

第一節(jié)隨機(jī)誤差第一節(jié)隨機(jī)誤差三、算術(shù)平均值(一)定義(二)算術(shù)平均值的意義由得即算術(shù)平均值可以作為被測(cè)量真值的估計(jì)值若測(cè)量次數(shù)有限，由參數(shù)估計(jì)知，算術(shù)平均值是該測(cè)量總體期望的一個(gè)最佳的估計(jì)量，即滿足無(wú)偏性、有效性、一致性，并滿足最小二乘法原理；在正態(tài)分布條件下滿足最大似然原理。第一節(jié)隨機(jī)誤差(三)殘差(四)算術(shù)平均值的簡(jiǎn)便求法選一個(gè)接近所有測(cè)得值的數(shù)作為參考值第一節(jié)隨機(jī)誤差例2-1測(cè)量某物理量10次，得到結(jié)果見(jiàn)表，求。序號(hào)123456789101879.641879.691879.601879.691879.571879.621879.641879.651879.641879.65-0.01+0.04-0.05+0.04-0.08-0.03-0.010-0.0100+0.05-0.04+0.05-0.07-0.020+0.010+0.01

選參考值=1879.65，第一節(jié)隨機(jī)誤差

（五）算術(shù)平均值的計(jì)算校核規(guī)則1:殘差代數(shù)和校核

為非湊整的準(zhǔn)確數(shù)，為湊整的非準(zhǔn)確數(shù)，規(guī)則２:殘差代數(shù)和絕對(duì)值校核

n為偶數(shù)，

n為奇數(shù)，A為實(shí)際求得的算術(shù)平均值末位數(shù)的一個(gè)單位。常用第一節(jié)隨機(jī)誤差例2-3

測(cè)量某直徑11次，得到結(jié)果如表2-2所示，求算術(shù)平均值并進(jìn)行校核。

序號(hào)

(mm)

(mm)12345678910112000.072000.052000.092000.062000.082000.072000.062000.052000.082000.062000.07+0.003-0.017+0.023-0.007+0.013+0.003-0.007-0.017+0.013-0.007+0.003

第一節(jié)隨機(jī)誤差①計(jì)算算術(shù)平均值②校核規(guī)則１：規(guī)則２：計(jì)算正確第一節(jié)隨機(jī)誤差四、測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差（一）單次測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差σ

精度評(píng)定指標(biāo)之一１.σ的意義:反映了隨機(jī)誤差分布的分散性σ值愈小，高而陡，誤差分布范圍小，測(cè)量精度高。σ值愈大，低而平坦，誤差分布范圍大，測(cè)量精度低。測(cè)量結(jié)果＝被測(cè)量估計(jì)值（或）＋估計(jì)值的精度評(píng)定第一節(jié)隨機(jī)誤差２.σ的計(jì)算根據(jù)隨機(jī)變量標(biāo)準(zhǔn)差的定義，得δi未知時(shí)Bessel公式更準(zhǔn)確條件：n>5四、測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差第一節(jié)隨機(jī)誤差德國(guó)天文學(xué)家，數(shù)學(xué)家，天體測(cè)量學(xué)的奠基人之一。1784年7月22日生于明登，1846年3月17日卒于柯尼斯堡。15歲輟學(xué)到不來(lái)梅一家出口公司當(dāng)學(xué)徒，在學(xué)習(xí)航海術(shù)的同時(shí)學(xué)習(xí)天文、地理和數(shù)學(xué)。20歲時(shí)發(fā)表了有關(guān)彗星軌道測(cè)量的論文。1806年成為天文學(xué)家施特勒爾的助手。1810年，奉普魯士國(guó)王之命，任新建的柯尼斯堡天文臺(tái)臺(tái)長(zhǎng)，直至逝世。1812年當(dāng)選為柏林科學(xué)院院士。貝塞爾（Bessel，F(xiàn)riedrichWilhelm，1784～1846）第一節(jié)隨機(jī)誤差令，則當(dāng)n適當(dāng)大時(shí)，可以認(rèn)為趨近于零推導(dǎo)過(guò)程：第一節(jié)隨機(jī)誤差序號(hào)1234567891075.0175.0475.0775.0075.0375.0975.0675.0275.0575.08－0.035－0.005＋0.025－0.045－0.015+0.045+0.015-0.025+0.005+0.0350.0012250.0000250.0006250.0020250.0002250.0020250.0002250.0006250.0000250.001225

例2-4

用貝塞爾法求得表2-3的標(biāo)準(zhǔn)差。第一節(jié)隨機(jī)誤差3.σ的其他計(jì)算公式別捷爾斯法（Peters公式)由殘差絕對(duì)值之和求σ第一節(jié)隨機(jī)誤差序號(hào)1234567891075.0175.0475.0775.0075.0375.0975.0675.0275.0575.08－0.035－0.005＋0.025－0.045－0.015+0.045+0.015-0.025+0.005+0.0350.0012250.0000250.0006250.0020250.0002250.0020250.0002250.0006250.0000250.001225

