《誘導(dǎo)公式》教案（Word版）

《誘導(dǎo)公式（第一課時）》教學(xué)設(shè)計教學(xué)目標(biāo)1．借助單位圓的對稱性，利用定義推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式（π±α，－α的正弦、余弦、正切）；通過經(jīng)歷誘導(dǎo)公式的探究過程，積累應(yīng)用類比、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等方法研究三角函數(shù)性質(zhì)的經(jīng)驗，發(fā)展直觀想象素養(yǎng)．2．初步應(yīng)用誘導(dǎo)公式解決問題，積累解題經(jīng)驗，發(fā)展數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．教學(xué)重難點教學(xué)重點：利用圓的對稱性探究誘導(dǎo)公式，運用誘導(dǎo)公式進(jìn)行簡單三角函數(shù)式的求值、化簡與恒等式的證明．教學(xué)難點：誘導(dǎo)公式的有效識記和應(yīng)用．課前準(zhǔn)備PPT課件．教學(xué)過程（一）新知探究引導(dǎo)語：我們知道，圓最重要的性質(zhì)是對稱性，而對稱性（如奇偶性）也是函數(shù)的重要性質(zhì)．由此想到，可以根據(jù)三角函數(shù)定義，利用圓的對稱性，研究三角函數(shù)的對稱性．問題1：如圖1，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，設(shè)任意角α的終邊與單位圓交于點P1，作P1關(guān)于原點的對稱點P2．（1）以O(shè)P2為終邊的角β與角α有什么關(guān)系？（2）角β，α的三角函數(shù)值之間有什么關(guān)系？圖1圖1圖1圖1圖2圖2預(yù)設(shè)的師生活動：先由學(xué)生獨立完成問題1，然后展示，師生幫助一起完善和調(diào)理思路．預(yù)設(shè)的答案：如圖2，以O(shè)P2為終邊的角β都是與角π＋α終邊相同的角，即β=2kπ＋(π＋α)（k∈Z）．因此，只要探究角π＋α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系即可．設(shè)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．因為P2是點P1關(guān)于原點的對稱點，所以x2＝－x1，y2＝－y1．根據(jù)三角函數(shù)的定義，得sinα＝y(tǒng)1，cosα＝x1，tanα＝eq\f(y1,x1)（x1≠0）；sin(π＋α)＝y(tǒng)2，cos(π＋α)＝x2，tan(π＋α)＝eq\f(y2,x2)（x2≠0）．從而得：公式二sin（sin（π＋α）＝－sinα，cos（π＋α）＝－cosα，tan（π＋α）＝tanα．設(shè)計意圖：初步感受如何將圓的一個特殊的對稱性：在坐標(biāo)系中關(guān)于原點對稱，代數(shù)化，并得到誘導(dǎo)公式二．并以此問題作為研究方法的示范，為進(jìn)一步提出、分析、解決問題做好奠基工作．追問1：應(yīng)用公式二時，對角α有什么要求？預(yù)設(shè)答案：只要在定義域內(nèi)的角α都成立．追問2：探究公式二的過程，可以概括為哪些步驟？每一步蘊含的數(shù)學(xué)思想是什么？預(yù)設(shè)答案：第一步，根據(jù)圓的對稱性，建立角之間的聯(lián)系．從形的角度研究．第二步，建立坐標(biāo)之間的關(guān)系．將形的關(guān)系代數(shù)化，并從不同的角度進(jìn)行表示，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法．第三步，根據(jù)等量代換，得到三角函數(shù)之間的關(guān)系，即公式二．體現(xiàn)了聯(lián)系性．追問3：角π＋α還可以看作是角α的終邊經(jīng)過怎樣的變換得到的？預(yù)設(shè)答案：按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角π得到的．設(shè)計意圖：追問1旨在幫助學(xué)生理解角α的任意性，追問2旨在提煉方法，追問3則滲透圓的旋轉(zhuǎn)對稱性，為后面幾個公式的探索在方法上做好鋪墊．問題2：借助于平面直角坐標(biāo)系，類比問題1，你能說出單位圓上點P1的哪些特殊對稱點？并按照如上問題1總結(jié)得到的求解步驟，嘗試求出相應(yīng)的關(guān)系式．預(yù)設(shè)的師生活動1：先由學(xué)生獨立思考，盡量多地寫出點P1的對稱點，然后展示交流，之后再將之代數(shù)化，最后得到相應(yīng)的誘導(dǎo)公式．學(xué)生的回答可能會超越教科書中的研究內(nèi)容，如果是學(xué)生自己想到的，可以順其自然保留，但是不作進(jìn)一步的要求．如果學(xué)生沒有想到，教師不需要增加．學(xué)生首先想到的應(yīng)該是點P1關(guān)于坐標(biāo)軸的對稱點；之后關(guān)于特殊直線的對稱點，比如y=x；教師啟發(fā)之后會想到經(jīng)過兩次對稱得到的對稱點．預(yù)設(shè)答案：單位圓上點P1的特殊對稱點：第一類，點P1關(guān)于x軸、y軸的對稱點；第二類，點P1關(guān)于特殊直線的對稱點，如y＝x，y＝－x；第三類，點P1關(guān)于x軸的對稱點，再關(guān)于特殊直線的對稱點．或者是點P1關(guān)于特殊直線的對稱點，再關(guān)于坐標(biāo)軸的對稱點．