中考一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)幾何專題：四邊形壓軸訓(xùn)練（二）

中考一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)幾何專題：四邊形壓軸訓(xùn)練（二）1．【實(shí)驗(yàn)操作】如圖1是一張矩形紙片，點(diǎn)E在邊AB上，把△BCE沿著直線CE對(duì)折，點(diǎn)B恰好落在對(duì)角線AC上的點(diǎn)F處．【性質(zhì)探究】如圖2，連接DF，若點(diǎn)E，F(xiàn)，D在同一直線上．（1）請(qǐng)寫出圖中與邊DC相等的線段并說(shuō)明理由．（2）若AE＝2，求EF的長(zhǎng)．【遷移應(yīng)用】（3）如圖3，延長(zhǎng)EF交邊AD于點(diǎn)G，若DG：AG＝n，且AE＝2，求BE的長(zhǎng)（請(qǐng)用含n的代數(shù)式來(lái)表示）．2．（1）問(wèn)題提出如圖①，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點(diǎn)A，D，E在同一條直線上，連接BE，線段AD，BE之間的數(shù)量關(guān)系為，∠AEB的度數(shù)為；（2）問(wèn)題探究如圖②，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE．請(qǐng)判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM，AE，BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）問(wèn)題解決如圖③，在正方形ABCD中，CD＝2，若點(diǎn)P滿足PD＝2，且∠BPD＝90°，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A到BP的距離．3．定義：在四邊形ABCD中，如果∠ABC+∠ADC＝90°，那么我們把這樣的四邊形稱為余對(duì)角四邊形．【問(wèn)題探索】問(wèn)題：如圖1，已知AC、BD是余對(duì)角四邊形ABCD的對(duì)角線，AC＝BC，∠ACB＝60°．求證：AD2+DC2＝BD2．探索：小明同學(xué)通過(guò)觀察、分析、思考，對(duì)上述問(wèn)題形成了如下想法：因?yàn)锳C＝BC，∠ACB＝60°，所以△ABC是等邊三角形，將△CBD繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°，得△CAE，連接DE．……請(qǐng)參考小明同學(xué)的想法，完成該問(wèn)題的解答過(guò)程．【問(wèn)題推廣】已知AC、BD是余對(duì)角四邊形ABCD的對(duì)角線，AC＝k?BC，tan∠ACB＝．（1）如圖2，當(dāng)k＝1時(shí)，類比前面問(wèn)題的解決，探究DA、DB、DC三者之間關(guān)系，并說(shuō)明理由．（2）如圖3，當(dāng)AD＝，BD＝，DC＝5時(shí)，則k的值為；【靈活運(yùn)用】如圖4，已知AC、BD是余對(duì)角四邊形ABCD的對(duì)角線，AC＝2，BC＝，∠ACB＝90°，∠ADB＝30°，AD＝．4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（0，2），B（﹣2，0），連接AB，點(diǎn)C是線段OA上一點(diǎn)，以O(shè)C為邊作正方形OCDE，如圖1．（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)圖1中，線段BE與AC的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是．（2）問(wèn)題探究如圖2，將正方形OCDE繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜360°），連接AC，BE，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）拓展應(yīng)用若OC＝1，將正方形OCDE繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，當(dāng)B，E，C三點(diǎn)共線時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段AC的長(zhǎng)．5．如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠D＝90°，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，連接BE，將△ABE沿BE折疊后得到△GBE，且點(diǎn)G在四邊形ABCD內(nèi)部，延長(zhǎng)BG交DC于點(diǎn)F，連接EF．（1）求證：△EGF≌△EDF；（2）求證：BG＝CD；（3）若點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，BC＝8，求CD的長(zhǎng)．6．（1）證明推斷：如圖（1），在正方形ABCD中，點(diǎn)E，Q分別在邊BC，AB上，DQ⊥AE于點(diǎn)O，點(diǎn)G，F(xiàn)分別在邊CD，AB上，GF⊥AE．求證：AE＝FG；（2）類比探究：如圖（2），在矩形ABCD中，＝k（k為常數(shù)）．將矩形ABCD沿GF折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)E處，得到四邊形FEPG，EP交CD于點(diǎn)H，連接AE交GF于點(diǎn)O．試探究GF與AE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）拓展應(yīng)用：在（2）的條件下，連接CP，當(dāng)時(shí)k＝，若tan∠CGP＝，GF＝2，求CP的長(zhǎng)．7．如圖1，點(diǎn)E為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，∠AEB＝90°，現(xiàn)將Rt△ABE繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，得到△CBE′（點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C），延長(zhǎng)AE交CE′于點(diǎn)F．（1）如圖1，求證：四邊形BEFE′是正方形；（2）連接DE，①如圖2，若DA＝DE，求證：F為CE′的中點(diǎn)；②如圖3，若AB＝15，CF＝3，試求DE的長(zhǎng)．8．在平面直角坐標(biāo)系中，有正方形OBCD和正方形OEFG，E（2，0），B（0，2）．