例2-4

用別捷爾斯法求得表2-3的標(biāo)準(zhǔn)差。n2345678910111213141516171819201.131.692.062.332.532.702.852.973.083.173.263.343.413.473.533.593.643.693.74第一節(jié)隨機(jī)誤差極差法1）極差ωn2）σ的計(jì)算若等精度多次測(cè)量測(cè)得值服從正態(tài)分布，則第一節(jié)隨機(jī)誤差

例2-5仍用表2-3的測(cè)量數(shù)據(jù)，用極差法求得標(biāo)準(zhǔn)差。解：n1234567891011121314151.250.880.750.680.640.610.580.560.550.530.520.510.500.500.49n1617181920212223242526272829300.480.480.470.470.460.460.450.45

0.450.440.44

0.44

0.440.430.43n2345678910152025301.771.020.830.740.680.640.610.590.570.510.480.460.44第一節(jié)隨機(jī)誤差最大誤差法：當(dāng)各個(gè)獨(dú)立測(cè)量值服從正態(tài)分布時(shí)，已知真值：未知真值：第一節(jié)隨機(jī)誤差例2-6仍用表2-3的測(cè)量數(shù)據(jù)，按最大誤差法求標(biāo)準(zhǔn)差.解：而故標(biāo)準(zhǔn)差為第一節(jié)隨機(jī)誤差例2-7某激光管發(fā)出的激光波長(zhǎng)經(jīng)檢定為，由于某些原因未對(duì)次檢定波長(zhǎng)作誤差分析，但后來(lái)又用更精確的方法測(cè)得激光波長(zhǎng)，試求原檢定波長(zhǎng)的標(biāo)準(zhǔn)差。解：后測(cè)得的波長(zhǎng)是用更精確的方法，故認(rèn)為其測(cè)得值為實(shí)際波長(zhǎng)(或約定真值)，則原檢定波長(zhǎng)的隨機(jī)誤差為：

故標(biāo)準(zhǔn)差為：第一節(jié)隨機(jī)誤差σ的計(jì)算方法貝塞爾公式別捷爾斯法極差法最大誤差法第一節(jié)隨機(jī)誤差四種計(jì)算方法的優(yōu)缺點(diǎn)貝塞爾公式:最常用，適用于測(cè)量次數(shù)較多的情況，計(jì)算精度較高，但較麻煩。對(duì)重要的測(cè)量或多種結(jié)果矛盾時(shí)，以貝塞爾公式為準(zhǔn)。②別捷爾斯公式：最早用于前蘇聯(lián)列寧格勒附近的普爾科夫天文臺(tái)，它的計(jì)算速度較快，但計(jì)算精度較低，計(jì)算誤差為貝氏公式的1.07倍。③極差法：簡(jiǎn)單、迅速，當(dāng)n<10時(shí)可用來(lái)計(jì)算σ，此時(shí)計(jì)算精度高于貝氏公式。④最大誤差法：更為簡(jiǎn)捷，n很小時(shí)，有一定精度。尤其適用于一次實(shí)驗(yàn)。第一節(jié)隨機(jī)誤差（二）測(cè)量列算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)差算術(shù)平均值精度評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)測(cè)量結(jié)果=1.的計(jì)算第一節(jié)隨機(jī)誤差2.的意義n愈大，越小，說(shuō)明的精度越高；為提高測(cè)量精度，可以增大n；n的選取要適當(dāng)。σ一定時(shí)，當(dāng)n>10以后，的減小很慢。此外，由于增加測(cè)量次數(shù)難以保證測(cè)量條件的恒定，從而引入新的誤差，因此一般情況下取n=10左右較為適宜?？傊?，提高測(cè)量精度，應(yīng)采取適當(dāng)精度的儀器，選取適當(dāng)?shù)臏y(cè)量次數(shù)。第一節(jié)隨機(jī)誤差五、測(cè)量的極限誤差（容許誤差）（一）極限誤差定義指在一定的觀測(cè)條件下，測(cè)量誤差不應(yīng)超出的范圍極限值。若測(cè)量誤差落在范圍內(nèi)的概率為Ｐ，超出該范圍的概率為１－Ｐ，則為置信概率Ｐ的極限誤差。（二）單次測(cè)量的極限誤差以正態(tài)分布為例，隨機(jī)誤差落在（-δ,+δ）之間的概率：第一節(jié)隨機(jī)誤差將上式進(jìn)行變量置換，設(shè)經(jīng)變換，上式成為：超出的概率為確定極限誤差的步驟：

Ｐt標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，其值可由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表（附錄表１）查得置信概率第一節(jié)隨機(jī)誤差標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表:第一節(jié)隨機(jī)誤差現(xiàn)已查出t=1,2,3,4等幾個(gè)特殊值的積分值，并求出隨機(jī)誤差不超出相應(yīng)區(qū)間的概率p=2φ(t)和超出相應(yīng)區(qū)間的概率α=1-2φ(t)，如表2-6所示（圖2－4）。t不超出的概率超出的概率測(cè)量次數(shù)n超出的測(cè)量次數(shù)0.6712340.67σσ2σ3σ4σ0.49720.68260.95440.99730.99990.50280.31740.04560.00270.000123223701562611111第一節(jié)隨機(jī)誤差由于在一般測(cè)量中，測(cè)量次數(shù)很少超過(guò)幾十次，因此可以認(rèn)為絕對(duì)值大于3σ的誤差是不可能出現(xiàn)的，通常把這個(gè)誤差稱為單次測(cè)量的極限誤差，即

