暖春數(shù)學(xué)知識的特征與學(xué)習(xí)方式的選擇 2900字

暖春數(shù)學(xué)知識的特征與學(xué)習(xí)方式的選擇2900字[摘要]知識的特征不同，對學(xué)習(xí)方式的要求也就不同。有些數(shù)學(xué)知識具有經(jīng)驗性、演繹性或?qū)ο笮?，從學(xué)生的日常生活經(jīng)驗和知識根底出發(fā)，發(fā)展探究學(xué)習(xí)是必要的，也是可能的。有些數(shù)學(xué)知識具有超驗性、合情性或程序性，對于這些知識，只能通過接受學(xué)習(xí)來獲得。有效地選擇學(xué)習(xí)方式，要綜合考慮知識的特征、學(xué)生的特征、教師的特征和社會的特征。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)知識；接受學(xué)習(xí)；探究學(xué)習(xí)

新課程強調(diào)自主、合作、探究等學(xué)習(xí)方式，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實踐能力。但是，僅有這種學(xué)習(xí)方式是不夠的，因為數(shù)學(xué)知識有不同的特征。本文主要論述數(shù)學(xué)知識的特征，進而闡述不同特征的知識需要選擇不同的學(xué)習(xí)方式：有的宜選擇接受學(xué)習(xí)方式，有的宜選擇探究學(xué)習(xí)方式。這里的接受學(xué)習(xí)有兩層含義：一是指有的內(nèi)容不易探究、發(fā)現(xiàn)，需要教師在課堂教學(xué)中加以呈現(xiàn)；二是指學(xué)生對于有的內(nèi)容的理解有限，在不能完全理解的情況下，要先接受下來，進行相應(yīng)的訓(xùn)練，并在以后的學(xué)習(xí)中再逐步加深理解。

一數(shù)學(xué)知識的特征

數(shù)學(xué)是關(guān)于數(shù)和形的科學(xué)，它與物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)等學(xué)科不同，并不以客觀世界的具體物質(zhì)運動形態(tài)為研究對象?！皵?shù)〞和“形〞都抽象地存在于人的理性思維世界。從基本上說，數(shù)學(xué)對象來源于現(xiàn)實世界，是具體事物的抽象。但是，有許多數(shù)學(xué)知識，那么顯示出超驗性、合情性或程序性。這些特征，對數(shù)學(xué)教學(xué)具有特殊的要求。

1知識的超驗性和經(jīng)驗性

數(shù)是抽象的產(chǎn)物?！拔覀冞\用抽象的數(shù)字，卻并不打算每次都把它們同具體的對象聯(lián)系起來。我們在學(xué)校里學(xué)習(xí)的是抽象的乘法表，而不是男孩的數(shù)目乘以蘋果的數(shù)目，或者蘋果的數(shù)目乘上蘋果的價錢……同樣在幾何中研究的，示例，是直線，而不是拉緊了的繩子。〞[1]數(shù)學(xué)的研究對象，是人們對現(xiàn)實世界抽象的結(jié)果，甚至是對抽象的對象進一步抽象的結(jié)果。正因為如此，數(shù)學(xué)才有今天的蓬勃開展。因而，數(shù)學(xué)的研究對象與日常生活經(jīng)驗就有了遠近之別：有的與學(xué)生的生活和知識經(jīng)驗較為接近，他們可以在自己的經(jīng)驗根底上探究并建構(gòu)起這些數(shù)學(xué)知識，這些知識具有經(jīng)驗性；有的是人類理性思維的結(jié)晶，遠離學(xué)生的生活和知識經(jīng)驗，學(xué)生很難通過自己的經(jīng)驗探究、發(fā)現(xiàn)這些數(shù)學(xué)知識，這些知識具有超驗性。

人們沒有見過自然數(shù)“1〞，只見過一頭牛、一只羊。自然數(shù)、分數(shù)、小數(shù)可以通過一些表征物來表示，較為直觀，而負數(shù)就不直觀了。無理數(shù)較為抽象，也很難找到一個具體事物作為原型。即便是最精確的尺子，也很難把無理數(shù)量出來。無理數(shù)是人類長期探索的結(jié)晶，是人類理性思維的結(jié)果。無理數(shù)是無限不循環(huán)的小數(shù)。人們對于“無限〞難以把握，對于什么是“不循環(huán)〞更不能直接感受，也沒法說分明。在中學(xué)，通常是用反證法來證明是一個無理數(shù)。從直觀的角度來看，這個證明并沒有給我們提供具體的信息。因而，學(xué)生很難靠自己的經(jīng)驗來建構(gòu)無理數(shù)這個概念。如果說可以把看作邊長為1的單位正方形對角線的長，則，對π、e如何理解呢《難怪有中學(xué)生提出這樣的問題：圓周率π是否可能以某個特別長的數(shù)作循環(huán)節(jié)而成為循環(huán)小數(shù)《代數(shù)式更加抽象，離我們的經(jīng)驗也就更遠。對于數(shù)的運算而言，自然數(shù)的運算法那么較為直觀；小數(shù)和分數(shù)的運算法那么介于具體與抽象之間；實數(shù)與代數(shù)式的運算法那么超越了我們的經(jīng)驗，只能由自然數(shù)、有理數(shù)的運算法那么遷移過來?？傊?，像無理數(shù)、虛數(shù)這樣一些數(shù)學(xué)知識，學(xué)生不可能用自己的經(jīng)驗“探究〞出來。為此，我們可以把這些知識直接告訴學(xué)生，讓他們接受下來，然后讓學(xué)生通過自己的理性思維逐步地加以消化、理解。

