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文檔簡介
2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知,是兩條不重合的直線,,是兩個不重合的平面,則下列命題中錯誤的是()A.若,,則或B.若,,,則C.若,,,則D.若,,則2.已知復(fù)數(shù),(為虛數(shù)單位),若為純虛數(shù),則()A. B.2 C. D.3.圓柱被一平面截去一部分所得幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A. B. C. D.4.中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載了公元前344年商鞅督造的一種標(biāo)準(zhǔn)量器——商鞅銅方升,其三視圖如圖所示(單位:寸),若取3,當(dāng)該量器口密閉時其表面積為42.2(平方寸),則圖中x的值為()A.3 B.3.4 C.3.8 D.45.已知條件,條件直線與直線平行,則是的()A.充要條件 B.必要不充分條件 C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件6.設(shè)點,,不共線,則“”是“”()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件7.已知橢圓的短軸長為2,焦距為分別是橢圓的左、右焦點,若點為上的任意一點,則的取值范圍為()A. B. C. D.8.已知定義在上的奇函數(shù)滿足,且當(dāng)時,,則()A.1 B.-1 C.2 D.-29.已知集合,則=()A. B. C. D.10.的展開式中,滿足的的系數(shù)之和為()A. B. C. D.11.已知雙曲線的焦距是虛軸長的2倍,則雙曲線的漸近線方程為()A. B. C. D.12.四人并排坐在連號的四個座位上,其中與不相鄰的所有不同的坐法種數(shù)是()A.12 B.16 C.20 D.8二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù),若函數(shù)有6個零點,則實數(shù)的取值范圍是_________.14.設(shè)為橢圓在第一象限上的點,則的最小值為________.15.已知數(shù)列的前項和且,設(shè),則的值等于_______________.16.從集合中隨機(jī)取一個元素,記為,從集合中隨機(jī)取一個元素,記為,則的概率為_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)某調(diào)查機(jī)構(gòu)為了了解某產(chǎn)品年產(chǎn)量x(噸)對價格y(千克/噸)和利潤z的影響,對近五年該產(chǎn)品的年產(chǎn)量和價格統(tǒng)計如下表:x12345y17.016.515.513.812.2(1)求y關(guān)于x的線性回歸方程;(2)若每噸該產(chǎn)品的成本為12千元,假設(shè)該產(chǎn)品可全部賣出,預(yù)測當(dāng)年產(chǎn)量為多少時,年利潤w取到最大值?參考公式:18.(12分)設(shè)函數(shù),,.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)有兩個零點,().(i)求的取值范圍;(ii)求證:隨著的增大而增大.19.(12分)已知函數(shù)是減函數(shù).(1)試確定a的值;(2)已知數(shù)列,求證:.20.(12分)已知函數(shù)的最小正周期是,且當(dāng)時,取得最大值.(1)求的解析式;(2)作出在上的圖象(要列表).21.(12分)已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,若滿足,,,求.22.(10分)在如圖所示的幾何體中,四邊形ABCD為矩形,平面ABEF⊥平面ABCD,EF∥AB,∠BAF=90°,AD=2,AB=AF=2EF=2,點P在棱DF上.(1)若P是DF的中點,求異面直線BE與CP所成角的余弦值;(2)若二面角D﹣AP﹣C的正弦值為,求PF的長度.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
根據(jù)線面平行和面面平行的性質(zhì),可判定A;由線面平行的判定定理,可判斷B;C中可判斷,所成的二面角為;D中有可能,即得解.【詳解】選項A:若,,根據(jù)線面平行和面面平行的性質(zhì),有或,故A正確;選項B:若,,,由線面平行的判定定理,有,故B正確;選項C:若,,,故,所成的二面角為,則,故C正確;選項D,若,,有可能,故D不正確.故選:D【點睛】本題考查了空間中的平行垂直關(guān)系判斷,考查了學(xué)生邏輯推理,空間想象能力,屬于中檔題.2、C【解析】
