第六章二項(xiàng)分布與Poisson分布及其應(yīng)用

第六章二項(xiàng)分布與Poisson分布及其應(yīng)用第一節(jié)二項(xiàng)分布(binomialdistribution)的概念一.Bernoulli試驗(yàn)和二項(xiàng)分布Bernoulli試驗(yàn)應(yīng)用條件各次試驗(yàn)獨(dú)立。每次試驗(yàn)結(jié)果只能是兩個(gè)互斥的結(jié)果之一；每次試驗(yàn)時(shí)，其中一種結(jié)果發(fā)生的概率不變；通常，在Bernoulli概型中，稱(chēng)所關(guān)心的事件A發(fā)生為“成功”，稱(chēng)A發(fā)生為“失敗”。在n次獨(dú)立試驗(yàn)中，用x表示試驗(yàn)成功（即事件A發(fā)生）的次數(shù)，則x是服從二項(xiàng)分布的離散型隨機(jī)變量。二.二項(xiàng)分布的概率是

如何計(jì)算的？例實(shí)驗(yàn)白鼠共3只，死亡率為0.8，生存率為0.2。表13只白鼠各種試驗(yàn)結(jié)果及其發(fā)生概率

死亡數(shù)生存數(shù)試驗(yàn)結(jié)果每種排列的概率組合的概率

甲乙丙01233210

0.20.2

0.2=0.0080.80.20.2=0.0320.0320.0320.20.80.8=0.1280.1280.1280.80.80.8=0.5120.0080.0960.3840.512nP（X）=（）x（1-）n-xx假定

為陽(yáng)性結(jié)果的概率，構(gòu)成Bernoulli試驗(yàn)序列的n次試驗(yàn)中，事件A出現(xiàn)的次數(shù)x的概率分布為：由于是二項(xiàng)式[+（1-

）]n展開(kāi)式中的各項(xiàng)，故稱(chēng)此分布為二項(xiàng)分布。n、是二項(xiàng)分布的兩個(gè)參數(shù)。若一個(gè)隨機(jī)變量x，它的可能取值是0，1，…，n，且相應(yīng)的取值概率為：（）x（1-）n-xxnP（X）=（）x（1-）n-xxn則稱(chēng)此隨機(jī)變量x服從以n、為參數(shù)的二項(xiàng)分布，記為

X~B（n，）三.累計(jì)概率最多有k個(gè)陽(yáng)性的概率：

P（Xk）=kX=0（）x（1-）n-xnx=P（0）+P（1）+

···+P（k）最少有k個(gè)陽(yáng)性的概率：

P（Xk）=（）x（1-）n-x

X=knn=P（k）+P（k+1）+

···+P（n）x四.二項(xiàng)分布的性質(zhì)1.是離散型的分布。2.二項(xiàng)分布的圖形隨及n的取值而不同。在n較小時(shí)，當(dāng)=0.5時(shí)是對(duì)稱(chēng)的，當(dāng)0.5時(shí)呈偏態(tài)，但隨著n的增大而逐漸趨于對(duì)稱(chēng)。當(dāng)n很大，不接近0也不接近1時(shí)，二項(xiàng)分布接近正態(tài)分布。3.概率值中間高，兩頭低。4.均數(shù)=n，標(biāo)準(zhǔn)差=n（1-）5.樣本率的分布：

陽(yáng)性率

p=xn，其分布為：P（p）=P（X）=（）x（1-）n-xnx其中p=xn=，，

···，

0n1nnn。陽(yáng)性率的均數(shù)p=，標(biāo)準(zhǔn)差p=（1-）n以樣本率P代替總體率，則Sp=p（1-p）n第二節(jié)二項(xiàng)分布的應(yīng)用一.總體率的區(qū)間估計(jì)查表法:p414表7（n50）正態(tài)近似法:

（p-u/2Sp，p+u/2Sp）（要求np>5且n（1-p）>5）二.樣本率與總體率比較

1.直接計(jì)算概率法例7.6例:某病服用某藥的治愈率為95%，欲研究改進(jìn)劑型是否能顯著地增進(jìn)療效。經(jīng)改進(jìn)劑型后，治療200人，治愈198人，試作統(tǒng)計(jì)推斷。2.正態(tài)近似法當(dāng)接近0.5，樣本容量較大（n100）時(shí)，可用二項(xiàng)分布的正態(tài)趨近，對(duì)H0：=0作u檢驗(yàn)。u=p-

