向量的數(shù)量積運(yùn)算【新教材】2022年人教A版高中數(shù)學(xué)必修復(fù)習(xí)鞏固訓(xùn)練Word含解析

向量的數(shù)量積運(yùn)算（1）一、知識(shí)梳理1、向量夾角：作，則叫做的夾角。。2.數(shù)量積：向量的夾角為，向量的數(shù)量積_____________.3.投影向量：向量在向量上的投影向量為____________,其中向量為與向量同向的單位向量。4.性質(zhì)：=1\*GB2⑴，=2\*GB2⑵。即。5.向量乘積與實(shí)數(shù)乘積的不同=1\*GB2⑴推不出或，=2\*GB2⑵推不出（消去律不成立），=3\*GB2⑶(a·b)·ca·(b·c)，=4\*GB2⑷.二、重點(diǎn)題型知識(shí)點(diǎn)一向量夾角的概念1.已知|a|＝|b|＝3，且a與b的夾角為80°，則a＋b與a－b的夾角是________．2．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，|eq\o(AB,\s\up15(→))|＝eq\r(3)，|eq\o(CB,\s\up15(→))|＝1，則Aeq\o(C,\s\up15(→))與Ceq\o(B,\s\up15(→))的夾角θ＝________.知識(shí)點(diǎn)二平面向量數(shù)量積的定義3.若向量a，b滿足|a|＝|b|＝1，a與b的夾角為60°，則a·b等于()\f(1,2)\f(3,2)C．1＋eq\f(\r(3),2) D．24．已知兩個(gè)單位向量e1，e2的夾角為eq\f(π,3)，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，則b1·b2＝________.知識(shí)點(diǎn)三投影向量5.已知等邊△ABC的邊長(zhǎng)為2，則向量eq\o(AB,\s\up15(→))在向量eq\o(CA,\s\up15(→))方向上的投影向量為()A．－eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up15(→))\f(1,2)eq\o(CA,\s\up15(→))C．2eq\o(AC,\s\up15(→)) D．2eq\o(CA,\s\up15(→))6．若|a|＝2，|b|＝4，向量a與向量b的夾角為120°，記向量a在向量b方向上的投影向量為γ，則|γ|＝()A．4B．3C．2 D．17．已知|a|＝4，e為單位向量，a與e的夾角為eq\f(2π,3)，則e在a方向上的投影向量的模為________．知識(shí)點(diǎn)四平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算律8.給出以下結(jié)論：①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④(a·b)·c＝a·(b·c)；⑤|a·b|≤a·b.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為()A．1B．2C．3 D．49．若|a|＝1，|b|＝2，則|a·b|的值不可能是()A．0\f(1,2)C．2 D．310．如圖所示，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)是AD上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，eq\o(BA,\s\up15(→))·eq\o(CA,\s\up15(→))＝4，eq\o(BF,\s\up15(→))·eq\o(CF,\s\up15(→))＝－1，則eq\o(BE,\s\up15(→))·eq\o(CE,\s\up15(→))的值是________．知識(shí)點(diǎn)五平面向量數(shù)量積的應(yīng)用11.若向量a與b的夾角為60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，則向量a的模為()A．2B．4C．6 D．1212．如圖，在△ABC中，AD⊥AB，eq\o(BC,\s\up15(→))＝eq\r(3)eq\a\vs4\al(\o(BD,\s\up15(→)))，|eq\o(AD,\s\up15(→))|＝1，則eq\o(AC,\s\up15(→))·eq\o(AD,\s\up15(→))＝()A．2eq\r(3)\f(\r(3),2)\f(\r(3),3) \r(3)13．設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形，|eq\o(AB,\s\up15(→))|＝6，|eq\o(AD,\s\up15(→))|＝4.若點(diǎn)M，N滿足eq\o(BM,\s\up15(→))＝3eq\o(MC,\s\up15(→))，eq\o(DN,\s\up15(→))＝2eq\o(NC,\s\up15(→))，則eq\o(AM,\s\up15(→))·eq\o(NM,\s\up15(→))＝()A．20B．15C．9 D．614.已知非零向量a，b，c滿足a＋b＋c＝0，向量a，b的夾角為120°，且|b|＝2|a|，則向量b與c的夾角為________．三、鞏固練習(xí)一、選擇題1．向量a的模為10，它與向量b的夾角為150°，則它在b方向上的投影向量的模為()A．－5eq\r(3)B．5C．－5 D．5eq\r(3)2．在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，則eq\o(AB,\s\up15(→))·Beq\o(C,\s\up15(→))的值為()A．1B．－1C．2 D．－23．