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第四課時探索規(guī)律2.2整式的加減問題1.如下圖所示,用火柴棍拼成一排由三角形組成的圖形。(1)如果圖形中含有2,3或4個三角形,分別需要多少根火柴棒?如果圖形中含有n個三角形,需要多少根火柴棍?(2)當(dāng)圖形中含有2021個三角形時,需要多少根火柴棍?①從第二個圖形起,與前一圖形比,每增加一個三角形,增加2根火柴,可得三角形個數(shù)1234……n火柴棍根數(shù)n-1表達(dá)形式:3+2(n-1)=2n+133+23+2+23+2+2+2……3+2+2+2+…+2②從第一個圖形起,以一根火柴棍為基礎(chǔ),每增加一個三角形,增加兩根火柴棍,可得三角形個數(shù)1234……n火柴棍根數(shù)n表達(dá)形式:1+2n1+21+2+21+2+2+21+2+2+2+2……1+2+2+2+…+2③每個三角形由三根火柴棍組成,從第一個圖形起,火柴棍根數(shù)等于所含三角形個數(shù)乘3再減去重復(fù)的火柴棍根數(shù),可得三角形個數(shù)1234……n火柴棍根數(shù)表達(dá)形式:3n-(n-1)=2n+11×32×3-13×3-24×3-3……3×n-(n-1)④觀察火柴棍的根數(shù)與三角形的個數(shù)的對應(yīng)關(guān)系,可得三角形個數(shù)1234……n火柴棍根數(shù)表達(dá)形式:2n+13=1×2+15=2×2+17=3×2+19=4×2+1……n×2+1⑤將組成圖形的火柴棍“橫”放和“斜”放兩類統(tǒng)計計數(shù),可得三角形個數(shù)1234……n火柴棍根數(shù)表達(dá)形式:n+(n+1)=2n+11+22+33+44+5……n+(n+1)(2)當(dāng)n=2021時,2n+1=2×2021+1=4043應(yīng)用1.如圖(1)是一個三角形,分別連接這個三角形三邊中點得到圖(2);再分別連接圖(2)中間小三角形三邊的中點,得到圖(3).(1)圖(1)(2)(3)中分別有多少個三角形?(2)按上面的方法繼續(xù)下去,第n個圖形中有多少個三角形?解:(1)由圖可知,圖(1)、圖(2)、圖(3)中三角形的個數(shù)分別為1個,5個,9個;(2)由于每次三角形遞增4個,第一個圖形中共有1個三角形,所以第n個圖形中有(4n-3)個三角形.問題2.圖2是某月的月歷.圖2(1)帶陰影的方框中的9個數(shù)之和與方框正中心的數(shù)有什么關(guān)系?帶陰影的方框中9個數(shù)之和是99,是正中心數(shù)11的9倍.(2)如果將帶陰影的方框移至圖3的位置,(1)中的關(guān)系還成立嗎?圖3帶陰影的方框中9個數(shù)之和是144,是正中心數(shù)16的9倍.(3)不改變帶陰影的方框的大小,將方框移動幾個位置試一試,你能得出什么結(jié)論?你能證明這個結(jié)論嗎?月歷中數(shù)的排列規(guī)律:1.行:從左向右,依次遞增1.a–1a+7a2.列:從上向下,依次遞增7.a–7a+7a3.對角線:從左上向右下,依次遞增8.aa–8a+8(4)這個結(jié)論對于任何一個月的月歷都成立嗎?(5)如圖4,如果帶陰影的方框里的數(shù)是4個,你能得出什么結(jié)論?圖4成立對角線上的兩個數(shù)相加之后和相等(6)如圖5,對于帶陰影的框中的4個數(shù),又能得出什么結(jié)論?圖5對角線上的兩個數(shù)相加之后和相等典例2
如圖是某月的月歷,用正方形圈出9個數(shù),設(shè)正中心的數(shù)是x.(1)用含x的式子表示這9個數(shù),填入圖中橫線處;(2)求這9個整式的和.解:(1)x-8,x-6,x-1,x+1,x+6,x+7,x+8.(2)(x-8)+(x-7)+(x-6)+(x-1)+x+(x+1)+(x+6)+(x+7)+(x+8)=9x.練習(xí)2.小明是個愛動腦筋的同學(xué),在發(fā)現(xiàn)教材中的用方框在月歷中移動的規(guī)律后,突發(fā)奇想,將連續(xù)的偶數(shù)2,4,6,8,…,排成如下表,并用一個十字形框架框住其中的五個數(shù),請你仔細(xì)觀察十字形框架中的數(shù)字的規(guī)律,并回答下列問題:……(1)十字框中的五個數(shù)的和與中間的數(shù)16有什么關(guān)系?(2)設(shè)中間的數(shù)為x,用代數(shù)式表示十字框中的五個數(shù)的和;(3)若將十字框上下左右移動,可框住另外的五個數(shù),其他五個數(shù)的和能等于2022嗎?如能,寫出這五個數(shù),如不能,說明理由.解:(1)十字框中的五個數(shù)的和為6+14+16+18+26=80=16×5,即是16的5倍.(2)十字框中的五個數(shù)的和為:(x-10)+(x+10)+(x-2)+(x+2)+x=5x.(3)假設(shè)能夠框出滿足條件的五個數(shù),設(shè)中間的數(shù)為x,由(2)得5x=2022,所以x=404.4.但
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