第七章-1,2,3,4,5(數(shù)1第1次)

(1)微分方程:含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方程。(2)微分方程的階：方程中所含未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)。未知函數(shù)？微分形式微分方程導(dǎo)數(shù)形式微分方程第一節(jié)微分方程的基本概念一階使方程成為恒等式的函數(shù)。(3)微分方程的解：試試隱函數(shù)求導(dǎo)!目標(biāo),代入方程兩邊同時求導(dǎo)，其中課后3(4)通解—所含獨立的任意常數(shù)個數(shù)與方程階數(shù)相等的解。(5)特解—不含任意常數(shù)的解。（）練習(xí)1：下列哪個解可能是二階微分方程的通解(A)(B)C(C)(D)函數(shù)是微分方程的（）練習(xí)2：C不獨立是解？解通解特解是特解？是通解？不能合并的通解+特解＝解的全體(6)二階微分方程的初值條件：(7)初值問題（略）通解初值條件特解有不是通解形式的特解，稱奇解。重點1：步驟（分離變量）（兩端積分）第二節(jié)可分離變量的微分方程萊布尼茨里程碑！重點2：變式可分離變量含導(dǎo)數(shù)的方程含微分的方程可分離變量嗎？（1）（2）（3）易錯的例子:（4）（積分方便）Help:習(xí)題7－2練習(xí)重點3：結(jié)果化簡（分離變量）（兩端積分）（目標(biāo)：去掉對數(shù)和絕對值）化簡1：化簡2：(正確，但有時。。。)去掉對數(shù)和絕對值全變對數(shù)；去對數(shù)去絕對值此法可略（分離變量）（兩端積分）例1化簡2：P304(書)化簡再舉例化簡1：(補充)去掉對數(shù)和絕對值此結(jié)果只一項對數(shù)全變對數(shù)(正確，但有時。。。)無特別要求這種情況可不化簡；1、（分離變量）（兩端積分）難點：積分導(dǎo)數(shù)形式課后題1（分離變量）（兩端積分）（乘回去或解下去都不好）2、課后題①②解:代入原方程得分離變量兩邊積分得！重點1：步驟（1）設(shè)u(2)解u(分離變量)（3）回代u補例第三節(jié)齊次方程齊次齊次齊次齊次如：齊次方程含有導(dǎo)數(shù)的方程含有微分的方程轉(zhuǎn)化成此形式開始變量代換重點2：形式含有導(dǎo)數(shù)的方程含有微分的方程習(xí)題7－3例1：解:則有課本化簡略①②步驟形式（2）變量代換,設(shè)u(3)分離變量,解u（4）回代u(1)轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)形式【作業(yè)紙】1、微分方程方程一、填空的通解為

