湛江市2020屆高三數(shù)學二?？荚囋囶}文含解析

廣東省湛江市2020屆高三數(shù)學二模考試試題文含解析廣東省湛江市2020屆高三數(shù)學二?？荚囋囶}文含解析PAGE29-廣東省湛江市2020屆高三數(shù)學二?？荚囋囶}文含解析廣東省湛江市2020屆高三數(shù)學二?？荚囋囶}文（含解析）一、選擇題(共12小題）。1。已知集合A＝{x｜｝，B＝{x｜x≤1},則A∩B＝（）A.（﹣1，+∞） B。[﹣1,1） C。(﹣1，1] D。(﹣∞，1］【答案】C【解析】【分析】可以求出集合A，然后進行交集的運算即可．【詳解】∵A＝｛x|x＞﹣1｝，B＝｛x｜x≤1｝,∴A∩B＝（﹣1，1］．故選:C【點睛】本題考查了描述法、區(qū)間的定義，交集的運算,考查了計算能力，屬于基礎題．2。（）A。4i B.﹣4i C。﹣4i D.4i【答案】C【解析】【分析】由題意結合復數(shù)的運算法則直接計算即可得解.【詳解】由題意．故選：C．【點睛】本題考查了復數(shù)代數(shù)形式的乘法運算，考查了運算求解能力,屬于基礎題．3。已知函數(shù)f（x)＝ax2+2bx的圖象在點（1,f（1））處的切線方程為y＝4x+3，則b﹣a＝（）A。﹣8 B.20 C。8 D.﹣20【答案】C【解析】【分析】求得f（x)的導數(shù)，即可得切線的斜率,結合切線方程可得f（1)，解方程即可得解．【詳解】函數(shù)f(x)＝ax2+2bx的導數(shù)為＝2ax+2b，可得函數(shù)的圖象在點(1，f（1)）處的切線斜率為2a+2b=4，由切線方程為y＝4x+3，可得f（1）=a+2b＝4+3=7，所以a＝﹣3，b＝5，所以b﹣a＝8．故選：C．【點睛】本題考查了導數(shù)的運算及導數(shù)幾何意義的應用，考查了運算求解能力，屬于基礎題．4。高二某班共有45人，學號依次為1、2、3、…、45，現(xiàn)按學號用系統(tǒng)抽樣的辦法抽取一個容量為5的樣本，已知學號為6、24、33的同學在樣本中,那么樣本中還有兩個同學的學號應為(）A。 B。 C。 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，由系統(tǒng)抽樣的方法，可求出抽到的每個同學的學號之間的間隔為：，而已知學號為6、24、33的同學在樣本中，即可得分別寫出5個同學的學號，即可得出剩余的兩個同學的學號?！驹斀狻拷猓河深}可知,該班共有45人，按學號用系統(tǒng)抽樣的辦法抽取一個容量為5的樣本，則抽到的每個同學的學號之間的間隔為：，而已知學號為6、24、33的同學在樣本中，即抽到的第一個學號為6，則第二個學號為：6+9=15，第三個學號為:15+9=24，則第四個學號為：24+9=33，第五個學號為：33+9=42,所以樣本中還有兩個同學的學號應為：15，42.故選:B。【點睛】本題考查對系統(tǒng)抽樣的理解，屬于基礎題。5.已知a＝lg2，b＝ln2,c＝e，則（）A。a＜c＜b B.a＜b＜c C.b＜c＜a D。b＜a＜c【答案】B【解析】【分析】利用換底公式可得a＝lg2，b＝ln2，再利用對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調性即可得解．【詳解】由題意得a＝lg2，b＝ln2，，a＜b＜1,又，∴a＜b＜1＜c．故選：B．【點睛】本題考查了指數(shù)式、對數(shù)式的大小比較，考查了換底公式、對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調性的應用,屬于基礎題．6。下列圖象為函數(shù)y,y，y，y的部分圖象，則按順序對應關系正確的是（)A。①②③④ B.①②④③ C。①③②④ D。②①④③【答案】B【解析】【分析】由題意對比函數(shù)的性質與函數(shù)圖象的特征，逐個判斷即可得解。【詳解】由可得函數(shù)為奇函數(shù)，所以函數(shù)對應的圖象為圖④，故排除A、C；由，可知函數(shù)對應圖象為圖③；由，可知函數(shù)、對應的圖象分別為①、②，故排除D.