（p＝99.73％）其它t值也可．一般情況下，測(cè)量列單次測(cè)量的極限誤差可用下式表示：若已知測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差σ，選定置信系數(shù)t，則可由上式求得單次測(cè)量的極限誤差。（三）算術(shù)平均值的極限誤差算術(shù)平均值誤差：當(dāng)多個(gè)測(cè)量列的算術(shù)平均值誤差為正態(tài)分布時(shí)，根據(jù)概率論知識(shí)，可得t為置信系數(shù)，為算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差。當(dāng)測(cè)量列的測(cè)量次數(shù)較少時(shí)，應(yīng)按“學(xué)生氏”分布(“student”

distribution)或稱t分布來(lái)計(jì)算：第一節(jié)隨機(jī)誤差第一節(jié)隨機(jī)誤差式中的為置信系數(shù)，它由給定的置信概率和自由度來(lái)確定，具體數(shù)值見(jiàn)附錄3；為超出極限誤差的概率（稱顯著度或顯著水平），通常取=0.01或0.02,0.05；n為測(cè)量次數(shù)；為n次測(cè)量的算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)差。對(duì)于同一測(cè)量列，按正態(tài)分布和t分布分別計(jì)算時(shí)，即使置信概率的取值相同，但由于置信系數(shù)不同，因此求得的算術(shù)平均值極限誤差也不同。第一節(jié)隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差計(jì)算實(shí)例例2-1測(cè)量某物理量10次，得到結(jié)果見(jiàn)表，求及其標(biāo)準(zhǔn)差、極限誤差（置信概率P=99.73%,P=95%）。序號(hào)123456789101879.641879.691879.601879.691879.571879.621879.641879.651879.641879.65-0.01+0.04-0.05+0.04-0.07-0.03-0.010-0.0100+0.05-0.04+0.05-0.07-0.020+0.010+0.01

隨機(jī)誤差計(jì)算實(shí)例例2-2

測(cè)量某直徑5次，得到結(jié)果：2000.072000.052000.092000.062000.08

，求測(cè)量結(jié)果(顯著度0.05)。

例2-3

對(duì)某量進(jìn)行6次測(cè)量，測(cè)得數(shù)據(jù)如下：

802.40，802.50，802.38，802.48，802.42，802.46。求算術(shù)平均值及其極限誤差。第一節(jié)隨機(jī)誤差例2-3對(duì)某量進(jìn)行6次測(cè)量，測(cè)得數(shù)據(jù)如下：802.40，802.50，802.38，802.48，802.42，802.46。求算術(shù)平均值及其極限誤差。解：算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)差

因測(cè)量次數(shù)較少，應(yīng)按t分布計(jì)算算術(shù)平均值的極限誤差。已知，取，則由附錄表3查得，若按正態(tài)分布計(jì)算，取，置信概率，由附錄表1查得t＝2.60，則算術(shù)平均值的極限誤差為：由此可見(jiàn)，當(dāng)測(cè)量次數(shù)較少時(shí)，按兩種分布計(jì)算的結(jié)果有明顯的差別。則有：第一節(jié)隨機(jī)誤差第一節(jié)隨機(jī)誤差六、不等精度測(cè)量（一）不等精度測(cè)量列不同測(cè)量條件，如不同儀器，不同測(cè)量方法，不同測(cè)量次數(shù)，不同的測(cè)量者等第一節(jié)隨機(jī)誤差（二）權(quán)的概念權(quán):描述不等精度測(cè)量列中各個(gè)值的可信賴程度。Pi越大，說(shuō)明該測(cè)量值越可信賴。等精度測(cè)量：P1=P2=…=Pn不等精度測(cè)量：P1≠P2≠…≠Pn（三）權(quán)的確定以第２種情況為例：Pi=ni一般情況：第一節(jié)隨機(jī)誤差（四）測(cè)量結(jié)果估計(jì)加權(quán)算術(shù)平均值仍以特例２說(shuō)明：不等精度測(cè)量列，經(jīng)單位權(quán)化處理后，就可按等精度測(cè)量列來(lái)處理。第一節(jié)隨機(jī)誤差（五）單位權(quán)化－使不等精度測(cè)量列轉(zhuǎn)化為等精度測(cè)量列等精度：Pi=P=1σ－單位權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差

不等精度：?jiǎn)挝粰?quán)化：任何一個(gè)量值乘以自身權(quán)數(shù)的平方根。第一節(jié)隨機(jī)誤差（六）加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差近似精確第一節(jié)隨機(jī)誤差例2-10對(duì)一級(jí)鋼卷尺的長(zhǎng)度進(jìn)行了三組不等精度測(cè)量，其結(jié)果為求測(cè)量結(jié)果。例2-11工作基準(zhǔn)米尺在連續(xù)三天內(nèi)與國(guó)家基準(zhǔn)器比較，得到工作基準(zhǔn)米尺的平均長(zhǎng)度為999.9425mm(三次測(cè)量的)，999.9416mm(兩次測(cè)量的)，999.9419mm(五次測(cè)量的)，求最后測(cè)量結(jié)果。第一節(jié)隨機(jī)誤差例2-11工作基準(zhǔn)米尺在連續(xù)三天內(nèi)與國(guó)家基準(zhǔn)器比較，得到工作基準(zhǔn)米尺的平均長(zhǎng)度為999.9425mm(三次測(cè)量的)，999.9416mm(兩次測(cè)量的)，999.9419mm(五次測(cè)量的)，求最后測(cè)量結(jié)果。解：按測(cè)量次數(shù)來(lái)確定權(quán)：，選則有第一節(jié)隨機(jī)誤差由加權(quán)算術(shù)平均值，可得各組測(cè)量結(jié)果的殘余誤差為：又已知

