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銳角的三角比-知識(shí)講解 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.結(jié)合圖形理解記憶銳角三角函數(shù)的定義;2.會(huì)推算準(zhǔn)確的記住特殊角的三角函數(shù)值;3.理解并能熟練運(yùn)用“同角三角函數(shù)的關(guān)系”及“銳角三角函數(shù)值隨角度變化的規(guī)律”.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、銳角三角函數(shù)的概念如圖所示,在

Rt△ABC

中,∠C=90°,∠A

所對(duì)的邊

BC

記為

a,叫做∠A

的對(duì)邊,也叫做∠B

的鄰

邊,∠B

所對(duì)的邊

AC

記為b

,叫做∠

B

b

的對(duì)邊,也是∠A

的鄰邊,直角

C

所對(duì)的邊

AB

記為

c,叫做斜邊.銳角

A

的對(duì)邊與斜邊的比叫做∠

A

的正弦,記作

sinA,即

;

銳角

A

的鄰邊與斜邊的比叫做∠

A

的余弦,記作cosA,即

b; 銳角

A

的對(duì)邊與鄰邊的比叫做∠A

的正切,記作tanA,即

; b銳角

A

的鄰邊與對(duì)邊的比叫做∠A

的余切,記作cotA,即

b. 同理

b;

;

b; b要點(diǎn)詮釋:(1)正弦、余弦、正切、余切函數(shù)是在直角三角形化時(shí),比值也隨之變化.

分別是一個(gè)完整的數(shù)學(xué)符號(hào),是一個(gè)整體,不能寫成 , ,,?

不能理解成

sin

與∠A,cos

與∠A,tan

與∠A

的角的其正切應(yīng)寫成“tan

∠AEF

”,不能寫成“tanAEF

”;另外,.

、

、

、

、

、(3)任何一個(gè)銳角都有相應(yīng)的銳角三角函數(shù)值,不因這個(gè)角不在某個(gè)三角形中而不存在.(4)由銳角三角函數(shù)的定義知:當(dāng)角度在

0°<∠A<90°間變化時(shí),

,,tanA>0

cotA>0.要點(diǎn)二、特殊角的三角函數(shù)值

角的各三角函數(shù)值,歸納如下:銳角30°45° 1

cot160°要點(diǎn)詮釋:(1)通過(guò)該表可以方便地知道

如:若 ,則銳角 .(2)仔細(xì)研究表中數(shù)值的規(guī)律會(huì)發(fā)現(xiàn):、 、 的值依次為 、

,而

、、

的值的順序正好相反,

、

、

的值依次增大,其變化規(guī)律可以總結(jié)為:①正弦、正切值隨銳角度數(shù)的增大(或減小)而增大(或減小)②余弦、余切值隨銳角度數(shù)的增大(或減小)而減小(或增大).要點(diǎn)三、銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系如圖所示,在

Rt△ABC

中,∠C=90°.(1)

關(guān)

:;

,tanA=cot(90

°

-

A)=cotB ,tanB=cot(90°-∠B)=cotA.(2)平方關(guān)系:

;(3)倒數(shù)關(guān)系:

;(4)商的關(guān)系:

要點(diǎn)詮釋:銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系式可由銳角三角函數(shù)的用這些關(guān)系式可使運(yùn)算簡(jiǎn)便.【典型例題】

銳角三角函數(shù)值的求解策略1.如圖所示,在Rt△ABC

BC=5,求∠A,∠B

的正弦、余弦、正切、余切值.【答案與解析】在

Rt△ABC

中,∠C=90°.∵ AB=13,BC=5.

,

,

,

;∴

,

,

,

. 【總結(jié)升華】用銳角三角函數(shù)的定義求值.舉一反三:∠Rt△ABC中,C=90°,若

,∠sinA

=

,

cosA=

,sinB=

,cosB=

b

【答案】

5

,sinA

=

, cosA=

特殊角的三角函數(shù)值的計(jì)算

,sinB=

,

cosB=

.2.求下列各式的值:?(1)sin30°-2cos60°+cot45°;

(2)

;??

.【答案與解析】(1)原式

; (2)原式

;(3)原式

. 【總結(jié)升華】熟記特殊角的三角函數(shù)值或借助兩個(gè)三角值,再進(jìn)行化簡(jiǎn).舉一反三:【變式】在 Rt

△ABC

中,

∠C=90°,若∠

A=45

°,則∠B=

,sinA

=

,

cosA=

,sinB=

,cosB=

.【答案】

45°,sinA

=

,

cosA=

,sinB=

,

cosB=

銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系銳角

求銳角

(2)已知

求【答案與解析】(1)先將已知方程變形后再求解.∴銳角

=30°.(2)先將已知方程因式分解變形.∴銳角

=45°.【總結(jié)升華】數(shù),解方程求得它的解(值),然后再求這個(gè)銳角.

銳角三角函數(shù)的拓展探究與應(yīng)用4.如圖所示,AB

是⊙O

的直徑,且

AB=10,CD是⊙O

的弦,AD

BC

相交于點(diǎn)

P,若弦

CD=6,試求

cos∠APC

的值.【答案與解析】連結(jié)

AC,∵ AB

是⊙O

的直徑,∴ ∠ACP=90°,又∵ ∠B=∠D,∠PAB=∠PCD,∴ PCD∽△PAB,∴

PC

CD

.PA AB又∵ CD=6,AB=10,∴在

Rt△PAC

中,cos

APC PC CD 6 3PA AB 10 5

.【總結(jié)升華】結(jié)

AC,由AB

是⊙O

的直徑得∠ACB=90°,cos

APC

PC

,PACD

CD△PCD∽△PAB

PC .PA AB5.通過(guò)學(xué)習(xí)三角函數(shù),我們知道在直角三角形中,形中底邊與腰的比叫做頂角的正對(duì)(sad).如圖

1①,在△ABC

中,AB=AC,頂角

A

的正對(duì)記作

sadA,這時(shí)

問(wèn)題:(1)sad60°=________.(2)對(duì)于

的正對(duì)值

sadA

的取值范圍是_______.(3)如圖

sinA=

為銳角,試求sadA

的值.【答案與解析】(1)1;(2)0<sadA<2;(3)如圖

2

所示,延長(zhǎng)AC

D,使AD=AB,連接

BD.設(shè)

AD=AB=5a,由

BC=3a, ∴

)

)

,∴ CD=5a-4a=a,

)

,∴

60°角放在等腰三角形中,底邊和腰相等,故

sadA=1;(2)在圖①中設(shè)想

AB=AC

的長(zhǎng)

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