0pp=0（1-0）n例:根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)用一般方法治療某病，死亡率為40%，今欲研究某項(xiàng)新療法是否非常顯著地優(yōu)于一般療法。用該新法治療120名病人，結(jié)果有30名死亡，試作統(tǒng)計(jì)推斷。均數(shù)和率假設(shè)檢驗(yàn)的比較資料類(lèi)型統(tǒng)計(jì)量原假設(shè)檢驗(yàn)法使用條件定量資料樣本均數(shù)xH0：=0分類(lèi)資料率H0：=0（按照一個(gè)分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)分為兩類(lèi)）P=xnu檢驗(yàn)u=t檢驗(yàn)t=x-0/nx-0s/n（1）已知2（2）未知2

，大樣本（n50）未知2

，小樣本（n<50）2

檢驗(yàn)不論樣本大小u檢驗(yàn)（正態(tài)近似法）u=p-

0pp=0（1-0）n大樣本

（n100）

0

離0.5不太遠(yuǎn)三.兩樣本率的比較

u=p1-p2Sp1-p2Sp1-p2=Pc(1-Pc)(+)1n1n2Pc=X1+X2n1+n2條件：兩個(gè)樣本容量都相當(dāng)大，且1和2又都不太接近于1或0時(shí)。1例:某地7歲以下兒童麻疹發(fā)病情況列于下表，試問(wèn)男女兒童麻疹發(fā)病率之間有無(wú)顯著差異？某地7歲以下男女兒童麻疹發(fā)病情況性別發(fā)病情況發(fā)病未發(fā)病總數(shù)男女總數(shù)9218511772110210952197202319463969練習(xí)1某藥的不良反應(yīng)率1o，欲研究一新藥是否提高了不良反應(yīng)率?，F(xiàn)該新藥服用者300人，僅一人發(fā)生不良反應(yīng)，試作統(tǒng)計(jì)推斷。練習(xí)2有人對(duì)某地5000人作蛔蟲(chóng)檢查，已知該地感染率為5%，現(xiàn)將10人分為1組，將10人的糞便混合進(jìn)行檢測(cè)，此法是否可以減少工作量？第三節(jié)Poisson分布(Poissondistribution)的概念一.Poisson分布與它的概率函數(shù)在二項(xiàng)分布中，當(dāng)某事件出現(xiàn)的概率特別?。?），而樣本含量又很大（n）且n=時(shí)，二項(xiàng)分布就變成Poisson分布了。

Poisson分布的概率函數(shù)為P（X）=XXe-X=0，1，2，…Poisson分布是描述小概率事件出現(xiàn)規(guī)律性的一種重要的離散型隨機(jī)分布。二.Poisson分布的性質(zhì)1.Poisson分布屬單參數(shù)離散型隨機(jī)分布，其參數(shù)為總體平均數(shù)。其總體均數(shù)與總體方差都為：2=。2.Poisson分布的圖形隨而不同。當(dāng)很小時(shí)呈左偏態(tài)，隨著的增大而逐漸趨于對(duì)稱(chēng)。當(dāng)20時(shí)已接近正態(tài)分布，當(dāng)50時(shí)則非常接近正態(tài)分布。3.Poisson分布資料的可加性：多個(gè)獨(dú)立服從Poisson分布的隨機(jī)變量之和仍服從Poisson分布。此分布的均數(shù)為多個(gè)隨機(jī)變量的均數(shù)之和。第四節(jié)Poisson分布的應(yīng)用一.總體均數(shù)的區(qū)間估計(jì)查表法:p415表8(X50)正態(tài)近似法:

（X-u/2X，X+u/2X）（X>50）二.樣本均數(shù)與總體均數(shù)的比較1.直接計(jì)算概率法例7.14例:某種標(biāo)準(zhǔn)生物制品的異常反應(yīng)率約為1/萬(wàn)。為檢驗(yàn)?zāi)撑庐a(chǎn)品的異常反應(yīng)率是否高于標(biāo)準(zhǔn)品，今試驗(yàn)該批新產(chǎn)品，在受試的100人中有一人出現(xiàn)異常反應(yīng)，請(qǐng)作統(tǒng)計(jì)推斷。2.正態(tài)近似法X-0

0

u=要求總體均數(shù)相當(dāng)大。三.兩個(gè)樣本均數(shù)的比較

（兩個(gè)樣本計(jì)數(shù)均較大時(shí)）X2u=（1）兩個(gè)樣本的觀察單位數(shù)相等時(shí)：u=X1-X2X1+X2X1-X2n1n2X1+（2）兩個(gè)樣本的觀察單位數(shù)不等時(shí)：第五節(jié)SPSS演示二項(xiàng)分布函數(shù):CDF.BINOM

（x，n，）Poisson分布函數(shù):CDF.POISSON

（x，）樣本率與總體率：例7.6TransformCompute…TargetVariable:pNumericExpression:CDF.BINOM（1，400，0.01）OK

例7.6ViewVariable:ViewData:DataWeighCases…WeighCasesbyFrequencyVa