異面直線所成角的計算

異面直線所成角的計算

石家莊市第十五中學姚素月ab′bO一.復習定義，奠定基礎注意：異面直線所成角的范圍是直線a、b是異面直線，經(jīng)過空間任意一點O,分別引直線a′∥a,b′∥b。我們把直線a′和b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a和b所成的角.（0，]a′預備知識角的知識正弦定理a=2RsinAa=2RsinASABC=bc

sinA余弦定理ABCbcacosA=ABCbca★求角的步驟：1.確定角2.求角求異面直線所成角的步驟有哪些？想一想

二實際操作，形成技能（一)請同學們在練習本上規(guī)范寫出下列題目，然后小組內(nèi)交流，交流完后派代表到前面展示，其他小組認真聆聽，并加以完善。ADCBFE例1、在三棱錐A-BCD中AD=BC=2a，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點EF=，求AD和BC所成的角M∠EMF=120oAD和BC所成的角為60o切記:別忘了角的范圍!!例2：長方體ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2cm，AD=1cm，求異面直線A1C1與BD1所成角的余弦值。取BB1的中點M，連O1M，則O1MD1B，如圖，連B1D1與A1C1交于O1，于是A1O1M就是異面直線A1C1與BD1所成的角（或其補角）O1MDB1A1D1C1ACB解：為什么？于是A1O1M就是異面直線A1C1與BD1所成的角（或其補角），例2：長方體ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2cm，AD=1cm，求異面直線A1C1與BD1所成角的余弦值。取BB1的中點M，連O1M，則O1MD1B，如圖，連B1D1與A1C1交于O1，解：為什么？O1MDB1A1D1C1ACB由余弦定理得A1C1與BD1所成角的余弦值為方法歸納：平移法連A1M，在A1O1M中即根據(jù)定義，以“運動”的觀點，用“平移轉(zhuǎn)化”的方法，使之成為相交直線所成的角。解法二：方法歸納：補形法把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、長方體等，其目的在于易于發(fā)現(xiàn)兩條異面直線的關系。在A1C1E中，由余弦定理得A1C1與BD1所成角的余弦值為

如圖，補一個與原長方體全等的并與原長方體有公共面連結A1E，C1E，則A1C1E為A1C1與BD1所成的角(或補角)，F(xiàn)1EFE1BDB1A1D1C1ACBC1的方體B1F

，(二)、數(shù)學思想、方法、步驟總結：解決空間角的問題涉及的數(shù)學思想主要是化歸與轉(zhuǎn)化，即把空間的角轉(zhuǎn)化為平面的角，進而轉(zhuǎn)化為三角形的內(nèi)角，然后通過解三角形求得。2.方法：3.步驟：求異面直線所成的角：①作（找）②證③求1.數(shù)學思想：平移構造可解三角形正方體ABCD-A1B1C1D1中,AC、BD交于O,則OB1與A1C1所成的角的度數(shù)為A1B1C1D1ABCDO練習1900在正四面體S-ABC中，SA⊥BC,E,F分別為SC、AB的中點，那么異面直線EF與SA所成的角等于（）CSABEFD(A)300(B)450(C)600(D)900練習2BSABEFCDG練習2（解法二）SACBEFSABEFC練習2（解法三）練習3：如圖，P為ΔABC所在平面外一點，PC⊥AB，PC=AB=2，E、F分別為PA和BC的中點。

（1）求證：EF與PC為異面直線；（2）求EF與PC所成的角；（3）求線段EF的長。ABCPEF假設EF與PC不是異面直線,則EF與PC共面由題意可知其平面為PBC這與已知P為ΔABC所在平面外一點矛盾練習3：如圖，P為ΔABC所在平面外一點，PC⊥AB，PC=AB=2，E、F分別為PA和BC的中點。

（1）求證：EF與PC為異面直線；（2）求EF與PC所成的角；（3）求線段EF的長。ABCPEF為EF與PC所成的角或其補角EF與PC所成的角為練習3：如圖，P為ΔABC所在平面外一點，PC⊥AB，PC=AB=2，E、F分別為PA和BC的中點。

（1）求證：EF與PC為異面直線；（2）求EF與PC所成的角；（3）求線段EF的長。ABCPEF練習4．如圖，a、b為異面直線，直線a上的線段AB=6cm，直線b上的線段CD=10cm，

E、F分別為AD、BC的中點，且EF=7cm，求異面直線a與b所成的角的度數(shù)．ABCDEFab定角一般方法有：（1）平移法（常用方法）小結：1、求異面直線所成的角是把空間角轉(zhuǎn)化為平面角，體現(xiàn)了化歸的數(shù)學思想。2、用余弦定理求異面直線所成角時，要注意角的范圍：（1）當cosθ

＞0時，所成角為θ（2）當cosθ

＜0時，所成角為π－θ（3）當cosθ=0時，所成角為3、當異面直線垂直時，還可應用線面垂直的有關知識解決。90o（2）補形