代入式(2-51)得

七、隨機(jī)誤差的其他分布

正態(tài)分布是隨機(jī)誤差最普遍的一種分布規(guī)律，但不是唯一分布規(guī)律。下面介紹幾種常見(jiàn)的非正態(tài)分布。(一)均勻分布

在測(cè)量實(shí)踐中，均勻分布是經(jīng)常遇到的一種分布，其主要特點(diǎn)是，誤差有一確定的范圍，在此范圍內(nèi)，誤差出現(xiàn)的概率各處相等，故又稱矩形分布或等概率分布。數(shù)學(xué)期望：標(biāo)準(zhǔn)差：第一節(jié)隨機(jī)誤差(二)反正弦分布反正弦分布實(shí)際上是一種隨機(jī)誤差的函數(shù)分布規(guī)律，其特點(diǎn)是該隨機(jī)誤差與某一角度成正弦關(guān)系。反正弦分布的分布密度（圖2-6）第一節(jié)隨機(jī)誤差數(shù)學(xué)期望：標(biāo)準(zhǔn)差：（三）三角形分布

當(dāng)兩個(gè)誤差限相同且服從均勻分布的隨機(jī)誤差求和時(shí)，其和的分布規(guī)律服從三角形分布，又稱辛普遜（Simpson）分布。。三角形分布的分布密度（圖2-7）：第一節(jié)隨機(jī)誤差數(shù)學(xué)期望：標(biāo)準(zhǔn)差：如果對(duì)兩個(gè)誤差限為不相等的均勻分布隨機(jī)誤差求和時(shí)，則其和的分布規(guī)律不再是三角形分布而是梯形分布。在測(cè)量工作中，除上述的非正態(tài)分布外，還有直角分布、截尾正態(tài)分布、雙峰正態(tài)分布及二點(diǎn)分布等，在此不做一一敘述。（四）分布令為個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量，每個(gè)隨機(jī)變量都服從標(biāo)準(zhǔn)化的正態(tài)分布。定義一個(gè)新的隨機(jī)變量

隨機(jī)變量稱為自由度為的卡埃平方變量。自由度表示上式中項(xiàng)數(shù)或獨(dú)立變量的個(gè)數(shù)。

第一節(jié)隨機(jī)誤差分布的分布密度

式中的函數(shù)。它的數(shù)學(xué)期望為：

它的方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為：

在本書(shū)最小二乘法中要用到分布，此外它也是t分布和F分布的基礎(chǔ)。

由圖2-8的兩條理論曲線看出，當(dāng)逐漸增大時(shí)，曲線逐漸接近對(duì)稱。可以證明當(dāng)足夠大時(shí)，曲線趨近正態(tài)曲線。值得提出的是，在這里稱為自由度，它的改變將引起分布曲線的相應(yīng)改變。

第一節(jié)隨機(jī)誤差令和是獨(dú)立的隨機(jī)變量，具有自由度為的分布函數(shù)，具有標(biāo)準(zhǔn)化正態(tài)分布函數(shù)，則定義新的隨機(jī)變量為

隨機(jī)變量t稱自由度為的學(xué)生氏t變量。

t分布的分布密度為（圖2-9）：

它的數(shù)學(xué)期望為：

它的標(biāo)準(zhǔn)差為：

t分布和標(biāo)準(zhǔn)化正態(tài)分布密度曲線不同，如圖2-9所示。當(dāng)自由度較小時(shí)，t分布與正態(tài)分布有明顯區(qū)別，但當(dāng)自由度時(shí)，t分布曲線趨于正態(tài)分布曲線。t分布是一種重要分布，當(dāng)測(cè)量列的測(cè)量次數(shù)較少時(shí)，極限誤差的估計(jì)，或者在檢驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)的系統(tǒng)誤差時(shí)經(jīng)常用到它。第一節(jié)隨機(jī)誤差（五）t分布（六）F分布若具有自由度為的卡埃平方分布函數(shù)，具有自由度為的卡埃平方分布函數(shù)，定義新的隨機(jī)變量為

隨機(jī)變量F稱為自由度為、的F變量。

F分布的分布密度如圖2-10所示。

它的數(shù)學(xué)期望為：

它的方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為：

F分布也是一種重要分布，在檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)假設(shè)和方差分析中經(jīng)常應(yīng)用。第一節(jié)隨機(jī)誤差

第二節(jié)系統(tǒng)誤差

系統(tǒng)誤差的產(chǎn)生原因系統(tǒng)誤差的特征與分類系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)方法系統(tǒng)誤差的減小和消除方法一、系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因