。2、微分方程方程的通解為

。1、函數(shù)二、選擇是微分方程（C為任意常數(shù)）的（）A三、計算2【課后題】B習(xí)題7－3，第1題(1)-(10)習(xí)題7－2，1題(1)-(10)，2題(4)難點：積分導(dǎo)數(shù)公式逆用第一類換元法各種湊之一：湊系數(shù)三角代換根式代換指數(shù)代換倒代換第二類換元法不常用公式課后2(3)略各種湊之二：分次湊不同于：①②重點一：一階線性微分方程標(biāo)準(zhǔn)形式將下列一階線性微分方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式第四節(jié)一階線性微分方程重點二：一階線性微分方程的公式法一階齊次線性方程：齊次通解公式：(1)可分離變量對一階線性齊次方程，公式法比分離變量快一點兒解1：分離變量法一階齊次線性方程解2：公式法公式法所有的C一個即可，也不用加絕對值雙解例：一階非齊次線性方程：齊次通解公式：(2)(歐拉)常數(shù)變易法的思路:猜想非齊次解形式：待定系數(shù)將此代回非齊次方程，解出：一階非齊次線性方程通解公式：整理標(biāo)準(zhǔn)形式記住公式形式積分+整理對一階線性非齊次方程，公式法比常數(shù)變易法快很多！【解】整理標(biāo)準(zhǔn)形式套公式形式積分+整理公式法求解（一階非齊次線性方程）互逆運算被還原注意：公式法的步驟舉例積分即齊次通解為代入非齊次方程得解得故原方程通解為再常數(shù)變易令【棄解】常數(shù)變易法求齊次通解②分離變量①公式法公式法已解化簡得公式法里最后做的那個積分【解】【例1】整理標(biāo)準(zhǔn)形式套公式形式積分+整理線性？(2)(1)(3)線性？標(biāo)準(zhǔn)？線性？(4)要看兩方面線性？標(biāo)準(zhǔn)？標(biāo)準(zhǔn)？可分離變量？齊次？重點三：變式習(xí)題7－4，練習(xí)【例3】【解1】P318可分離變量？齊次？課本解2：變量代換（稍后講）補充解1：公式法【解2】代入原式分離變量所求通解為【例3】（設(shè)u）（舊變量y及y′要消失）聯(lián)想齊次方程兩邊積分P319（解u）重點四：變量代換法注意：步驟（回代u）（新變量出現(xiàn)）P321習(xí)題7－4變量代換第7題（1）（2）（3）作業(yè)紙，二、計算2仿例3仿例3,略可分離變量？齊次？變量代換？則原式（設(shè)u）（舊變量y及y′要消失）（1）（3）（解u）（回代u）（舊變量y及y′要消失）*二、伯努利方程雅各布·伯努利(哥)提出伯努利方程并解決約翰·伯努利(弟)(課本萊布尼茲解法)是萊布尼茨的追隨者，學(xué)生歐拉.伯努利方程的標(biāo)準(zhǔn)形式:練習(xí)：下列方程哪個是伯努利方程？（）伯努利方程一階非齊次線性一階齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式:一階非齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式:A.B.B同乘變量代換右合格，左不線性同乘一階非齊次線性步驟理解伯努利方程及其解法同乘設(shè)z解z回代Z①②③④的通解.則方程變形為將回代，令同乘求方程【例4】【解】①②③④同乘設(shè)z解z回代Z重點：步驟作業(yè)紙A一、選擇2、用適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q解下列方程二、計算1、解伯努力方程習(xí)題7－4B第1題，第2題，第7題（1）（2）（3）（變量代換法）（公式法，熟練積分）習(xí)題7-4第3題思考題5C改：法線斜率…這是一類問題：切線斜率即:已知導(dǎo)數(shù)關(guān)系求函數(shù)關(guān)系，是微分方程問題。出現(xiàn)在等式里,求y.C微分方程的幾何應(yīng)用P308習(xí)題7－2第6題思考題2思考題1習(xí)題7－1第5題（2）P314習(xí)題7－3第3題思考題3Part1作業(yè)紙，三、計算1思考題4在過原點和點的單調(diào)光滑曲線上任取一點，是另一平行線與軸軸的平行線，其中一條平行線與軸及曲線圍成面積的2倍，求此曲線方程．1、作兩坐標(biāo)及曲線圍成的面積是畫圖注意幾何關(guān)系準(zhǔn)確畫圖注意幾何關(guān)系準(zhǔn)確，切線斜率思考題1P308習(xí)題7－2第5題（2）法線答案第五節(jié)可降階的微分方程例3.類型一例1.例5.解法：直接積分法類型二類型三不含舊未知量不含舊自變量xy目標(biāo)：降階設(shè)則設(shè)則例3.

求解解:代入方程分離變量設(shè)求特解方法1:特解為二、不含舊未知量y求特解方法2:特解為…結(jié)果復(fù)雜時用可降階類型二設(shè)p解p解y易降階【例5】【解】代入方程(一階線性齊次方程)設(shè)(可分離變量)解1:解2:難降階三、不含自變量x解p解y設(shè)p可降階類型三令代入方程得積分得故特解為,得【補例】【解】，分離變量三、不含x難求特解方法2:結(jié)