把代入,利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運算化簡,由實部為0且虛部不為0求解即可.【詳解】∵,∴,∵為純虛數(shù),∴,解得.故選C.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運算,考查復(fù)數(shù)的基本概念,是基礎(chǔ)題.3、B【解析】
三視圖對應(yīng)的幾何體為如圖所示的幾何體,利用割補(bǔ)法可求其體積.【詳解】根據(jù)三視圖可得原幾何體如圖所示,它是一個圓柱截去上面一塊幾何體,把該幾何體補(bǔ)成如下圖所示的圓柱,其體積為,故原幾何體的體積為.故選:B.【點睛】本題考查三視圖以及不規(guī)則幾何體的體積,復(fù)原幾何體時注意三視圖中的點線關(guān)系與幾何體中的點、線、面的對應(yīng)關(guān)系,另外,不規(guī)則幾何體的體積可用割補(bǔ)法來求其體積,本題屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】
根據(jù)三視圖即可求得幾何體表面積,即可解得未知數(shù).【詳解】由圖可知,該幾何體是由一個長寬高分別為和一個底面半徑為,高為的圓柱組合而成.該幾何體的表面積為,解得,故選:D.【點睛】本題考查由三視圖還原幾何體,以及圓柱和長方體表面積的求解,屬綜合基礎(chǔ)題.5、C【解析】
先根據(jù)直線與直線平行確定的值,進(jìn)而即可確定結(jié)果.【詳解】因為直線與直線平行,所以,解得或;即或;所以由能推出;不能推出;即是的充分不必要條件.故選C【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判定,熟記概念即可,屬于基礎(chǔ)題型.6、C【解析】
利用向量垂直的表示、向量數(shù)量積的運算,結(jié)合充分必要條件的定義判斷即可.【詳解】由于點,,不共線,則“”;故“”是“”的充分必要條件.故選:C.【點睛】本小題主要考查充分、必要條件的判斷,考查向量垂直的表示,考查向量數(shù)量積的運算,屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】
先求出橢圓方程,再利用橢圓的定義得到,利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求,從而可得的取值范圍.【詳解】由題設(shè)有,故,故橢圓,因為點為上的任意一點,故.又,因為,故,所以.故選:D.【點睛】本題考查橢圓的幾何性質(zhì),一般地,如果橢圓的左、右焦點分別是,點為上的任意一點,則有,我們常用這個性質(zhì)來考慮與焦點三角形有關(guān)的問題,本題屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】
根據(jù)f(x)是R上的奇函數(shù),并且f(x+1)=f(1-x),便可推出f(x+4)=f(x),即f(x)的周期為4,而由x∈[0,1]時,f(x)=2x-m及f(x)是奇函數(shù),即可得出f(0)=1-m=0,從而求得m=1,這樣便可得出f(2019)=f(-1)=-f(1)=-1.【詳解】∵是定義在R上的奇函數(shù),且;∴;∴;∴的周期為4;∵時,;∴由奇函數(shù)性質(zhì)可得;∴;∴時,;∴.故選:B.【點睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性和周期性求值,此類問題一般根據(jù)條件先推導(dǎo)出周期,利用函數(shù)的周期變換來求解,考查理解能力和計算能力,屬于中等題.9、D【解析】
先求出集合A,B,再求集合B的補(bǔ)集,然后求【詳解】,所以.故選:D【點睛】此題考查的是集合的并集、補(bǔ)集運算,屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】
,有,,三種情形,用中的系數(shù)乘以中的系數(shù),然后相加可得.【詳解】當(dāng)時,的展開式中的系數(shù)為.當(dāng),時,系數(shù)為;當(dāng),時,系數(shù)為;當(dāng),時,系數(shù)為;故滿足的的系數(shù)之和為.故選:B.【點睛】本題考查二項式定理,掌握二項式定理和多項式乘法是解題關(guān)鍵.11、A【解析】
根據(jù)雙曲線的焦距是虛軸長的2倍,可得出,結(jié)合,得出,即可求出雙曲線的漸近線方程.【詳解】解:由雙曲線可知,焦點在軸上,則雙曲線的漸近線方程為:,由于焦距是虛軸長的2倍,可得:,∴,即:,,所以雙曲線的漸近線方程為:.故選:A.【點睛】本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì),以及雙曲線的漸近線方程.12、A【解析】