故選：B．【點睛】本題考查了函數(shù)圖象的識別，考查了三角函數(shù)性質的應用，關鍵是找到函數(shù)的性質與圖象特征的對應關系，屬于基礎題．7。我國南北朝時期的數(shù)學家祖暅提出了計算幾何體體積的祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異“．意思是兩個同高的幾何體，如果在等高處的截面積都相等，那么這兩個幾何體的體積相等．現(xiàn)有某幾何體和一個圓錐滿足祖暅原理的條件，若該圓錐的側面展開圖是半徑為3的圓的三分之一，則該幾何體的體積為（)A.π B。π C.4 D?！敬鸢浮緼【解析】【分析】由題意可得該幾何體的體積與圓錐相同，結合圓錐側面展開圖的特征可求得圓錐的母線與底面半徑的長度，進而可得圓錐的高,代入圓錐體積公式即可得解．【詳解】由題意可知，該幾何體的體積等于圓錐的體積，∵圓錐的側面展開圖恰為一個半徑為3的圓的三分之一，∴圓錐的底面周長為，∴圓錐的底面半徑為1，母線長為3,∴圓錐的高為，∴圓錐的體積圓錐．從而所求幾何體的體積為．故選：A．【點睛】本題考查了數(shù)學文化與圓錐體積的求法，考查了圓錐側面展開圖的特征，正確理解題意是解題的關鍵，屬于基礎題．8。執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的，則輸入的x的值為（）A。﹣2 B。2 C。5或﹣2 D.7或﹣2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)輸出的，結合程序框圖的值分和兩種情況,分別計算即可?！驹斀狻坑沙绦蚩驁D可得:由,解得；由，解得.綜上，輸入的的值為7或—2．故選：D．【點睛】本題考查了程序框圖應用問題，解題時應模擬程序框圖的運行過程,以便得出正確的結論，是基礎題．9。若雙曲線E:1（a＞0，b＞0）的一條漸近線被圓（x﹣4）2+y2＝16所截得的弦長為4,則E的離心率為（）A。2 B。 C。 D.【答案】A【解析】【分析】由題意可設雙曲線的一條漸近線方程為bx+ay＝0，由圓心到直線的距離公式可得d，再利用勾股定理，半弦長和點到直線的距離,和半徑的關系得到弦長為即可求出?！驹斀狻吭O雙曲線的一條漸近線方程為bx+ay＝0，則圓心（4，0)到該直線的距離d,由題意可得弦長：，即，得，即離心率∴E的離心率為2．故選：A．【點睛】本題考查圓與雙曲線的綜合，考查點到直線距離公式的應用及圓的弦長計算,屬于一般題.10.在中，角的對邊分別是，若，則的面積為（)A. B. C。 D。【答案】D【解析】【分析】由于，根據(jù)正弦定理角化邊得出，而,則,再利用余弦定理得出,即可得出,最后根據(jù)三角形的面積公式即可求出答案.【詳解】解：由題可知，則，即:，又，,則,由余弦定理得:則，即：，所以，得，解得:，則,得：或（舍去），所以的面積為:。故選:D.【點睛】本題考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，以及三角形的面積公式，考查運算能力。11.已知函數(shù)f（x）＝Acos（ωx+φ）(A＞0,ω＞0，0＜φ＜π）的圖象的一個最高點為（），與之相鄰的一個對稱中心為，將f（x）的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)g（x）的圖象，則（）A.g(x）為偶函數(shù)B.g（x）的一個單調遞增區(qū)間為C。g（x）為奇函數(shù)D.函數(shù)g（x）在上有兩個零點【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)函數(shù)的部分圖象和性質求出f（x）解析式，再根據(jù)圖象的變換規(guī)律求得g（x），最后根據(jù)余弦函數(shù)性質得出結論．