系統(tǒng)誤差是由固定不變的或按確定規(guī)律變化的因素造成，在條件充分的情況下這些因素是可以掌握的。主要來(lái)源于：

①測(cè)量裝置方面的因素

②環(huán)境方面的因素

③

測(cè)量方法的因素

④

測(cè)量人員的因素第二節(jié)系統(tǒng)誤差計(jì)量校準(zhǔn)后發(fā)現(xiàn)的偏差、儀器設(shè)計(jì)原理缺陷、儀器制造和安裝的不正確等。測(cè)量時(shí)的實(shí)際溫度對(duì)標(biāo)準(zhǔn)溫度的偏差、測(cè)量過(guò)程中的溫度、濕度按一定規(guī)律變化的誤差。采用近似的測(cè)量方法或計(jì)算公式引起的誤差等。測(cè)量人員固有的測(cè)量習(xí)性引起的誤差等。第二節(jié)系統(tǒng)誤差二、系統(tǒng)誤差的分類和特征系統(tǒng)誤差的特征：在同一條件下，多次測(cè)量同一測(cè)量值時(shí)，誤差的絕對(duì)值和符號(hào)保持不變，或者在條件改變時(shí)，誤差按一定的規(guī)律變化，不具有抵償性。根據(jù)系統(tǒng)誤差在測(cè)量過(guò)程中所具有的不同變化特性，將系統(tǒng)誤差分為不變系統(tǒng)誤差和變化系統(tǒng)誤差兩大類。第二節(jié)系統(tǒng)誤差（一）不變系統(tǒng)誤差（固定系統(tǒng)誤差）

在整個(gè)測(cè)量過(guò)程中，誤差的大小和符號(hào)始終不變。

eg:千分尺或測(cè)長(zhǎng)儀讀數(shù)裝置的調(diào)零誤差；量塊或其它標(biāo)準(zhǔn)件尺寸的偏差等．（二）變化系統(tǒng)誤差在整個(gè)測(cè)量過(guò)程中，誤差的大小和方向隨測(cè)試的某一個(gè)或某幾個(gè)因素按確定的函數(shù)規(guī)律而變化。eg:量塊中心長(zhǎng)度隨溫度的變化①線性變化的系統(tǒng)誤差第二節(jié)系統(tǒng)誤差②周期變化的系統(tǒng)誤差③復(fù)雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差例如:微安表的指針偏轉(zhuǎn)角與偏轉(zhuǎn)力距間不嚴(yán)格保持線性關(guān)系，而表盤仍采用均勻刻度所產(chǎn)生的誤差就屬于復(fù)雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差。

e90o0o180o270oeΔL0O90O180O360Oeg:指針在任一轉(zhuǎn)角處引起的讀數(shù)誤差。第二節(jié)系統(tǒng)誤差我們可針對(duì)不同性質(zhì)的系統(tǒng)誤差，可按照下述兩類方法加以識(shí)別：1、用于發(fā)現(xiàn)測(cè)量列組內(nèi)的系統(tǒng)誤差，包括實(shí)驗(yàn)對(duì)比法、殘余誤差觀察法、殘余誤差校核法和不同公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差比較法；2、用于發(fā)現(xiàn)各組測(cè)量之間的系統(tǒng)誤差，包括計(jì)算數(shù)據(jù)比較法、秩和檢驗(yàn)法、和t檢驗(yàn)法。三、系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)方法第二節(jié)系統(tǒng)誤差

1、實(shí)驗(yàn)對(duì)比法實(shí)驗(yàn)對(duì)比法是改變產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的條件，進(jìn)行不同條件的測(cè)量，以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差。

這種方法適用于發(fā)現(xiàn)不變的系統(tǒng)誤差。

2、殘余誤差觀察法殘余誤差觀察法是根據(jù)測(cè)量列的各個(gè)殘余誤差大小和符號(hào)的變化規(guī)律，直接由誤差數(shù)據(jù)或誤差曲線圖形來(lái)判斷有無(wú)系統(tǒng)誤差。

這種方法適于發(fā)現(xiàn)有規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差。（一）測(cè)量列組內(nèi)的系統(tǒng)誤差發(fā)現(xiàn)方法第二節(jié)系統(tǒng)誤差

3、殘余誤差校核法(有兩種方法)①用于發(fā)現(xiàn)線性系統(tǒng)誤差若上式的兩部分值Δ顯著不為O，則有理由認(rèn)為測(cè)量列存在線性系統(tǒng)誤差。這種校核法又稱“馬列科夫準(zhǔn)則”，它能有效地發(fā)現(xiàn)線性系統(tǒng)誤差。但要注意的是，有時(shí)按殘余誤差校核法求得差值Δ=0，仍有可能存在系統(tǒng)誤差。第二節(jié)系統(tǒng)誤差

②用于發(fā)現(xiàn)周期性系統(tǒng)誤差若則認(rèn)為該測(cè)量列中含有周期性系統(tǒng)誤差。這種校核法又叫阿卑——赫梅特準(zhǔn)則（Abbe-Helmert準(zhǔn)則），它能有效地發(fā)現(xiàn)周期性系統(tǒng)誤差。