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b與λa－b垂直，則λ等于()\f(3,2)B．－eq\f(3,2)C．±eq\f(3,2) D．14．設(shè)a，b，c是任意的非零向量，且互不共線，給出以下命題：①(a·b)·c－(c·a)·b＝0；②(b·c)·a－(c·a)·b不與c垂直；③(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.其中為正確命題的是()A．①②B．①③C．②③ D．③5．對(duì)任意平面向量a，b，下列關(guān)系式中不恒成立的是()A．|a·b|≤|a||b|B．|a－b|≤||a|－|b||C．(a＋b)2＝|a＋b|2D．(a＋b)·(a－b)＝a2－b2二、填空題6．已知e為一單位向量，a與e之間的夾角是120°，而a在e方向上的投影向量的模長(zhǎng)為2，則|a|＝________.7．在△ABC中，M是BC的中點(diǎn)，AM＝3，BC＝10，則eq\o(AB,\s\up15(→))·eq\o(AC,\s\up15(→))＝________.8．已知a，b，c為單位向量，且滿足3a＋λb＋7c＝0，a與b的夾角為eq\f(π,3)，則實(shí)數(shù)λ＝________.三、解答題9．(1)已知|a|＝3，|b|＝6，當(dāng)①a∥b，②a⊥b，③a與b的夾角是60°時(shí)，分別求a·b；(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，求eq\o(AB,\s\up15(→))·eq\o(BC,\s\up15(→)).10．設(shè)向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝1，且a與b具有關(guān)系|ka＋b|＝eq\r(3)|a－kb|(k>0)．(1)a與b能垂直嗎？(2)若a與b的夾角為60°，求k的值．向量的數(shù)量積運(yùn)算（1）參考答案一、知識(shí)梳理1.，。2.。3.。4.=1\*GB2⑴，=2\*GB2⑵。二、重點(diǎn)題型°如圖，作向量eq\o(OA,\s\up15(→))＝a，eq\o(OB,\s\up15(→))＝b，以O(shè)A，OB為鄰邊作平行四邊形，則四邊形OACB為菱形．∵eq\o(OC,\s\up15(→))＝a＋b，eq\o(BA,\s\up15(→))＝eq\o(OA,\s\up15(→))－eq\o(OB,\s\up15(→))＝a－b，eq\o(OC,\s\up15(→))⊥eq\o(BA,\s\up15(→))，∴a＋b與a－b的夾角為90°.°在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝eq\r(3)，CB＝1，所以tan∠ACB＝eq\f(AB,CB)＝eq\r(3)，所以∠ACB＝60°，即eq\o(CB,\s\up15(→))與eq\o(CA,\s\up15(→))的夾角為60°，所以eq\o(AC,\s\up15(→))與eq\o(CB,\s\up15(→))的夾角為120°.a·b＝|a||b|cos60°＝1×1×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).4.－6由題設(shè)知|e1|＝|e2|＝1且e1·e2＝eq\f(1,2)，所以b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3eeq\o\al(2,1)－2e1·e2－8eeq\o\al(2,2)＝3－2×eq\f(1,2)－8＝－6.在等邊△ABC中，∵∠A＝60°，∴向量eq\o(AB,\s\up15(→))在向量eq\o(AC,\s\up15(→))方向上的投影向量為eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up15(→))，∴向量eq\o(AB,\s\up15(→))在向量eq\o(CA,\s\up15(→))方向上的投影向量為－eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up15(→)).故選A.設(shè)向量a與向量b的夾角為θ，與b方向相同的單位向量為e，則a在b方向上的投影向量γ＝|a|cosθ·e，則|γ|＝||a|cosθ|＝|2×cos120°|＝1，故選D.\f(1,2)∵a與e的夾角θ＝eq\f(2π,3)，∴e在a方向上的投影向量的模為||e|·cosθ|＝eq\f(1,2).①②③顯然正確；(a·b)·c與c共線，而a·(b·c)與a共線，故④錯(cuò)誤；|a·b|＝|a|b||cosθ|，a·b＝|a||b|cosθ，有|a·b|≥a·b，故⑤錯(cuò)誤．由向量?jī)?nèi)積性質(zhì)知|a·b|≤|a||b|＝2.故選D.\f(7,8)設(shè)eq\o(BD,\s\up15(→))＝a，eq\o(DF,\s\up15(→))＝b，則eq\o(BA,\s\up15(→))·eq\o(CA,\s\up15(→))＝(a＋3b)·(－a＋3b)＝9|b|2－|a|2＝4，eq\o(BF,\s\up15(→))·eq\o(CF,\s\up15(→))＝(a＋b)·(－a＋b)＝|b|2－|a|2＝－1，解得|a|2＝eq\f(13,8)，|b|2＝eq\f(5,8)，則eq\o(BE,\s\up15(→))·eq\o(CE,\s\up15(→))＝(a＋2b)·(－a＋2b)＝4|b|2－|a|2＝eq\f(7,8).∵a·b＝|a||b|cos60°＝2|a|，∴(a＋2b)·(a－3b)＝|a|2－6|b|2－a·b＝|a|2－2|a|－96＝－72.