先將除A,B以外的兩人先排,再將A,B在3個空位置里進(jìn)行插空,再相乘得答案.【詳解】先將除A,B以外的兩人先排,有種;再將A,B在3個空位置里進(jìn)行插空,有種,所以共有種.故選:A【點睛】本題考查排列中不相鄰問題,常用插空法,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
由題意首先研究函數(shù)的性質(zhì),然后結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)數(shù)形結(jié)合得到關(guān)于a的不等式,求解不等式即可確定實數(shù)a的取值范圍.【詳解】當(dāng)時,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,很明顯,且存在唯一的實數(shù)滿足,當(dāng)時,由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,且當(dāng)時,,考查函數(shù)在區(qū)間上的性質(zhì),由二次函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,函數(shù)有6個零點,即方程有6個根,也就是有6個根,即與有6個不同交點,注意到函數(shù)關(guān)于直線對稱,則函數(shù)關(guān)于直線對稱,繪制函數(shù)的圖像如圖所示,觀察可得:,即.綜上可得,實數(shù)的取值范圍是.故答案為.【點睛】本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用,復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想等知識,意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.14、【解析】
利用橢圓的參數(shù)方程,將所求代數(shù)式的最值問題轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)最值問題,利用兩角和的正弦公式和三角函數(shù)的性質(zhì),以及求導(dǎo)數(shù)、單調(diào)性和極值,即可得到所求最小值.【詳解】解:設(shè)點,,其中,,由,,,可設(shè),導(dǎo)數(shù)為,由,可得,可得或,由,,可得,即,可得,由可得函數(shù)遞減;由,可得函數(shù)遞增,可得時,函數(shù)取得最小值,且為,則的最小值為1.故答案為:1.【點睛】本題考查橢圓參數(shù)方程的應(yīng)用,利用三角函數(shù)的恒等變換和導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)最值的方法,考查化簡變形能力和運算能力,屬于難題.15、7【解析】
根據(jù)題意,當(dāng)時,,可得,進(jìn)而得數(shù)列為等比數(shù)列,再計算可得,進(jìn)而可得結(jié)論.【詳解】由題意,當(dāng)時,,又,解得,當(dāng)時,由,所以,,即,故數(shù)列是以為首項,為公比的等比數(shù)列,故,又,,所以,.故答案為:.【點睛】本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、函數(shù)求值,考查了推理能力與計算能力,計算得是解決本題的關(guān)鍵,屬于中檔題.16、【解析】
先求出隨機(jī)抽取a,b的所有事件數(shù),再求出滿足的事件數(shù),根據(jù)古典概型公式求出結(jié)果.【詳解】解:從集合中隨機(jī)取一個元素,記為,從集合中隨機(jī)取一個元素,記為,則的事件數(shù)為9個,即為,,,其中滿足的有,,,共有8個,故的概率為.【點睛】本題考查了古典概型的計算,解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確列舉出所有事件數(shù).三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)當(dāng)時,年利潤最大.【解析】