4、不同公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差比較法對(duì)等精度測(cè)量，可用不同分式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差，通過(guò)比較以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差。按貝塞爾公式：按別捷爾斯公式：令若則懷疑測(cè)量列中存在系統(tǒng)誤差。在判斷含有系統(tǒng)誤差時(shí)，違反“準(zhǔn)則”時(shí)就可以直接判定，而在遵守“準(zhǔn)則”時(shí)，不能得出“不含系統(tǒng)誤差”的結(jié)論，因?yàn)槊總€(gè)準(zhǔn)則均有局限性，不具有“通用性”。

第二節(jié)系統(tǒng)誤差則任意兩組結(jié)果與間不存在系統(tǒng)誤差的標(biāo)志是：若對(duì)同一量獨(dú)立測(cè)量得m組結(jié)果，并知它們的算術(shù)平均值和標(biāo)準(zhǔn)差為：(二)測(cè)量列組間的系統(tǒng)誤差發(fā)現(xiàn)方法第二節(jié)系統(tǒng)誤差而任意兩組結(jié)果之差為：其標(biāo)準(zhǔn)差為：1、計(jì)算數(shù)據(jù)比較法對(duì)同一量進(jìn)行多組測(cè)量得到很多數(shù)據(jù)，通過(guò)多組數(shù)據(jù)計(jì)算比較，若不存在系統(tǒng)誤差，其比較結(jié)果應(yīng)滿足隨機(jī)誤差條件，否則可認(rèn)為存在系統(tǒng)誤差。2、秩和檢驗(yàn)法對(duì)某量進(jìn)行兩組測(cè)量，這兩組間是否存在系統(tǒng)誤差，可用秩和檢驗(yàn)法根據(jù)兩組分布是否相同來(lái)判斷。第二節(jié)系統(tǒng)誤差若獨(dú)立測(cè)得兩組的數(shù)據(jù)為：

將它們混和以后，從1開(kāi)始，按從小到大的順序重新排列，觀察測(cè)量次數(shù)較少那一組數(shù)據(jù)的序號(hào)，它的測(cè)得值在混合后的次序編號(hào)（即秩），再將所有測(cè)得值的次序相加，得到的序號(hào)號(hào)即為秩和T。

1）兩組的測(cè)量次數(shù)，可根據(jù)測(cè)量次數(shù)較少的組的次數(shù)n1

和測(cè)量次數(shù)較多的組的次數(shù)n2，由秩和檢驗(yàn)表2-10查得T-

和T+

（顯著度0.05），若

則無(wú)根據(jù)懷疑兩組間存在系統(tǒng)誤差。243112531326414274162841829420210521336153471735720368223792438927391029310113144122445132746143047153348163649173941018425519365620405722435823475925505102654662820673054683258693363610356777396678417179437671046808852848954908105795996610591069111101083127第二節(jié)系統(tǒng)誤差第二節(jié)系統(tǒng)誤差2）當(dāng)，秩和T近似服從正態(tài)分布

括號(hào)中第一項(xiàng)為數(shù)學(xué)期望，第二項(xiàng)為標(biāo)準(zhǔn)差，此時(shí)T-

和T+

可由正態(tài)分布算出。根據(jù)求得的數(shù)學(xué)期望值a和標(biāo)準(zhǔn)，則：選取概率，由正態(tài)分布分表（附錄表1）查得t，若則無(wú)根據(jù)懷疑兩組間存在系統(tǒng)誤差。解：將兩組數(shù)據(jù)混合排列成下表查表2-10得例2-16

對(duì)某量測(cè)得兩組數(shù)據(jù)如下，判斷兩組間有無(wú)系統(tǒng)誤差。

xi:14.7,14.8,15.2,15.6

;yi

：14.6,15.0,15.1i123456714.714.815.215.614.615.015.1第二節(jié)系統(tǒng)誤差

已知計(jì)算秩和T=1+4+5=10因故無(wú)根據(jù)懷疑兩組間存在系統(tǒng)誤差。注意：若兩組數(shù)據(jù)中有若干個(gè)相同的數(shù)值，則該數(shù)據(jù)的秩按它們所排列的次序的平均值計(jì)算。令變量

由數(shù)理統(tǒng)計(jì)知，變量t是服從自由度為()的t分布變量。3、t檢驗(yàn)法第二節(jié)系統(tǒng)誤差當(dāng)兩組測(cè)量數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布，或偏離正態(tài)不大但樣本數(shù)不是太少（最好不少于20）時(shí)，可用t檢驗(yàn)法判斷兩組間是否存在系統(tǒng)誤差。設(shè)獨(dú)立測(cè)得兩組數(shù)據(jù)為：其中注意:式中使用的和,不是方差的無(wú)偏估計(jì)，若將貝塞爾計(jì)算的和用于上式，則該式應(yīng)作相應(yīng)的變動(dòng)。由及取，查t分布表(附錄表3)，得，又因，故無(wú)根據(jù)懷疑兩組間有系統(tǒng)誤差。則解：取顯著性水平α，由t分布表（附錄表3）查出中的。若，則無(wú)根據(jù)懷疑兩組間有系統(tǒng)誤差。