【詳解】因為函數(shù)f（x）＝Acos（ωx+φ）的圖象的一個最高點為(），與之相鄰的一個對稱中心為，所以A=3,（）；所以T＝π所以ω＝2；所以f（x）＝3cos（2x+φ）;又因為f（）＝3cos[（2×（）+φ]＝3,所以φ＝Kπ；∵0＜φ＜π；∴φ，∴f（x）＝3cos（2x）；因為將f（x）的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)g（x)的圖象，所以g（x）＝3cos［2(x）]＝3cos(2x）；是非奇非偶函數(shù)；令﹣π+2kπ≤2x2kπ，所以kπ≤x≤kπ,k∈z；當k＝0時，g（x）的一個單調遞增區(qū)間為：;令2xkπ，解得x，k∈z，∴函數(shù)g（x）在[0，]上只有一個零點．故選：B．【點睛】本題主要考查由三角函數(shù)部分圖象求解析式，圖象變換以及三角函數(shù)的性質，還考查了數(shù)形結合的思想和運算求解的能力，屬于中檔題.12。已知正方體的棱長為2，為的中點，則三棱錐的外接球的表面積為(）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由條件判斷得到三棱錐外接球即四棱錐的外接球,設四棱錐的外接球半徑為，則由勾股定理可解出，即可求得三棱錐的外接球的表面積.【詳解】如圖,因為、、、的四點共面，所以三棱錐的外接球即四棱錐的外接球，因為為矩形，且，，，四棱錐的高為，設四棱錐的外接球半徑為,則，解得,則三棱錐的外接球表面積,故選:D．【點評】本題考查三棱錐外接球表面積，轉化為求四棱錐的外接球半徑是關鍵,考查數(shù)形結合思想，屬于中檔題．二、填空題:本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡的相應位置.13。已知向量，若，則____________。【答案】5【解析】【分析】根據(jù)題意,根據(jù)平面向量坐標的加減法運算求出，由于,得出，最后利用向量垂直的坐標表示，即可求出.【詳解】解:由題可知，,則，由于，則，即:，解得：。故答案為：5?！军c睛】本題考查平面向量坐標的加減法運算和向量垂直的坐標表示，屬于基礎題.14.已知定義域為R的函數(shù)f（x）滿足f(﹣x）＝﹣f（x）,f（x+2）＝﹣f（x)，且f（x）,則f（7）＝_____．【答案】-1【解析】【分析】由f（﹣x）＝﹣f（x)和f(x+2）＝﹣f（x），推導出函數(shù)的周期，再利用周期性和奇偶性求解。【詳解】因為定義域為R的函數(shù)f（x）滿足f（﹣x）＝﹣f（x），f（x+2）＝﹣f（x），所以f（x+4)＝﹣f（x+2）＝f(x），所以函數(shù)f（x）的周期為4,又因為f（x）是奇函數(shù),所以f（7）＝f（7—8)＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣1．故答案為：﹣1．【點睛】本題考查主要函數(shù)值的求法以及函數(shù)周期性和奇偶性的應用,還考查了運算求解的能力,屬于基礎題．15.已知,則____________?！敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥扛鶕?jù)題意，由，兩邊同時平方并利用同角三角函數(shù)的平方關系得出，得出，根據(jù)三角函數(shù)所在象限的符號，從而可判斷出，再根據(jù)，可求得的值，即可求出的值，最后根據(jù)二倍角的正切公式，即可求出的結果.【詳解】因為，兩邊同時平方得出：，即：，得，而中，,則可知,所以得，即有，∴，可解得，∴，，即:。故答案為：.【點睛】本題考查同角三角函數(shù)的基本關系，以及二倍角的正切公式的應用,還涉及利用齊次式進行化簡求值，三角函數(shù)中需特別注意象限的判斷.16.已知拋物線C：y2＝2x，過點E（a，0）的直線l與C交于不同的兩點P（x1，y1),Q(x2，y2），且滿足y1y2＝﹣4,以Q為中點的線段的兩端點分別為M，N，其中N在x軸上,M在C上,則a＝_____．｜PM｜的最小值為_____．【答案】(1)。