物理-第10章機(jī)械振動(dòng)

§10-1諧振動(dòng)§10-2阻尼振動(dòng)§10-3受迫振動(dòng)共振§10-4電磁振蕩§10-5一維諧振動(dòng)的合成§10-6二維諧振動(dòng)的合成§10-7振動(dòng)的分解頻譜§10-8非線性振動(dòng)與混沌第十章機(jī)械振動(dòng)和電磁振蕩振動(dòng)有各種不同的形式：

引言任一物理量(如位移、電流等)在某一數(shù)值附近反復(fù)變化。力學(xué)量（如位移）機(jī)械振動(dòng)電磁振動(dòng)電磁量（如I、V、E、B）廣義：振動(dòng)狹義：物體在一定位置附近作來回往返的運(yùn)動(dòng)（機(jī)械運(yùn)動(dòng)）

振動(dòng)受迫振動(dòng)自由振動(dòng)阻尼自由振動(dòng)無阻尼自由振動(dòng)無阻尼自由非諧振動(dòng)無阻尼自由諧振動(dòng)共振(簡(jiǎn)諧振動(dòng)）

振動(dòng)的分類：§10-1諧振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)（simpleharmonicmotion,SHM）：一、諧振動(dòng)的特征及其表達(dá)式受力特點(diǎn)：線性回復(fù)力

動(dòng)力學(xué)特征

物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，離開平衡位置的位移(或角位移)按余弦(或正弦)規(guī)律隨時(shí)間變化。其解為令簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征方程簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式vm=A

稱為速度幅值

；am=2A

稱為加速度幅值

。簡(jiǎn)諧振動(dòng)的速度和加速度：簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)特征方程

二、描述諧振動(dòng)的特征量

2.

周期(period)

T:完成一次完全振動(dòng)所經(jīng)歷的時(shí)間。1.振幅(amplitude):A

（即最大位移，x=±A

）角頻率（或稱圓頻率）：頻率(frequency)

:單位時(shí)間內(nèi)完成完全振動(dòng)的次數(shù)。=1/TAxtOT(參考圓的半徑)相位差：=(2

t+20

)-(1t+10)對(duì)兩同頻率的諧振動(dòng)=20-

10初相差

當(dāng)

=2k，(k=0,1,2,…)，兩振動(dòng)步調(diào)相同，稱同相。初相位（initialphase）

：0

（t+0

）——描述振動(dòng)狀態(tài)3.相位（phase）：

當(dāng)

=(2k+1)，

(k=0,1,2,…)，兩振動(dòng)步調(diào)相反，稱反相。

若0<

20-

10<，則x2超前

。若-<

20-

10<0

，則x2落后。x2xA1-A1-A2x1A2OtTtx2xOA1-A1A2-A2x1反相txOA1-A1A2-A2x1x2T同相x2超前于x1速度相位比位移相位超前/2。加速度與位移反相位。振動(dòng)方程：初始條件：由上式得：★

注意：4、A和的確定（初始條件）

在

-

~

之間有兩個(gè)值,要由初始條件判斷取舍。(初位移)(初速度)彈簧振子系統(tǒng)：2.

A和

φ

由初始條件確定。5、決定簡(jiǎn)諧振動(dòng)各特征量的因素

1.

T和ν由振動(dòng)系統(tǒng)本身的性質(zhì)(彈性

k和慣性

m)決定。

T—

固有周期

；

ν

—

固有頻率。

三、諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖示法

投影點(diǎn)P

的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。xP

旋轉(zhuǎn)矢量的端點(diǎn)在x軸上的投影點(diǎn)P的位移：O逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)周期：

旋轉(zhuǎn)矢量的模即為簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅。

旋轉(zhuǎn)矢量的角速度

即為振動(dòng)的角頻率。

旋轉(zhuǎn)矢量與

x軸的夾角(

t+0

)，為簡(jiǎn)諧振動(dòng)的相位。

t=0時(shí)，與x軸的夾角0

即為簡(jiǎn)諧振動(dòng)的初相位。

旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)一周，P點(diǎn)完成一次完全振動(dòng)xPOOxva1、以平衡位置為參考點(diǎn)作水平軸