第二節(jié)系統(tǒng)誤差例2-17

對(duì)某量測(cè)得兩組數(shù)據(jù)為：

x：1.9，0.8，1.1，0.1，-0.1，4.4，5.5，1.6，4.6，3.4y：0.7，-1.6，-0.2，-1.2，-0.1，3.4，3.7，0.8，0.0，2.0四、系統(tǒng)誤差的減小和消除

第二節(jié)系統(tǒng)誤差（一）消誤差源法

用排除誤差源的方法消除系統(tǒng)誤差是最理想的方法。①基準(zhǔn)件、標(biāo)準(zhǔn)件（如量塊、刻尺等）是否準(zhǔn)確可靠；②量具儀器是否處于正常工作狀態(tài)，是否經(jīng)過(guò)檢定，并有有效周期的檢定證書(shū)；③儀器的調(diào)整、測(cè)件的安裝定位和支承裝夾是否正確合理；④所采用的測(cè)量方法和計(jì)算方法是否正確，有無(wú)理論誤差；⑤測(cè)量的環(huán)境條件是否符合規(guī)定要求；⑥注意避免測(cè)量人員帶入主觀誤差如視差、視力疲勞、注意力不集中等。第二節(jié)系統(tǒng)誤差（二）加修正值法預(yù)先將測(cè)量器具的系統(tǒng)誤差檢定出來(lái)或計(jì)算出來(lái)，取與誤差大小相同而符號(hào)相反的值作為修正值，將測(cè)得值加上相應(yīng)的修正值，即可得到不包含該系統(tǒng)誤差的測(cè)量結(jié)果。關(guān)鍵在確定修正值或修正函數(shù)的規(guī)律。

恒定系統(tǒng)誤差：采用檢定方法，對(duì)已知基準(zhǔn)量重復(fù)測(cè)量取其均值，即兩者之差為其修正值。

可變系統(tǒng)誤差：按照某變化因素，依次取得已知基準(zhǔn)量的一系列測(cè)值，再計(jì)算其差值，按最小二乘法確定它隨該因素變化的函數(shù)關(guān)系式，取其負(fù)值即為該可變系統(tǒng)誤差的修正函數(shù)。第二節(jié)系統(tǒng)誤差第二節(jié)系統(tǒng)誤差（三）改進(jìn)測(cè)量方法

1、消除恒定系統(tǒng)誤差的方法①反向補(bǔ)償法（抵消法）：

測(cè)量螺距第二節(jié)系統(tǒng)誤差②代替法：在測(cè)量裝置上對(duì)被測(cè)量測(cè)量后不改變測(cè)量條件，立即用一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)量代替被測(cè)量，再次進(jìn)行測(cè)量，從而求出被測(cè)量與標(biāo)準(zhǔn)量的差值：被測(cè)量＝標(biāo)準(zhǔn)量＋差值③交換法：這種方法是根據(jù)誤差產(chǎn)生原因，將某些條件交換，以消除系統(tǒng)誤差。第二節(jié)系統(tǒng)誤差2、消除線性系統(tǒng)誤差的方法——對(duì)稱法

對(duì)稱法是消除線性系統(tǒng)誤差的有效方法。將測(cè)量對(duì)稱安排，取各對(duì)稱點(diǎn)兩次讀數(shù)的算術(shù)平均值作為測(cè)得值，即可消除線性系統(tǒng)誤差。

例如:測(cè)定量塊平面度時(shí),先以標(biāo)準(zhǔn)量塊A的中心0點(diǎn)對(duì)零，然后按圖中所示被檢量塊B上的順序逐點(diǎn)檢定，再按相反順序進(jìn)行檢定，取正反兩次讀數(shù)的平均值作為各點(diǎn)的測(cè)得值，就可消除因溫度變化而產(chǎn)生的線性系統(tǒng)誤差。第二節(jié)系統(tǒng)誤差3、消除周期性系統(tǒng)誤差的方法——半周期法對(duì)周期性誤差，可以相隔半個(gè)周期進(jìn)行兩次測(cè)量，取兩次讀數(shù)平均值，即可有效地消除周期性系統(tǒng)誤差。設(shè)時(shí)，誤差為：當(dāng)時(shí)，即相差半周期的誤差為：取兩次讀數(shù)平均值則有

例如儀器度盤安裝偏心、測(cè)微表針回轉(zhuǎn)中心與刻度盤中心的偏心等引起的周期性誤差，皆可用半周期法予以剔除。

第三節(jié)粗大誤差對(duì)數(shù)據(jù)中異常值的正確判斷與處理，是獲得客觀的測(cè)量結(jié)果的一個(gè)重要方法。一、粗大誤差產(chǎn)生的原因①測(cè)量人員的主觀原因

②客觀外界條件的原因測(cè)量者工作責(zé)任感不強(qiáng)、工作過(guò)于疲勞、缺乏經(jīng)驗(yàn)操作不當(dāng)，或在測(cè)量時(shí)不小心、不耐心、不仔細(xì)等，造成錯(cuò)誤的讀書(shū)或記錄。測(cè)量條件意外地改變（如機(jī)械沖擊、外界振動(dòng)、電磁干擾等）。第三節(jié)粗大誤差二、防止與消除粗大誤差的方法利用判別準(zhǔn)則從測(cè)量結(jié)果中發(fā)現(xiàn)、鑒別、剔除；工作態(tài)度要嚴(yán)謹(jǐn)；保證測(cè)量條件穩(wěn)定；改變測(cè)量條件，比對(duì)測(cè)量。三、判別粗大誤差的準(zhǔn)則第三節(jié)粗大誤差統(tǒng)計(jì)法的基本思想：構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量,分析其分布,給定一個(gè)顯著性水平，確定一個(gè)臨界值，凡超過(guò)這個(gè)界限的誤差，就認(rèn)為它不屬于偶然誤差的范圍，而是粗大誤差，該數(shù)據(jù)應(yīng)予以剔除。

