數(shù)值分析試題與答案

一、單項選擇題（每小題3分，共15分）1.和分別作為的近似數(shù)具有（）和（）位有效數(shù)字.A．4和3C．3和4B．3和2D．4和42.已知求積公式，則＝（）A．B．C．D．3.通過點A．的拉格朗日插值基函數(shù)滿足（）＝0，＝1，B．D．＝0，＝1，C．4.設(shè)求方程的根的牛頓法收斂，則它具有（）斂速。A．超線性B．平方C．線性D．三次5.用列主元消元法解線性方程組作第一次消元后得到的第3個方程（）.A．B．D．C．單項選擇題答案得分評卷人二、填空題（每小題3分，共15分），.2.一階均差1.設(shè),則3.已知時，科茨系數(shù)上滿足，那么4.因為方程在區(qū)間，所以在區(qū)間內(nèi)有根。5.取步長，用歐拉法解初值問題的計算公式.填空題答案1.3.9和2.4.5.得分評卷人三、計算題（每題15分，共60分）求分1.已知函數(shù)據(jù)：的一組數(shù)段線性插值函數(shù)，并計算的近似值.計算題1.答案1.解，，所以分段線性插值函數(shù)為2.已知線性方程組（1）（2）寫出雅可比迭代公式、高斯－塞德爾迭代公式；對于初始值，應(yīng)用雅可比迭代公式、高斯－塞德爾迭代公式分別計算（保留小數(shù)點后五位數(shù)字）.計算題2.答案1.解原方程組同解變形為雅可比迭代公式為高斯－塞德爾迭代法公式用雅可比迭代公式得用高斯－塞德爾迭代公式得在之間的近似根3.用牛頓法求方程（1）請指出為什么初值應(yīng)取2（2）請用牛頓法求出近似根，精確到.計算題3.答案3.解，，，，，故取作初始值迭代公式為，，，，方程的根4.寫出梯形公式和辛卜生公式，并用來分別計算積分計算題4.答案.4解梯形公式應(yīng)用梯形公式得辛卜生公式為應(yīng)用辛卜生公式得得分評卷人四、證明題（本題10分）確定下列求積公式中的待定系數(shù)，并證明確定后的求積公式具有3次代數(shù)精確度證明題答案證明：求積公式中含有三個待定系數(shù)，即左右相等，得，將分別代入求積公式，并令其得，。所求公式至少有兩次代數(shù)精確度。又由于故具有三次代數(shù)精確度。一、填空（共20分，每題2分）1.設(shè)，取5位有效數(shù)字，則所得的近似值x=.2.設(shè)一階差商，則二階差商3.設(shè),則，。4．求方程的近似根，用迭代公式，取初始值，那么5．解初始值問題近似解的梯形公式是6、，則A的譜半徑＝。和7、設(shè)，則。8、若線性代數(shù)方程組AX=b的系數(shù)矩陣A為嚴格對角占優(yōu)陣，則雅可比迭代和高斯-塞德爾迭代都9、解常微分方程初值問題的歐拉（Euler）方法的局部截斷誤差為。。10、為了使計算的乘除法運算次數(shù)盡量的少,應(yīng)將表達式改寫成。填空題答案1、2、3、6和4、5、6、7、8、收斂9、10、二、計算題（共75分，每題15分）（1）試求1．設(shè)在上的三次Hermite插值多項式使?jié)M足以升冪形式給出。（2）寫出余項計算題1.答案的表達式1、（1）（2）2．已知的滿足，試問如何利用構(gòu)造一個收斂的簡單迭代函數(shù)計算題2.答案，使0，1…收斂2、由，可得，3．試確定常數(shù)A，B，C和a，使得數(shù)值積分公式有盡可能高的代數(shù)精度。試問所得的數(shù)值積分公式代數(shù)精度是多少它是否為Gauss型的計算題3.答案3、，該數(shù)值求積公式具有5次代數(shù)精確度，它是Gauss型的4．推導(dǎo)常微分方程的初值問題的數(shù)值解公式：（提示：利用Simpson求積公式。）計算題4.答案4、數(shù)值積分方法構(gòu)造該數(shù)值解公式：對方程在區(qū)間上積分，得，記步長為h,對積分用Simpson求積公式得所以得數(shù)值解公式：5．利用矩陣的LU分解法解方程組計算題5.答案5、解：三、證明題（5分），證明解的Newton迭代公式是線性收斂的。1．設(shè)證明題答案1、一、填空題（20分）(1).設(shè)字。(2).對(3).