上方矢量為旋轉(zhuǎn)矢量下方矢量為旋轉(zhuǎn)矢量★

已知初始條件時(shí),①

作旋轉(zhuǎn)矢量圖②

寫運(yùn)動(dòng)方程①

作旋轉(zhuǎn)矢量圖3、過點(diǎn)作軸的垂線，4、從到、分別作矢量與圓交點(diǎn)為、5、2、以參考點(diǎn)為圓心、振幅為半徑作圓周（參考圓）畫旋轉(zhuǎn)矢量圖：取坐標(biāo)、畫圓周、通過作垂線到交點(diǎn)畫矢量，若在下

方;

反之在上方.結(jié)論：夾角②

寫運(yùn)動(dòng)方程例

一簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振動(dòng)曲線如圖所示。①寫出振動(dòng)方程②作出旋轉(zhuǎn)矢量圖①

解振動(dòng)方程②作出旋轉(zhuǎn)矢量圖由圖知：A

=2m，解：振動(dòng)方程：t

=0時(shí)

得：例6:已知某質(zhì)點(diǎn)諧振動(dòng)曲線如圖，試寫出振動(dòng)方程。t/s

x/m

-2O1四、幾種常見的諧振動(dòng)1.單擺重物所受合外力矩：由轉(zhuǎn)動(dòng)定律令(q很小時(shí))振動(dòng)表達(dá)式為角振幅

和初相由初始條件求得。單擺周期T與角振幅的關(guān)系為

T0為很小時(shí)單擺的周期。當(dāng)q不是很小時(shí)：2.復(fù)擺q很小時(shí)一個(gè)可繞固定軸擺動(dòng)的剛體稱為復(fù)擺。例10-2

一質(zhì)量為m

的平底船，其平均水平截面積為S，吃水深度為h，如不計(jì)水的阻力，求此船在豎直方向的振動(dòng)周期。船靜止時(shí)浮力與重力平衡，

船在任一位置時(shí)，以水面為坐標(biāo)原點(diǎn)，豎直向下的坐標(biāo)軸為y

軸，船的位移用y

表示。解：船的位移為y

時(shí)船所受合力為船在豎直方向做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其角頻率和周期為例一倔強(qiáng)系數(shù)為k的輕彈簧截成三等份，把其中的兩條并聯(lián)起來，下掛一質(zhì)量為m的物體，求振動(dòng)系統(tǒng)的頻率。解：彈簧串聯(lián)公式

彈簧并聯(lián)公式

每一份兩根并聯(lián)頻率合外力物體在平衡位置處彈簧伸長(zhǎng)量五、諧振動(dòng)的能量

勢(shì)能

機(jī)械能簡(jiǎn)諧振動(dòng)系統(tǒng)機(jī)械能守恒!以水平彈簧振子為例動(dòng)能六、用能量法解諧振動(dòng)問題以水平彈簧振子為例系統(tǒng)機(jī)械能守恒：例10-3

勁度系數(shù)為k，原長(zhǎng)為L(zhǎng)，質(zhì)量為

的均勻彈簧，一端固定，另一端系一質(zhì)量為m(>)的物體，在光滑水平面內(nèi)做直線運(yùn)動(dòng)。求解其運(yùn)動(dòng)。解：彈簧、物體的動(dòng)能分別為當(dāng)物體處于位移x

速度為v時(shí)，彈簧元dl的質(zhì)量為位移為速度為系統(tǒng)彈性勢(shì)能為系統(tǒng)機(jī)械能守恒，有對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，常量常量仍為簡(jiǎn)諧振動(dòng)§10-2阻尼振動(dòng)