（一）準(zhǔn)則最常用、最簡(jiǎn)單，要求n充分大對(duì)某個(gè)可疑數(shù)據(jù)，若其殘差滿足：則可認(rèn)為該數(shù)據(jù)含有粗大誤差，應(yīng)予以剔除。第三節(jié)粗大誤差在n≤10的情形，用準(zhǔn)則剔除粗誤差注定失敗。為此，在測(cè)量次數(shù)較少時(shí)，最好不要選用準(zhǔn)則。下表是準(zhǔn)則的“棄真”概率，從表中看出準(zhǔn)則犯“棄真”錯(cuò)誤的概率隨n的增大而減小，最后穩(wěn)定于0.3%。

n11 1661121333a0.0190.0110.0050.0040.003

準(zhǔn)則“棄真”概率a第三節(jié)粗大誤差例2-18

對(duì)某量進(jìn)行15次等精度測(cè)量，測(cè)得值如下表2-11所列，設(shè)這些測(cè)得值已消除了系統(tǒng)誤差，試判別該測(cè)量列中是否含有粗大誤差的測(cè)得值。序號(hào)12345678910111213141520.4220.4320.4020.4320.4220.4320.3920.3020.4020.4320.4220.4120.3920.3920.40+0.016+0.026-0.004+0.026+0.016+0.026-0.014-0.104-0.004+0.026+0.016+0.006-0.014-0.014-0.0040.0002560.0006760.0000160.0006760.0002560.0006760.0001960.0108160.0000160.0006760.0002560.0000360.0001960.0001960.000016+0.009+0.019-0.011+0.019+0.009+0.019-0.021——-0.011+0.019+0.009-0.001-0.021-0.021-0.0110.0000810.0003610.0001210.0003610.0000810.0003610.000441——0.0001210.0003610.0000810.0000010.0004410.0004410.000121表2-11第三節(jié)粗大誤差第八測(cè)得值的殘余誤差為：

即它含有粗大誤差,故將此測(cè)得值剔除。再根據(jù)剩下的14個(gè)測(cè)得值重新計(jì)算：

剩下的14個(gè)測(cè)得值的殘余誤差均滿足,故可以認(rèn)為這些測(cè)得值不再含有粗大誤差。第三節(jié)粗大誤差（二）格羅布斯準(zhǔn)則

1950年格羅布斯（Grubbs）根據(jù)順序統(tǒng)計(jì)量的某種分布規(guī)律提出一種判別粗大誤差的準(zhǔn)則。應(yīng)用：

1974年我國(guó)有人用電子計(jì)算機(jī)做過(guò)統(tǒng)計(jì)模擬試驗(yàn)，與其它幾個(gè)準(zhǔn)則相比，對(duì)樣本中僅混入一個(gè)異常值的情況，用格羅布斯準(zhǔn)則檢驗(yàn)的效率最高。

第三節(jié)粗大誤差將按大小順序排列成順序統(tǒng)計(jì)量，

格羅布斯導(dǎo)出了及的分布，取定顯著度,查表2-13得臨界值

例2-19用例2-18測(cè)得值，試判別測(cè)量列中的測(cè)得值是否含有粗大誤差。解：由表2-11計(jì)算得：

有粗大誤差,剔除第三節(jié)粗大誤差第三節(jié)粗大誤差（三）狄克松準(zhǔn)則

1950年狄克松（Dixon）提出另一種粗差判別方法，它是根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)按大小排列后的順序差來(lái)判別是否存在粗大誤差。有人指出，用Dixon準(zhǔn)則判斷樣本數(shù)據(jù)中混有一個(gè)以上異常值的情形效果較好。

第三節(jié)粗大誤差將按大小順序排列成順序統(tǒng)計(jì)量，

狄克松導(dǎo)出了的分布，取定顯著度,查表2-14得臨界值第三節(jié)粗大誤差例2-20同例2-18測(cè)量數(shù)據(jù),判別測(cè)量列中的測(cè)得值是否含有粗大誤差。剔除第三節(jié)粗大誤差剩余14個(gè)數(shù)無(wú)粗大誤差第三節(jié)粗大誤差（四）羅曼諾夫斯基準(zhǔn)則

當(dāng)測(cè)量次數(shù)較少時(shí)，按t分布的實(shí)際誤差分布范圍來(lái)判別粗大誤差較為合理。羅曼諾夫斯基準(zhǔn)則又稱t檢驗(yàn)準(zhǔn)則，其特點(diǎn)是首先剔除一個(gè)可疑的測(cè)得值，然后按t分布檢驗(yàn)被剔除的值是否是含有粗大誤差。第三