東北大學材料力學5

第五章彎曲應力§5–1引言§5–2平面彎曲時梁橫截面上的正應力§5–3慣性矩的計算§5–4梁橫截面上的切應力§5–5正應力和剪應力的強度計算§5–6開口薄壁截面的彎曲中心第五章彎曲應力§5–1引言第五章彎曲應力1、彎曲構件橫截面上的內力內力剪力Q應力？彎矩M應力？§5–1引言§5–1引言2、研究方法縱向對稱面P1P2例如：平面彎曲：§5–1引言平面彎曲時橫截面s純彎曲梁(橫截面上只有M而無Q的情況)平面彎曲時橫截面t剪切彎曲(橫截面上既有Q又有M的情況)§5–1引言某段梁的內力只有彎矩沒有剪力時，該段梁的變形稱為純彎曲。如AB段。aaABQMxx純彎曲(PureBending):§5–2平面彎曲時梁橫截面上的正應力第五章彎曲應力§5–2平面彎曲時梁橫截面上的正應力1.梁的純彎曲實驗橫向線(ab、cd）變形后仍為直線，但有轉動；縱向線變?yōu)榍€，且上縮下伸；橫向線與縱向線變形后仍正交。（一）變形幾何規(guī)律：一、純彎曲時梁橫截面上的正應力中性層縱向對稱面中性軸bdacabcdMM§5–2平面彎曲時梁橫截面上的正應力橫截面上只有正應力。

平面假設：橫截面變形后仍為平面，只是繞中性軸發(fā)生轉動，距中性軸等高處，變形相等。

（可由對稱性及無限分割法證明）3.推論2.兩個概念中性層：梁內一層纖維既不伸長也不縮短，因而纖維不受拉應力和壓應力，此層纖維稱中性層。中性軸：中性層與橫截面的交線?！?–2平面彎曲時梁橫截面上的正應力A1B1O1O4.幾何方程：

abcdABdqrxy)))OO1)§5–2平面彎曲時梁橫截面上的正應力（二）物理關系：假設：縱向纖維互不擠壓。于是，任意一點均處于單項應力狀態(tài)。sxsx（三）靜力學關系：EIz桿的抗彎剛度?！?–2平面彎曲時梁橫截面上的正應力（對稱面）……(3)其中：……(5)§5–2平面彎曲時梁橫截面上的正應力（四）最大正應力：其中：§5–3慣性矩的計算第五章彎曲應力§5–3慣性矩的計算一簡單截面①矩形(b×h)yzhb§5–3慣性矩的計算②圓形yzyz§5–3慣性矩的計算二平行移軸公式cozyzyba§5–3慣性矩的計算三組合截面的慣性矩§5–3慣性矩的計算例：T形截面如圖所示，求其對中性軸的慣性矩解：(1)形心的位置：（中性軸）以z’軸為參考軸60602020zz’§5–3慣性矩的計算(2)求各組成部分對z軸的慣性矩(3)求組合截面的慣性矩60602020zz’§5–3慣性矩的計算解：①查表20a號工字鋼16號槽鋼②形心：10101.75z例：圖示20a號工字鋼和16號槽鋼組成的截面，求其對中性軸的慣性矩§5–3慣性矩的計算③慣性矩：20a號工字鋼16號槽鋼10101.75z§5–4正應力和切應力的強度條件第五章彎曲應力§5–3平面彎曲時梁橫截面上的切應力一、矩形截面梁橫截面上的剪應力1、兩點假設：

剪應力與剪力平行；

矩中性軸等距離處，剪應力

相等。2、研究方法：分離體平衡。

在梁上取微段如圖b；

微段上取一塊如圖c，平衡dxxQ(x)+dQ(x)M(x)yM(x)+dM(x)Q(x)dxsxyzs1t1tb圖a圖b圖c§5–3平面彎曲時梁橫截面上的切應力dxxQ(x)+dQ(x)M(x)yM(x)+dM(x)Q(x)dxsxyzs1t1tb圖a圖b圖c由剪應力互等§5–3平面彎曲時梁橫截面上的切應力Qt方向：與橫截面上剪力方向相同；t大小：沿截面寬度均勻分布，沿高度h分布為拋物線。最大剪應力為平均剪應力的1.5倍。二、其它截面梁橫截面上的剪應力1、研究方法與矩形截面同;剪應力的計算公式亦為：其中Q為截面剪力；Sz為y點以下的面積對中性軸之靜矩；結論：翼緣部分tmax?腹板上的tmax，只計算腹板上的tmax。鉛垂剪應力主要腹板承受（95~97%），且tmax≈tmin