數(shù)學(xué)知識并不都具有超驗性，大量的數(shù)學(xué)知識具有經(jīng)驗性。示例，田地的面積用“畝〞丈量，用分數(shù)表示“局部〞的大小，用數(shù)據(jù)描述一個“事件〞發(fā)生的概率等，都是一些很具體且可以通過經(jīng)驗來獲得的數(shù)學(xué)知識。這些知識都具有經(jīng)驗性，學(xué)生可以通過自主活動、積極思考、主動探究來建構(gòu)。

2知識的合情性和演繹性

數(shù)學(xué)知識的獲得，需要經(jīng)過嚴格的演繹證明。只有經(jīng)過嚴格演繹證明的結(jié)論，才能稱為數(shù)學(xué)知識，也才是可以接受的。數(shù)學(xué)知識的可證明性亦可稱為演繹性。數(shù)學(xué)知識的獲得，往往要經(jīng)過不完全歸納、試驗、猜想等探索與合情推理的過程。特別是在中小學(xué)，由于學(xué)生的認知水平較低，許多結(jié)論是通過舉例和不完全歸納得到的，是“混而不錯〞的，因而數(shù)學(xué)知識又顯示出“合情性〞。

比方，對于數(shù)的運算律的學(xué)習(xí)。自然數(shù)、分數(shù)乘法的交換律較為直觀，可以通過畫圖、舉例來表明。當然，這種直觀的表明具有相當?shù)纳羁绦浴?×3=3×2，3×4=4×3，讓學(xué)生感受一下，便可得出：a×b=b×a。這只是感受一下，只是一個猜測，而不是自己的發(fā)現(xiàn)、發(fā)明，也不是證明。有理數(shù)乘法的交換律更像一種規(guī)定性的東西。規(guī)定的合理性源于“運算律的承襲性〞。自然數(shù)的乘法、分數(shù)的乘法、小數(shù)的乘法都滿足交換律，于是，為了保持運算律的承襲性，有理數(shù)的乘法也滿足交換律。在實數(shù)范圍內(nèi)，由于出現(xiàn)了無理數(shù)，想通過例子直觀感受一下實數(shù)乘法的交換律就較難了。初中數(shù)學(xué)教材中的處理是一筆帶過：在實數(shù)范圍內(nèi)，加法、乘法的交換律、結(jié)合律，乘法對加法的分配律仍然是成立的。

陳省身先生曾說：“數(shù)學(xué)的主要辦法是邏輯推理，因之，建立了一個堅固的思想結(jié)構(gòu)。〞①如此，中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)為何不追求嚴密的邏輯推理呢《如果遵循邏輯推理的要求，就要從匹亞諾公理系統(tǒng)和自然數(shù)乘法的定義出發(fā)，對自然數(shù)乘法的交換律進行證明。而證明實數(shù)乘法的交換律需要用到有理數(shù)的根本序列、極限等知識。這樣的嚴密邏輯推理，誰能受得了。因而，相對于學(xué)生的認知水平，這些知識無需證明，也不可能證明。對于小學(xué)生而言，2×3=3×2，舉個例子就行了。

“符號法那么不能證明。人們只關(guān)懷這個法那么在邏輯上是否允許。這些法那么是任意的，取決于使用上的方便，示例受承襲性原那么的制約。我請求你們一般地不要把不可能的證明講得似乎成立。大家應(yīng)該用簡單的例子使學(xué)生相信，或有可能的話，讓他們自己弄分明。從實際情況看，承襲性原那么所包含的這些約定關(guān)系，恰好是適當?shù)?，因為可以得到一致方便的算法。〞[2]

正因為如此，舉個例子來表明問題，只是為了讓學(xué)生更好地理解、接受某些知識，充其量只是一種合情推理，并非是證明，也不是探究。教材中的這種處理合乎兒童的認知規(guī)律，也合乎這些知識產(chǎn)生的實際。對教學(xué)而言，關(guān)鍵在于如何結(jié)合不同年齡階段學(xué)生的特征，依據(jù)學(xué)生原有的知識根底，進行解釋性的闡述。事實上，長期的教學(xué)實踐也是這樣做的，并沒有什么不好。

既然有些數(shù)學(xué)知識不可能證明，也不宜證明，在初步理解的根底上，先接受下來，到知識有了一定的積累、認知水平有了一定的提高后，再進行證明，亦是符合情理的。比方，對幾何的學(xué)習(xí)，開始的時候，可以