振動(dòng)物體不受任何阻力的影響，只在回復(fù)力作用下所做的振動(dòng)，稱為無阻尼自由振動(dòng)。

在回復(fù)力和阻力作用下的振動(dòng)稱為阻尼振動(dòng)。阻尼：消耗振動(dòng)系統(tǒng)能量的原因。阻尼種類：摩擦阻尼輻射阻尼

對(duì)在流體(液體、氣體)中運(yùn)動(dòng)的物體，當(dāng)物體速度較小時(shí)，阻力大小正比于速度，且方向相反，表示為

：阻力系數(shù)阻尼振動(dòng)方程：引入阻尼因子

固有頻率在小阻尼條件下，微分方程的解為其中

和為積分常數(shù)，由初始條件決定。阻尼振動(dòng)的準(zhǔn)周期性余弦項(xiàng)表征了在彈性力和阻力作用下的周期運(yùn)動(dòng)；——減幅振動(dòng)反映了阻尼對(duì)振幅的影響。阻尼振動(dòng)的周期：阻尼振動(dòng)的三種情形：

欠阻尼

過阻尼

臨界阻尼§10-3受迫振動(dòng)共振一、受迫振動(dòng)

物體在周期性外力（驅(qū)動(dòng)力）的持續(xù)作用下發(fā)生的振動(dòng)稱為受迫振動(dòng)（forcedvibration）。驅(qū)動(dòng)力：運(yùn)動(dòng)方程：設(shè)當(dāng)阻尼較小,＜0時(shí),方程的解：暫態(tài)項(xiàng)穩(wěn)定項(xiàng)穩(wěn)定振動(dòng)狀態(tài)：阻尼振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)

在穩(wěn)定振動(dòng)狀態(tài)下，受迫振動(dòng)的頻率等于驅(qū)動(dòng)力的頻率。穩(wěn)態(tài)時(shí)振動(dòng)物體速度：

在受迫振動(dòng)中，周期性的驅(qū)動(dòng)力對(duì)振動(dòng)系統(tǒng)提供能量，另一方面系統(tǒng)又因阻尼而消耗能量，若二者相等，則系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定振動(dòng)狀態(tài)。二、共振

當(dāng)驅(qū)動(dòng)力的角頻率等于某個(gè)特定值時(shí)，位移振幅達(dá)到最大值的現(xiàn)象稱為位移共振（displacementresonance）。

受迫振動(dòng)速度在一定條件下發(fā)生共振的的現(xiàn)象稱為速度共振（velocityresonance）。

在阻尼很小的前提下，速度共振和位移共振可以認(rèn)為等同?；疖嚨奈ｋU(xiǎn)速率與軌長(zhǎng)

例車輪行駛到兩鐵軌接縫處時(shí)，受到一次撞擊，使車廂受迫振動(dòng)．當(dāng)車速達(dá)某一速率時(shí)（使撞擊頻率與車廂固有頻率相同）發(fā)生激烈顛簸，這一速率即為危險(xiǎn)速率．

設(shè)車廂總負(fù)荷為m=

5.5×104kg，車廂彈簧每受力F=9.8×103N被壓縮x=0.8mm，鐵軌長(zhǎng)

L=12.6m，求

危險(xiǎn)速率．

已知：m=5.5×104kg；受力F=9.8×103N，壓縮x=0.8mm；鐵軌長(zhǎng)

L=12.6m，mk解：

長(zhǎng)軌有利于高速行車，無縫軌能避免受迫振動(dòng)．★

應(yīng)用：(1)

電磁共振選臺(tái)(收音機(jī))；(2)

樂器利用共振提高音響效果；(3)

研究避免共振的破壞的措施等。破壞外力(強(qiáng)迫力)的周期性改變系統(tǒng)固有頻率改變外力的頻率增大系統(tǒng)阻尼力塔科馬海峽大橋的共振斷蹋1.數(shù)學(xué)分析法12令一、同一直線上、同頻率諧振動(dòng)的合成