∴|a|＝6.故選C.設(shè)|eq\o(BD,\s\up15(→))|＝x，則|eq\o(BC,\s\up15(→))|＝eq\r(3)x，eq\o(AC,\s\up15(→))·eq\o(AD,\s\up15(→))＝(eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→)))·eq\o(AD,\s\up15(→))＝eq\o(BC,\s\up15(→))·eq\o(AD,\s\up15(→))＝|eq\o(BC,\s\up15(→))||eq\o(AD,\s\up15(→))|cos∠ADB＝eq\r(3)x·1·eq\f(1,x)＝eq\r(3).如圖所示，由題設(shè)知：eq\o(AM,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BM,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up15(→))，eq\o(NM,\s\up15(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up15(→))－eq\f(1,4)eq\o(AD,\s\up15(→))，所以eq\o(AM,\s\up15(→))·eq\o(NM,\s\up15(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up15(→))＋\f(3,4)\o(AD,\s\up15(→))))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\o(AB,\s\up15(→))－\f(1,4)\o(AD,\s\up15(→))))＝eq\f(1,3)|eq\o(AB,\s\up15(→))|2－eq\f(3,16)|eq\o(AD,\s\up15(→))|2＋eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up15(→))·eq\o(AD,\s\up15(→))－eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up15(→))·eq\o(AD,\s\up15(→))＝eq\f(1,3)×36－eq\f(3,16)×16＝9.°由題意畫出圖形，如圖，因?yàn)閍，b的夾角為120°，所以∠CAB＝60°，又|b|＝2|a|，所以∠ACB＝90°，所以∠ABC＝30°，則b與c的夾角為150°.三、鞏固練習(xí)a在b方向上的投影向量的模為||a|·cos150°|＝5eq\r(3).eq\o(AB,\s\up15(→))·eq\o(BC,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))·(eq\o(AC,\s\up15(→))－eq\o(AB,\s\up15(→)))＝eq\o(AB,\s\up15(→))·eq\o(AC,\s\up15(→))－eq\o(AB,\s\up15(→))2＝－|eq\o(AB,\s\up15(→))|2＝－1.∵(3a＋2b)·(λa－b)＝3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2＝3λa2－2b2＝12λ－18＝0，∴λ＝eq\f(3,2).故選A.(a·b)·c表示與向量c共線的向量，(c·a)·b表示與向量b共線的向量，而b，c不共線，所以①錯(cuò)誤；[(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝0，即(b·c)·a－(c·a)·b與c垂直，故②錯(cuò)誤；顯然③正確．設(shè)向量a，b的夾角為θ，∵|a·b|＝|a||b|·|cosθ|≤|a||b|，∴A正確；∵當(dāng)向量a，b反向時(shí)，|a－b|≥||a|－|b||，∴B錯(cuò)誤；由向量的平方等于向量模的平方可知C正確；根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可推導(dǎo)出(a＋b)·(a－b)＝a2－b2，故D正確．因?yàn)閨|a|·cos120°|＝2，所以eq\f(1,2)|a|＝2，所以|a|＝4.7.－16eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\o(AM,\s\up15(→))－eq\o(BM,\s\up15(→))＝eq\o(AM,\s\up15(→))－eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up15(→))，eq\o(AC,\s\up15(→))＝eq\o(AM,\s\up15(→))＋eq\o(MC,\s\up15(→))＝eq\o(AM,\s\up15(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up15(→))，∴eq\o(AB,\s\up15(→))·eq\o(AC,\s\up15(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AM,\s\up15(→))－\f(1,2)\o(BC,\s\up15(→))))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AM,\s\up15(→))＋\f(1,2)\o(BC,\s\up15(→))))＝eq\o(AM,\s\up15(→))2－eq\f(1,4)eq\o(BC,\s\up15(→))2＝9－eq\f(1,4)×100＝－16.8.－8或5