2(2).4【解析】【分析】過點E(a，0）的直線l的方程設為x＝my+a，代入拋物線的方程,運用韋達定理,結合條件，解方程可得a的值；再設直線PM的方程為x＝ny+b，聯(lián)立拋物線方程，設M（x3，y3），運用韋達定理和中點坐標公式，可得b＝4,再由弦長公式和二次函數(shù)的最值求法,可得所求最小值．【詳解】過點E（a，0）的直線l的方程設為x＝my+a，代入拋物線方程y2＝2x，可得y2﹣2my﹣2a＝0，所以y1+y2＝2m，y1y2＝﹣2a＝﹣4,可得a＝2；設直線PM的方程為x＝ny+b，聯(lián)立拋物線方程y2＝2x，可得y2﹣2ny﹣2b＝0，設M（x3，y3)，所以y1+y3＝2n，y1y3＝﹣2b，由Q為MN的中點，且N在x軸上，可得y3＝2y2，即有2y1y2＝﹣2b＝﹣8，可得b＝4，則｜PM｜??224,當n＝0即PM⊥x軸時，｜PM｜取得最小值4．故答案為：2；4．【點睛】本題考查拋物線的方程和運用,考查直線方程和拋物線聯(lián)立，運用韋達定理和弦長公式，考查方程思想和運算能力,屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。17～21題為必考題,每個試題考生都必須作答.第22，23題為選考題,考生根據(jù)要求作答.（一)必考題：共60分。17。已知數(shù)列{an｝的前n項和為Sn，且Sn＝n2+an﹣1．（1）求｛an}的通項公式；（2)設bn，求數(shù)列｛bn}的前n項和Tn．【答案】（1）an＝2n+1;(2）Tn．【解析】【分析】（1)先由得到,兩式相減得，進而求得；（2）利用裂項相消法求和即可．【詳解】解：（1）∵①，∴,②,由①﹣②可得：，整理得：，,∴，當時，有,所以也適合，故；（2）∵,∴,∴．【點睛】本題主要考查數(shù)列通項公式的求法及裂項相消法求前n項和，屬于中檔題．18.如圖，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1，E，F(xiàn)分別是棱CC1，AB的中點．（1）證明：CF∥平面AEB1．（2）若AC＝BC＝AA1＝4，∠ACB＝90°,求三棱錐B1﹣ECF的體積．【答案】（1)證明見解析（2）．【解析】【分析】(1）取AB1的中點G,連結EG,FG，推導出四邊形FGEC是平行四邊形，從而CF∥EG，由此能證明CF∥平面AEB1．（2）求出△B1EC的面積，三棱錐F﹣B1CE的高為2，由此能求出三棱錐F﹣B1CE的體積，再利用等體積法求解?！驹斀狻浚?)如圖所示：取AB1的中點G，連結EG，F(xiàn)G,∵F,G分別是AB,AB1的中點，∴FG∥EC，F(xiàn)G＝EC，∴四邊形FGEC是平行四邊形，∴CF∥EG，∵CF?平面AEB1，EG?平面AEB1，∴CF∥平面AEB1．（2）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∵BC＝AA1＝4,E是CC1的中點,∴△B1EC的面積為,∵AC⊥BC，平面ABC平面,平面ABC平面=BC，∴AC平面，∵F是AB的中點,∴三棱錐F﹣B1CE的高為2，∴三棱錐F﹣B1CE的體積為V．∵三棱錐B1﹣ECF的體積與三棱錐F﹣B1CE的體積相等，∴三棱錐B1﹣ECF的體積為?！军c睛】本題主要考查線面平行的證明,三棱錐的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識,考查推理論證能力能力與運算求解能力，屬于中檔題．19.冠狀病毒是一個大型病毒家族,已知的有中東呼吸綜合征(MERS）和嚴重急性呼吸綜合征（SARS)等較嚴重的疾病，新型冠狀病毒（nCoV）是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株，某小區(qū)為進一步做好新型冠狀病毒肺炎疫情知識的教育，在小區(qū)內開展“新型冠狀病毒防疫安全公益課”在線學習，在此之后組織了“新型冠狀病毒防疫安全知識競賽”在線活動．