復(fù)數(shù)的幾何意義

第十章復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)及其幾何意義復(fù)數(shù)的幾何意義課后篇鞏固提升基礎(chǔ)鞏固1.復(fù)數(shù)z=1-4i的共軛復(fù)數(shù)是()+4i +i +4i 解析復(fù)數(shù)z=1-4i的共軛復(fù)數(shù)是z=1+4i.故選A.答案A2.復(fù)數(shù)z=3+i3對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面第幾象限()A.一 B.二 C.三 D.四解析由i2=-1,z=3-i,對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為(3,-1).答案D3.復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z(a,b),若|z|≤1,則點(diǎn)Z的軌跡是()A.直線 B.線段C.圓 D.單位圓以及圓內(nèi)的部分解析∵復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z(a,b),|z|≤1,∴點(diǎn)z的軌跡是在以原點(diǎn)為圓心,1為半徑的圓及其內(nèi)部,故選D.答案D4.在復(fù)平面內(nèi),O為原點(diǎn),向量OA對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為-1+2i,若點(diǎn)A關(guān)于直線y=-x的對(duì)稱點(diǎn)為B,則向量OB對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為() +i+2i +2i解析∵A(-1,2)關(guān)于直線y=-x的對(duì)稱點(diǎn)B(-2,1),∴向量OB對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為-2+i.答案B5.已知a,b∈R,那么在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)于復(fù)數(shù)a-bi,-a-bi的兩個(gè)點(diǎn)的位置關(guān)系是()A.關(guān)于x軸對(duì)稱 B.關(guān)于y軸對(duì)稱C.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 D.關(guān)于直線y=x對(duì)稱解析在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)于復(fù)數(shù)a-bi,-a-bi的兩個(gè)點(diǎn)為(a,-b)和(-a,-b)關(guān)于y軸對(duì)稱.答案B6.當(dāng)23<m<1時(shí),復(fù)數(shù)z=(3m-2)+(m-1)i在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于(A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析∵23<m<∴3m-2>0,m-1<0,∴點(diǎn)(3m-2,m-1)在第四象限.答案D7.已知復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R),當(dāng)a=0時(shí),復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)z的軌跡是()A.實(shí)軸 B.虛軸C.原點(diǎn) D.虛軸除去原點(diǎn)解析a=0時(shí),z=bi,復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)z的軌跡是虛軸.答案B8.已知復(fù)數(shù)z=x-2+yi的模是22,則點(diǎn)(x,y)的軌跡方程是.

解析由模的計(jì)算公式得(x-2)∴(x-2)2+y2=8.答案(x-2)2+y2=89.復(fù)數(shù)3-5i,1-i和-2+ai在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在同一條直線上,則實(shí)數(shù)a的值為.

解析由點(diǎn)(3,-5),(1,-1),(-2,a)共線可知a=5.答案5為虛數(shù)單位,設(shè)復(fù)數(shù)z1,z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,若z1=2-3i,則z2=.

解析∵z1=2-3i,∴z1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(2,-3),關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為(-2,3).∴z2=-2+3i.答案-2+3i11.設(shè)z=(1+i)sinθ-(1+icosθ)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線x+y+1=0上,則tanθ的值為,若θ∈0,π2,則z=解析由題意,得sinθ-1+sinθ-cosθ+1=0,∴tanθ=12若θ∈(0,π2則sinθ=55,cosθ=2則z=(1+i)55-(1+255i)=55-1答案1255-12.已知兩向量a,b對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是z1=-3,z2=-12+mi(m∈R),且a,b的夾角為60°,求m的值解因?yàn)閍,b對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z1=-3,z2=-12+mi(m∈R所以a=(-3,0),b=-1又a,b的夾角為60°,所以cos60°=(-3即12解得m=±32能力提升1.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)6+5i,-2+3i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B.若C為線段AB的中點(diǎn),則點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是()+8i +2i +4i +i解析A(6,5),B(-2,3),∵C為AB的中點(diǎn),∴C(2,4),∴點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為2+4i,故選C.答案C2.已知0<a<2,復(fù)數(shù)z=a+i(i是虛數(shù)單位),則|z|的取值范圍是()A.(1,3) B.(1,5) C.(1,3) D.(1,5)解析|z|=a2+1,∵0∴1<a2+1<5,∴|z|∈(1,5).答案B3.已知復(fù)數(shù)z=a+3i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限,且|z|=2,則復(fù)數(shù)z等于()+3i +3i+3i或1+3i +3i解析因?yàn)閦在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限,所以a<0,由|z|=2知,a2+解得a=±1,故a=-1,所以z=-1+3i.答案A4.若復(fù)數(shù)x=sinθ-35+cosθ-45i(θ∈R)是純虛數(shù),則cosθ+A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析∵復(fù)數(shù)x=sinθ-35+cosθ-45∴sin即sinθ=35,cosθ=-4則cos2θ=1-2sin2θ=1-2×35∴cosθ+icos2θ共軛復(fù)數(shù)的實(shí)部小于0,虛部小于0,在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限.故選C.答案C5.設(shè)A,B為銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角,則復(fù)數(shù)z=(cosB-tanA)+itanB對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析因A,B為銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角,所以A+B>π2即A>π2-B,sinA>cosBcosB-tanA=cosB-sinAcosA<cosB-sin又tanB>0,所以點(diǎn)(cosB-tanA,tanB)在第二象限,故選B.答案B6.已知復(fù)數(shù)z1=cosx+2f(x)i,z2=(3sinx+cosx)+i,x∈R,在復(fù)平面上,設(shè)復(fù)數(shù)z1,z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為Z1,Z2,若∠Z1OZ2=90°,其中O是坐標(biāo)原點(diǎn),則函數(shù)f(x)的最大值為()14 B.14 12解析由題意,Z1(cosx,2f(x)),Z2(3sinx+cosx,1),∴∠Z1OZ2=90°,∴3sinxcosx+cos2x+2f(x)=0,即2f(x)=-32sin2x-1+cos2x2=-32sin2x-12cos∴f(x)=-12sin2則函數(shù)f(x)的最大值為14.故選B答案B7.復(fù)平面內(nèi)長(zhǎng)方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)中,點(diǎn)A,B,C所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是2+3i,3+2i,-2-3i,則D點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為.

解析由題意可知A(2,3),B(3,2),C(-2,-3),設(shè)D(x,y),則AD=BC,即(x-2,y-3)=(-5,解得x故D點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為-3-2i.答案-3-2i8.已知復(fù)數(shù)z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-2i,它們所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是A,B,C,若OC=xOA+yOB(x,y∈R),則x+y的值是.

解析由復(fù)數(shù)的幾何意義可知,OC=xOA+yOB,即(3,-2)=x(-1,2)+y(1,1),∴y解得x=1,y=4答案59.設(shè)z為純虛數(shù),且|z-1|=|-1+i|,求復(fù)數(shù)z.解∵z為純虛數(shù),∴設(shè)z=ai(a∈R且a≠0),又|-1+i|=2,由|z-1|=|-1+i|,得a2解得a=±1.∴z=±i.10.已知復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)