（Ⅰ）如圖①，求BE的長(zhǎng)；（Ⅱ）將正方形OBCD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得正方形OB′C′D′．①如圖②，當(dāng)點(diǎn)B′恰好落在線段D'G上時(shí)，求B'E的長(zhǎng)；②將正方形OB'C'D'繞點(diǎn)O繼續(xù)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，線段D'G與線段B'E的交點(diǎn)為H，求△GHE與△B'HD'面積之和的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)H的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果）．9．已知，如圖①將矩形紙片ABCD沿過(guò)點(diǎn)D的直線折疊，使點(diǎn)A落在CD上的點(diǎn)A'處，得到折痕DE，然后把紙片展平；再如圖②，將圖①中的矩形紙片ABCD沿過(guò)點(diǎn)E的直線折疊，點(diǎn)C恰好落在AD上的C'處，點(diǎn)B落在B'處，得到折痕EF，B'C'交AB于點(diǎn)M，C'F交DE于點(diǎn)N，再把紙片展平．（Ⅰ）如圖①，填空：若AD＝3，則ED的長(zhǎng)為；（Ⅱ）如圖②，連接EC'，△MC′E是否一定是等腰三角形？若是，請(qǐng)給出證明；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；（Ⅲ）如圖②，若AC'＝2cm，DC′＝4cm，求DN：EN的值．（直接寫出結(jié)果即可）10．探究：如圖1和圖2，四邊形ABCD中，已知AB＝AD，∠BAD＝90°，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，∠EAF＝45°．（1）①如圖1，若∠B、∠ADC都是直角，把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，使AB與AD重合，直接寫出線段BE、DF和EF之間的數(shù)量關(guān)系；②如圖2，若∠B、∠D都不是直角，但滿足∠B+∠D＝180°，線段BE、DF和EF之間的結(jié)論是否仍然成立，若成立，請(qǐng)寫出證明過(guò)程，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）拓展：如圖3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2．點(diǎn)D、E均在邊BC邊上，且∠DAE＝45°，若BD＝1，請(qǐng)直接寫出DE的長(zhǎng)．11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形OABC的頂點(diǎn)A在x軸上，頂點(diǎn)C在y軸上，OA＝8，OC＝4，點(diǎn)P為對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥PB，PQ交x軸于點(diǎn)Q．（1）tan∠ACB＝；（2）在點(diǎn)P從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A的過(guò)程中，的值是否發(fā)生變化？如果變化，請(qǐng)求出其變化范圍；如果不變，請(qǐng)求出其值；（3）若將△QAB沿直線BQ折疊后，點(diǎn)A與點(diǎn)P重合，求PC的長(zhǎng)．12．如圖1，在矩形紙片ABCD中，AB＝6，AD＝10，折疊紙片使B點(diǎn)落在邊AD上的點(diǎn)E處，折痕為PQ．過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB交PQ于F，連接BF．（1）求證：四邊形PBFE為菱形；（2）當(dāng)點(diǎn)E在AD邊上移動(dòng)時(shí)，折痕的端點(diǎn)P、Q也隨之移動(dòng)．①當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)（如圖2），求菱形PBFE的邊長(zhǎng)；②若限定P、Q分別在邊BA、BC上移動(dòng)，菱形PBFE的面積有最值嗎？若有，請(qǐng)寫出，若沒(méi)有，填“無(wú)”．最大值為；最小值為．13．如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD的邊BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接DE，過(guò)點(diǎn)A作AH∥DE交CD于點(diǎn)H，交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，點(diǎn)M、N分別是DE、AH的中點(diǎn)，連接AM、DN．（1）求證：四邊形AMDN是菱形；（2）若S菱形MADN：S正方形ABCD＝1：3，求CF：AB的值．14．矩形ABCD中，AB＝CD＝3cm，AD＝BC＝4cm，AC是對(duì)角線，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿CD方向向點(diǎn)D勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s．過(guò)點(diǎn)P作BC的垂線段PH，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終保持PH與BC互相垂直，連接HQ交AC于點(diǎn)O．若點(diǎn)P和點(diǎn)Q同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（0＜t＜1.5），解答下列問(wèn)題．（1）求當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PHCQ為矩形；（2）是否存在一個(gè)時(shí)刻，使HQ與AC互相垂直？如果存在，請(qǐng)求出t值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）是否存在一個(gè)時(shí)刻，使矩形ABCD的面積是四邊形PHCQ面積的，如果存在，請(qǐng)求出t值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（4）如果△COQ是等腰三角形，請(qǐng)直接寫出所有符合題意的時(shí)刻：．15．問(wèn)題情景：如圖1，我們把對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美四邊形”，按照此定義，我們學(xué)過(guò)的平行四邊形中的菱形、正方形等都是“垂美四邊形”，“箏形”也是“垂美四邊形”．概念理解：（1）如圖2，已知等腰梯形ABCD是“垂美四邊形