已知進入決賽的分別是甲、乙、丙、丁四位業(yè)主，決賽后四位業(yè)主相應的名次為第1，2，3，4名，該小區(qū)為了提高業(yè)主們的參與度和重視度，邀請小區(qū)內的所有業(yè)主在比賽結束前對四位業(yè)主的名次進行預測,若預測完全正確將會獲得禮品，現(xiàn)用表示某業(yè)主對甲、乙、丙、丁四位業(yè)主的名次做出一種等可能的預測排列，記．（1）求出的所有可能情形；（2）若會有小禮品贈送，求該業(yè)主獲得小禮品的概率，【答案】（1）見解析(2）．【解析】【分析】(1）利用列舉法能求出的所有可能情況．(2）以為一個基本事件,列表求出所有可能結果，由此能求出該業(yè)主獲得小禮品的概率．【詳解】（1)利用列舉法得到的所有可能情形如下：,，，，,，，,，，,，，,，，，，，，，，,。共種情況.（2）以（a，b，c,d）為一個基本事件，如下表所示：因為共有種情況,所以的概率為，即該業(yè)主獲得小禮品的概率為．【點睛】本題主要考查古典概型，考查列舉法等基礎知識,同時考查了學生的運算求解能力，屬于簡單題．20.已知函數(shù)在處取得極小值．（1）求f（x）；（2）令函數(shù)，若f（x）≤g（x)對x∈［1，4］恒成立，求m的取值范圍．【答案】(1）；（2）．【解析】【分析】（1）先對函數(shù)求導,然后結合極值存在的條件代入即可求解a，b，進而可求函數(shù)解析式；（2）由已知不等式恒成立，分離參數(shù)后轉化為求解函數(shù)的最值問題，可構造函數(shù)，結合導數(shù)可求．【詳解】解：(1)，所以，f（）,解可得，；（2)若f（x）≤g（x）對x∈［1,4]恒成立，則，所以m對x∈［1,4]恒成立,令h(x），x∈［1，4]，則，當1時，h′（x）＞0，函數(shù)單調遞增,當時，h′（x)＜0，函數(shù)單調減，故h(x）max＝h（）,即m的范圍．【點睛】本題考查了函數(shù)極值存在條件的應用，考查利用分離法處理恒成立問題中參數(shù)范圍求解問題，體現(xiàn)了轉化思想的應用，是中檔題．21.已知橢圓C：1（a＞b＞0）的離心率為，點M（a，0），N（0，b）,O（0，0），且△OMN的面積為1．（1）求橢圓C的標準方程；（2）設A，B是x軸上不同的兩點，點A（異于坐標原點）在橢圓C內，點B在橢圓C外．若過點B作斜率不為0的直線與C相交于P,Q兩點，且滿足∠PAB+∠QAB＝180°．證明：點A，B的橫坐標之積為定值．【答案】（1）y2＝1；（2)見解析【解析】【分析】(1）由題意離心率的值及三角形OMN的面積和a,b，c之間的關系求出a，b的值，進而求出橢圓的方程；(2）作點P關于x軸的對稱點，由橢圓的對稱性可知∠PAB＝∠AB，∠QBA＝∠BA，所以，A，Q三點共線，設Q，A，B的坐標，設直線Q的方程與橢圓聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積，因為∠QBA＝∠BA，所以,求出兩條直線的斜率，求出A,B的乘積為定值．【詳解】解：（1）由題意可得:，解得:a2＝4，b2＝1，所以橢圓C的標準方程：y2＝1；（2）證明：作點P關于x軸的對稱點，由橢圓的對稱性可知，點在橢圓上，且∠PAB＝∠AB，∠QBA＝∠BA，因為∠PAB+∠QAB＝180°．所以∠AB+∠QAB＝180°，所以,A，Q三點共線，由題意可知直線Q不與x軸平行或重合，設直線Q的方程為：x＝ty+m，(mt≠0），設,聯(lián)立直線與橢圓的方程：，消x可得,則有y1+y2，y1y2,因為∠QBA＝∠BA，所以，即,所以，即即，解得,因為，所以，故點A，B橫坐標之積為定值4．【點睛】本題考查求橢圓方程及直線與橢圓的綜合，及由角的關系可得斜率的關系，屬于中檔題．（二）選考題：共10分請考生在第22、23兩題中任選一題作答，如果多做,則按所做的第一題計分.[選修4—4:坐標系與參數(shù)方程］22。在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù)），以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系．（1)