§10-5一維諧振動(dòng)的合成★

結(jié)論：

(1)同振向同頻率諧振動(dòng)的合成仍為諧振動(dòng)。

(2)合振動(dòng)的頻率與兩分振動(dòng)的頻率相同。(3)合振動(dòng)振幅和初相由下式?jīng)Q定：

2.旋轉(zhuǎn)矢量法A2A1xOAx2x1xt

=0

時(shí)刻的矢量圖

3.相位差兩同頻率諧振動(dòng)的相位差：(初相差)4.同相和反相(1)同相：兩振動(dòng)步調(diào)相同，振動(dòng)加強(qiáng)，同相。同相x合振幅最大x2xox1t(2)反相：

兩振動(dòng)步調(diào)相反，振動(dòng)減弱，反相。反相x合振幅最小當(dāng)

A1=A2

時(shí)，靜止。x2xox1ttxox1x25.超前和落后則稱：

x2比

x1

超前；

或

x1

比

x2

落后。超前/落后以

<

的相位角來判斷。

x2xx1tOx2

比

x1

超前6.多個(gè)同振向、同頻率諧振動(dòng)的合成Ox采用旋轉(zhuǎn)矢量法：各分振動(dòng)矢量首尾依次相接。若

例

兩個(gè)同方向、同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其合振動(dòng)的振幅為20cm，與第一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的位相差為。若第一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅為

17.3cm，則第二個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅為？第一、二兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的位相差解：例一質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)同方向的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其振動(dòng)方程分別為(SI),(SI).畫出兩振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖，并求合振動(dòng)的振動(dòng)方程．解：作兩振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖，如圖：合振動(dòng)方程為：求合振動(dòng)。例10-3解：討論二、同一直線、不同頻率諧振動(dòng)的合成拍★

相位差隨時(shí)間變化；合振動(dòng)不再是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。則有：合振動(dòng)方程為：合振動(dòng)頻率：合振動(dòng)振幅：★

討論:兩頻率都較大,而頻率差很小的情況合振幅出現(xiàn)時(shí)大時(shí)小的現(xiàn)象

—

拍現(xiàn)象。低頻振動(dòng)高頻振動(dòng)★

拍頻

—

單位時(shí)間內(nèi)合振幅極大出現(xiàn)的次數(shù)。

x2txt振幅變化的周期為：x1t拍現(xiàn)象的應(yīng)用：

用音叉振動(dòng)校準(zhǔn)樂器測(cè)定超聲波測(cè)定無線電頻率調(diào)制高頻振蕩的振幅和頻率等三、同振向倍頻諧振動(dòng)的合成合振動(dòng)§10-6二維諧振動(dòng)的合成

兩相互垂直同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成,其振動(dòng)軌跡為一橢圓。橢圓軌跡的形狀取決于振幅和相位差。

同頻率垂直簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成消去t

，得消去參數(shù)

t

，得軌跡方程：

是一個(gè)橢圓類二次曲線方程。一、相互垂直的同頻率諧振動(dòng)的合成§10-6二維諧振動(dòng)的合成1.2.

軌跡：運(yùn)動(dòng)方程：是諧振動(dòng)，角頻率與初相不變。軌跡：運(yùn)動(dòng)方程：是諧振動(dòng)，角頻率與初相不變。(兩個(gè)分振動(dòng)同相)(兩個(gè)分振動(dòng)反相)★

討論：xSA1A2yxSA1A23.4.軌跡：是橢圓運(yùn)動(dòng)，方向時(shí)順時(shí)針

(右旋)。軌跡：是橢圓運(yùn)動(dòng)，方向時(shí)逆時(shí)針

(左旋)

。

(

y

比

x

相位超前

/

2)x

yA1A2

(

y

比

x

相位落后

/

2)

A1=A2時(shí)，為圓軌道，即作圓周運(yùn)動(dòng)。x

yA1