(1)方法一:令,先求得關(guān)于的回歸直線方程,由此求得關(guān)于的回歸直線方程.方法二:根據(jù)回歸直線方程計算公式,計算出回歸直線方程.方法一的好處在計算的數(shù)值較小.(2)求得w的表達(dá)式,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)作出預(yù)測.【詳解】(1)方法一:取,則得與的數(shù)據(jù)關(guān)系如下123457.06.55.53.82.2,,,.,,關(guān)于的線性回歸方程是即,故關(guān)于的線性回歸方程是.方法二:因為,,,,,所以,故關(guān)于的線性回歸方程是,(2)年利潤,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知:當(dāng)時,年利潤最大.【點睛】本小題主要考查回歸直線方程的求法,考查利用回歸直線方程進(jìn)行預(yù)測,考查運算求解能力,屬于中檔題.18、(1)見解析;(2)(i)(ii)證明見解析【解析】
(1)求出導(dǎo)函數(shù),分類討論即可求解;(2)(i)結(jié)合(1)的單調(diào)性分析函數(shù)有兩個零點求解參數(shù)取值范圍;(ii)設(shè),通過轉(zhuǎn)化,討論函數(shù)的單調(diào)性得證.【詳解】(1)因為,所以當(dāng)時,在上恒成立,所以在上單調(diào)遞增,當(dāng)時,的解集為,的解集為,所以的單調(diào)增區(qū)間為,的單調(diào)減區(qū)間為;(2)(i)由(1)可知,當(dāng)時,在上單調(diào)遞增,至多一個零點,不符題意,當(dāng)時,因為有兩個零點,所以,解得,因為,且,所以存在,使得,又因為,設(shè),則,所以單調(diào)遞增,所以,即,因為,所以存在,使得,綜上,;(ii)因為,所以,因為,所以,設(shè),則,所以,解得,所以,所以,設(shè),則,設(shè),則,所以單調(diào)遞增,所以,所以,即,所以單調(diào)遞增,即隨著的增大而增大,所以隨著的增大而增大,命題得證.【點睛】此題考查利用導(dǎo)函數(shù)處理函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)函數(shù)的零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍,通過等價轉(zhuǎn)化證明與零點相關(guān)的命題.19、(Ⅰ)(Ⅱ)見證明【解析】
(Ⅰ)求導(dǎo)得,由是減函數(shù)得,對任意的,都有恒成立,構(gòu)造函數(shù),通過求導(dǎo)判斷它的單調(diào)性,令其最大值小于等于0,即可求出;(Ⅱ)由是減函數(shù),且可得,當(dāng)時,,則,即,兩邊同除以得,,即,從而,兩邊取對數(shù),然后再證明恒成立即可,構(gòu)造函數(shù),,通過求導(dǎo)證明即可.【詳解】解:(Ⅰ)的定義域為,.由是減函數(shù)得,對任意的,都有恒成立.設(shè).∵,由知,∴當(dāng)時,;當(dāng)時,,∴在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,∴在時取得最大值.又∵,∴對任意的,恒成立,即的最大值為.∴,解得.(Ⅱ)由是減函數(shù),且可得,當(dāng)時,,∴,即.兩邊同除以得,,即.從而,所以①.下面證;記,.∴,∵在上單調(diào)遞增,∴在上單調(diào)遞減,而,∴當(dāng)時,恒成立,∴在上單調(diào)遞減,即時,,∴當(dāng)時,.∵,∴當(dāng)時,,即②.綜上①②可得,.【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系,考查了函數(shù)的最值,考查了構(gòu)造函數(shù)的能力,考查了邏輯推理能力與計算求解能力,屬于難題.,20、(1);(2)見解析.【解析】
(1)根據(jù)函數(shù)的最小正周期可求出的值,由該函數(shù)的最大值可得出的值,再由,結(jié)合的取值范圍可求得的值,由此可得出函數(shù)的解析式;(2)由計算出的取值范圍,據(jù)此列表、描點、連線可得出函數(shù)在區(qū)間上的圖象.【詳解】(1)因為函數(shù)的最小正周期是,所以.又因為當(dāng)時,函數(shù)取得最大值,所以,同時,得,因為,所以,所以;(2)因為,所以,列表如下:描點、連線得圖象:【點睛】本題考查正弦函數(shù)解析式的求解,同時也考查了利用五點作圖法作圖,考查分析問題與解決問題的能力,屬于中等題.21、(1);(2)【解析】
(1)化簡得到,取,解得答案.(2),解得,根據(jù)余弦定理得到,再用一次余弦定理解得答案.【詳解】(1).取,解得.(2),因為,故,.根據(jù)余弦定理:,..【點睛】本題考查了三角恒等變換,三角函數(shù)單調(diào)性,余弦定理,意在考查學(xué)生對于三角函數(shù)知識的綜合應(yīng)用.22、
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