故工字鋼最大剪應力§5–3平面彎曲時梁橫截面上的切應力2、幾種常見截面的最大彎曲剪應力

Iz為整個截面對z軸之慣性矩；b

為y點處截面寬度。①工字鋼截面：;?maxAQtfAf—腹板的面積。;?maxAQtf§5–3平面彎曲時梁橫截面上的切應力

②圓截面：③薄壁圓環(huán)：④槽鋼：exyzPQeQeh§5–3平面彎曲時梁橫截面上的切應力①工字鋼截面：Af—腹板的面積。;?maxAQtf②矩形截面：③圓截面：④薄壁圓環(huán)：§5–4正應力和切應力的強度計算第五章彎曲應力§5–4正應力和切應力的強度計算1、危險面與危險點分析：一般截面，最大正應力發(fā)生在彎矩絕對值最大的截面的上下邊緣上；最大剪應力發(fā)生在剪力絕對值最大的截面的中性軸處。QtsssMt一、梁的正應力和剪應力強度條件§5–4正應力和切應力的強度計算2、正應力和剪應力強度條件：帶翼緣的薄壁截面，最大正應力與最大剪應力的情況與上述相同；還有一個可能危險的點，在Q和M均很大的截面的腹、翼相交處。3、強度條件應用：依此強度準則可進行

三種強度計算：sMQtts§5–4正應力和切應力的強度計算4、需要校核剪應力的幾種特殊情況：鉚接或焊接的組合截面，其腹板的厚度與高度比小于型鋼的相應比值時，要校核剪應力。梁的跨度較短，M較小，而Q較大時，要校核剪應力。各向異性材料（如木材）的抗剪能力較差，要校核剪應力。?校核強度：?設計截面尺寸：?設計載荷：3、強度計算：最大正應力：……(5)dbh§5–4正應力和切應力的強度計算DdDd=abBhH§5–4正應力和切應力的強度計算例1受均布載荷作用的簡支梁如圖所示，試求：（1）1——1截面上1、2兩點的正應力；（2）此截面上的最大正應力；（3）全梁的最大正應力；（4）已知E=200GPa，求1—1截面的曲率半徑。Q=60kN/mAB1m2m11xM+M1Mmax12120180zy解：畫M圖求截面彎矩30§5–4正應力和切應力的強度計算Q=60kN/mAB1m2m11xM+M1Mmax12120zy求應力18030§5–4正應力和切應力的強度計算求曲率半徑Q=60kN/mAB1m2m11xM+M1Mmax1212018030§5–4正應力和切應力的強度計算§5–4正應力和切應力的強度計算解：畫內力圖求危面內力例2矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如圖，[]=7MPa，[]=0.9MPa，試求最大正應力和最大剪應力之比,并校核梁的強度。q=3.6kN/mxM+ABL=3mQ–+x§5–4正應力和切應力的強度計算求最大應力并校核強度應力之比q=3.6kN/mxM+Q–+x§5–4正應力和切應力的強度計算y1y2GA1A2A3A4解：畫彎矩圖并求危面內力例3T字形截面的鑄鐵梁受力如圖，鑄鐵的[L]=30MPa，[y]=60MPa，其截面形心位于C點，y1=52mm，y2=88mm，

Iz=763cm4，試校核此梁的強度。并說明T字梁怎樣放置更合理？畫危面應力分布圖，找危險點P1=9kN1m1m1mP2=4kNABCDx2.5kNm-4kNmM§5–4正應力和切應力的強度計算校核強度T字頭在上面合理。y1y2GA1A2A3A4x2.5kNm-4kNmMy1y2GA3A4§5–4正應力和切應力的強度計算二、梁的合理截面（一）矩形木梁的合理高寬比R北宋李誡于1100年著?營造法式?一書中指出:矩形木梁的合理高寬比(h/b=1.5)英(T.Young)于1807年著?自然哲學與機械技術講義?一書中指出:矩形木梁的合理高寬比為bh§5–4正應力和切應力的強度計算強度：正應力：剪應力：1、在面積相等的情況下，選擇抗彎模量大的截面其它材料與其它截面形狀梁的合理截面zDzaa§5–4正應力和切應力的強度計算zD0.8Da12a1z§5–4正應力和切應力的強度計算工字形截面與框形截面類似。0.8a2a21.6a22a2z§5–4正應力和切應力的強度計算sGz對于鑄鐵類抗拉、壓能力不同的材料，最好使用T字形類的截面，并使中性軸偏于抗變形能力弱的一方，即：若抗拉能力弱，而梁的危險截面處又上側受拉，則令中性軸靠近上端。如下圖：2、根據材料特性選擇截面形狀§5–5開口薄壁截面的彎曲中心第五章彎曲應力§5–5開口薄壁截面的彎曲中心槽鋼：非對稱截面梁發(fā)生平面彎曲的條件：外力必須作用在主慣性面內，中性軸為形心主軸，,若是橫向力，還必須過彎曲中心。exyzPPsMQe§5–5開口薄壁截面的彎曲中心彎曲中心的確定:(1)雙對稱軸截面，彎心與形心重合。(