設(shè)是真值的近似值，則有位有效數(shù),差商,則()。。(4).牛頓—柯特斯求積公式的系數(shù)和。填空題答案（1）3（2）1（3）7（4）1二、計算題1).（15分）用二次拉格朗日插值多項式的值。插值節(jié)點和相應(yīng)的函數(shù)值是（0，0），（，），（，）。計算題1.答案1）2).（15分）用二分法求方程區(qū)間內(nèi)的一個根，誤差限。計算題2.答案2)3).（15分）用高斯-塞德爾方法解方程組，迭代三次(要求按五位有效數(shù)字計算).。計算題3.答案3）迭代公式，取4).（15分）求系數(shù)。計算題4.答案4）5).(10分)對方程組試建立一種收斂的Seidel迭代公式，說明理由計算題5.答案5)解：調(diào)整方程組的位置，使系數(shù)矩陣嚴格對角占優(yōu)故對應(yīng)的高斯—塞德爾迭代法收斂.迭代格式為取,經(jīng)7步迭代可得：.三、簡答題1)（5分）在你學(xué)過的線性方程組的解法中,你最喜歡那一種方法,為什么2)（5分）先敘述Gauss求積公式,再闡述為什么要引入它。一、填空題（20分）1.若a=是的近似值，則a有()位有效數(shù)字.2.是以為插值節(jié)點的Lagrange插值基函數(shù)，則().3.設(shè)f(x)可微，則求方程的牛頓迭代格式是().4.迭代公式收斂的充要條件是。5.解線性方程組Ax=b(其中A非奇異，b不為0)的迭代格式中的B稱為().給定方程組)。，解此方程組的雅可比迭代格式為(填空題答案1．32.3.4.5.迭代矩陣，得分評卷人二、判斷題（共10分）1.2.3.)若，則在內(nèi)一定有根。()區(qū)間[a,b]上的三次樣條函數(shù)是一個次數(shù)不超過三次的多項式。若方陣A的譜半徑，則解方程組Ax=b的Jacobi迭代法收斂。(()4.若f(x)與g(x)都是n次多項式，且在n+1個互異點上，則。()5.用近似表示產(chǎn)生舍入誤差。()判斷題答案1.×2.×3.×4.√5.×得分評卷人三、計算題（70分）1.（10分）已知f(0)＝1，f(3)＝，f(4)＝，求過這三點的),插值多項式P2(x)=(二次插值基函數(shù)l1(x)=()，=(),用三點式求得計算題1.答案().1．2.（15分）已知一元方程。1）求方程的一個含正根的區(qū)間；2）給出在有根區(qū)間收斂的簡單迭代法公式(判斷收斂性)；3）給出在有根區(qū)間的Newton迭代法公式。計算題2.答案2.（1）（2）（3）3.（15分）確定求積公式的待定參數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高，并確定其代數(shù)精度.計算題3.答案4.（15分）設(shè)初值問題.(1)寫出用Euler方法、步長h=解上述初值問題數(shù)值解的公式；(2)寫出用改進的Euler法（梯形法）、步長h=解上述初值問題數(shù)值解的公式，并求解，保留兩位小數(shù)。計算題4.答案4.5.（15分）取節(jié)點，求函數(shù)在區(qū)間上的二次插值多項式計算題5.答案5．，并估計誤差。=1+2(，一、填空題(每題4分，共20分)1、數(shù)值計算中主要研究的誤差有和。2、設(shè)是n次拉格朗日插值多項式的插值基函數(shù)，則；。3、設(shè)是區(qū)間上的一組n次插值基函數(shù)。則插值型求積公式的代數(shù)精度為。；插值型求積公式中求積系數(shù)；且4、辛普生求積公式具有次代數(shù)精度，其余項表達式為。5、則。填空題答案1.相對誤差絕對誤差2.13.至少是nb-a4.35.10二、計算題1、已知函數(shù)的相關(guān)數(shù)據(jù)由牛頓插值公式求三次插值多項式計算題1.答案，并計算的近似值。解：差商表由牛頓插值公式：2、（10分）利用尤拉公式求解初值問題，其中步長，。計算題2.答案解：3、（15分）確定求積公式。中待定參數(shù)的值公式的代數(shù)精度。計算題3.答案，使求積公式的代數(shù)精度盡量高；并指出此時求積解：分別將，代入求積公式，可