等等．預(yù)設(shè)的師生活動2：針對如上結(jié)論，從第一類到第三類依次解決．第一課時可以先解決第一類．預(yù)設(shè)答案：1．如圖3，作P1關(guān)于x軸的對稱點P3：圖3圖3以O(shè)P3為終邊的角β都是與角－α終邊相同的角，即β=2kπ＋(－α)（k∈Z）．因此，只要探究角－α與α圖3圖3設(shè)P3(x3，y3)．因為P3是點P1關(guān)于x軸的對稱點，所以x3＝x1，y3＝－y1．根據(jù)三角函數(shù)的定義，得sinα＝y(tǒng)1，cosα＝x1，tanα＝eq\f(y1,x1)（x1≠0）；sin(－α)＝y(tǒng)3，cos(－α)＝x3，tan(－α)＝eq\f(y3,x3)（x3≠0）．從而得：公式三sin（－sin（－α）＝－sinα，cos（－α）＝cosα，tan（－α）＝－tanα．2．如圖4，作P1關(guān)于y軸的對稱點P4：圖4以O(shè)P4為終邊的角β都是與角π－α終邊相同的角，即β=2kπ＋(π－α)（k∈Z）．因此，只要探究角π－α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系即可．圖4設(shè)P4(x4，y4)．因為P4是點P1關(guān)于x軸的對稱點，所以x4＝－x1，y4＝y(tǒng)1．根據(jù)三角函數(shù)的定義，得sinα＝y(tǒng)1，cosα＝x1，tanα＝eq\f(y1,x1)（x1≠0）；sin(π－α)＝y(tǒng)4，cos(π－α)＝x4，tan(π－α)＝eq\f(y4,x4)（x4≠0）．從而得：公式四sin（π－sin（π－α）＝sinα，cos（π－α）＝－cosα，tan（π－α）＝－tanα．追問4：公式三和公式四中的角α有什么限制條件？預(yù)設(shè)答案：三角函數(shù)定義域內(nèi)的角α．設(shè)計意圖：類比問題1，進(jìn)一步探索發(fā)現(xiàn)．這是一個開放式的問題設(shè)計，給了學(xué)生自主的時空，鼓勵他們多角度觀察思考，提出問題，并類比問題1進(jìn)行分析，解決問題．強化將單位圓的對稱性代數(shù)化這種研究思路．例1利用公式求下列三角函數(shù)值：（1）cos225°；（2）sin；（3）sin；（4）tan（－2040°）．追問5：題目中的角與哪個特殊角接近？拆分之后應(yīng)該選擇哪個誘導(dǎo)公式？預(yù)設(shè)的師生活動：學(xué)生獨立完成之后展示交流，注重展示其思考過程，教師幫助規(guī)范求解過程．預(yù)設(shè)答案：（1）cos225°＝cos(180°＋45°)＝－cos45°＝－；（2）sin＝sin＝sin＝sin＝sin＝；（3）sin＝－sin＝－sin＝＝；（4）tan(－2040°)＝－tan2040°＝－tan(6×360°－120°)＝tan120°＝tan(180°－60°)＝－tan60°＝－．設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生有序地思考問題，有理地解決問題．問題3：由例1，你對公式一～四的作用有什么進(jìn)一步的認(rèn)識？你能自己歸納一下把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)的步驟嗎？預(yù)設(shè)的師生活動：學(xué)生獨立思考總結(jié)，之后展示交流．預(yù)設(shè)答案：利用公式一～公式四，可以把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)，一般可按下面步驟進(jìn)行：設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生梳理求解過程，提煉解題經(jīng)驗，明確從負(fù)角轉(zhuǎn)化為銳角的程序，提高自覺地、理性地選擇運算公式的能力，提升數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．例2化簡：eq\f(cos(180°＋α)·sin(α＋360°),tan(-α-180°)·cos(-180°＋α))．追問6：本題與例1的異同是什么？由例1總結(jié)出的求解程序在此如何應(yīng)用？預(yù)設(shè)的師生活動：學(xué)生獨立完成，之后展示交流，注重展示其思考過程，教師幫助規(guī)范求解過程．預(yù)設(shè)答案：tan(－α－180°)＝tan［－(180°＋α)］＝－tan(180°＋α)＝－tanα，cos(－180°＋α)＝cos［－(180°－α)］＝cos(180°－α)＝－cosα，所以，原式＝eq\f(-cosα·sinα,(-tanα)·(-cosα))＝－cosα．設(shè)計意圖：鞏固習(xí)題的知識和方法，提高學(xué)生分析能力和轉(zhuǎn)化能力．（二）梳理小結(jié)問題4：誘導(dǎo)公式與三角函數(shù)和圓之間有怎樣的關(guān)系？你學(xué)到了哪些基本知識，獲得了怎樣的研究問題的經(jīng)驗？預(yù)設(shè)的師生活動：學(xué)生自主總結(jié)，展示交流．預(yù)設(shè)答案：（1）誘導(dǎo)公式是圓的對稱性的代數(shù)化，是三角函數(shù)的性質(zhì)．（2）學(xué)到了三組誘導(dǎo)公式．研究方法是數(shù)形結(jié)合，注重聯(lián)系．設(shè)計意圖：幫助學(xué)生梳理基本知識，總結(jié)研究方法，為進(jìn)一步的研究鋪路奠基．（三）布置作業(yè)1．教科書