第三章 靜態(tài)場及其邊值問題的解1

第3章靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解本章內(nèi)容

3.1

靜電場分析

3.2

導電媒質(zhì)中的恒定電場分析

3.3

恒定磁場分析

3.4

靜態(tài)場的邊值問題及解的惟一性定理

3.5

鏡像法

3.6

分離變量法靜態(tài)電磁場：場量不隨時間變化，包括：

靜電場、恒定電場和恒定磁場時變情況下，電場和磁場相互關(guān)聯(lián)，構(gòu)成統(tǒng)一的電磁場靜態(tài)情況下，電場和磁場由各自的源激發(fā)，且相互獨立

3.1靜電場分析

本節(jié)內(nèi)容

3.1.1

靜電場的基本方程和邊界條件

3.1.2

電位函數(shù)

3.1.3

導體系統(tǒng)的電容

3.1.4

靜電場的能量2.邊界條件微分形式：本構(gòu)關(guān)系：1.基本方程積分形式：或或3.1.1靜電場的基本方程和邊界條件若分界面上不存在面電荷，即，則介質(zhì)2介質(zhì)1

在靜電平衡的情況下，導體內(nèi)部的電場為0，則導體表面的邊界條件為

或

場矢量的折射關(guān)系

導體表面的邊界條件D與E均垂直于導體表面由即靜電場可以用一個標量函數(shù)的梯度來表示，標量函數(shù)稱為靜電場的標量電位或簡稱電位。1.電位函數(shù)的定義3.1.2

電位函數(shù)2.電位的表達式對于連續(xù)的體分布電荷，由同理得，面電荷的電位：故得點電荷的電位：線電荷的電位：3.電位差兩端點乘，則有將上式兩邊從點P到點Q沿任意路徑進行積分，得關(guān)于電位差的說明

P、Q兩點間的電位差等于電場力將單位正電荷從P點移至Q點所做的功，電場力使單位正電荷由高電位處移到低電位處。電位差也稱為電壓，可用U表示。

電位差有確定值，只與首尾兩點位置有關(guān)，與積分路徑無關(guān)。P、Q兩點間的電位差電場力做的功靜電位不惟一，可以相差一個常數(shù)，即選參考點令參考點電位為零電位確定值(電位差)兩點間電位差有定值

選擇電位參考點的原則

應使電位表達式有意義。應使電位表達式最簡單。若電荷分布在有限區(qū)域，通常取無限遠作電位參考點。

同一個問題只能有一個參考點。4.電位參考點

為使空間各點電位具有確定值，可以選定空間某一點作為參考點，且令參考點的電位為零，由于空間各點與參考點的電位差為確定值，所以該點的電位也就具有確定值，即在均勻介質(zhì)中，有5.

電位的微分方程在無源區(qū)域，標量泊松方程拉普拉斯方程6.靜電位的邊界條件

設(shè)P1和P2是介質(zhì)分界面兩側(cè)緊貼界面的相鄰兩點，其電位分別為1和2。當兩點間距離Δl→0時導體表面上電位的邊界條件：由和媒質(zhì)2媒質(zhì)1若介質(zhì)分界面上無自由電荷，即常數(shù)，

例3.1.4

兩塊無限大接地導體平板分別置于x=0和x=a處，在兩板之間的x=b處有一面密度為

的均勻電荷分布，如圖所示。求兩導體平板之間的電位和電場。

解在兩塊無限大接地導體平板之間，除x=b處有均勻面電荷分布外，其余空間均無電荷分布，故電位函數(shù)滿足一維拉普拉斯方程方程的解為obaxy兩塊無限大平行板利用邊界條件，有處，最后得處，處，所以由此解得作業(yè):無限大導體平板分別置于x＝0和x＝d處，板間充滿電荷，其體電荷密度為，極板電位分別為0和U0，求兩極板間的電位和電場強度。電容器廣泛應用于電子設(shè)備的電路中：

3.1.3導體系統(tǒng)的電容與部分電容在電子電路中，利用電容器來實現(xiàn)濾波、移相、隔直、旁路、選頻等作用。通過電容、電感、電阻的排布，可組合成各種功能的復雜電路。在電力系統(tǒng)中，可利用電容器來改善系統(tǒng)的功率因數(shù)，以減少電能的損失和提高電氣設(shè)備的利用率。電容是導體系統(tǒng)的一種基本屬性，是描述導體系統(tǒng)儲存電荷能力的物理量。孤立導體的電容定義為所帶電量q與其電位的比值，即1.電容孤立導體的電容兩個帶等量異號電荷（q）的導體組成的電容器，其電容為電容的大小只與導體系統(tǒng)的幾何尺寸、形狀和及周圍電介質(zhì)的特性參數(shù)有關(guān)，而與導體的帶電量和電位無關(guān)。

(1)假定兩導體上分別帶電荷+q和－q；

計算電容的方法一：

(4)求比值，即得出所求電容。

(3)由 ，求出兩導體間的電位差；

(2)計算兩導體間的電場強度E；

計算電容的方法二：

(1)假定兩電極間的電位差為U；

(4)由得到

;

(2)計算兩電極間的電位分布

；

(3)由得到E;

(5)由 ，求出導體的電荷q；

(6)求比值，即得出所求電容。

解：設(shè)內(nèi)導體的電荷為q

，則由高斯定理可求得內(nèi)外導體間的電場同心導體間的電壓球形電容器的電容當時，

例3.1.4

同心球形電容器的內(nèi)導體半徑為a、外導體半徑為b，其間填充介電常數(shù)為ε的均勻介質(zhì)。求此球形電容器的電容。孤立導體球的電容補充作業(yè)：內(nèi)外半徑分別為R1

、R2的球形電容器，上半部分填充介電常數(shù)為1的電介質(zhì)，下半部分填充介電常數(shù)為2的電介質(zhì)，求電容器的電容。

如果充電過程進行得足夠緩慢，就不會有能量輻射，充電過程中外加電源所做的總功將全部轉(zhuǎn)換成電場能量，或者說電場能量就等于外加電源在此電場建立過程中所做的總功。

靜電場能量來源于建立電荷系統(tǒng)的過程中外源提供的能量。

靜電場最基本的特征是對電荷有作用力，這表明靜電場具有能量。任何形式的帶電系統(tǒng)，都要經(jīng)過從沒有電荷分布到某個最終電荷分布的建立(或充電)過程。在此過程中，外加電源必須克服電荷之間的相互作用力而做功。3.1.4靜電場的能量

電場能量密度

從場的觀點來看，靜電場的能量分布于電場所在的整個空間。

電場能量密度：

電場的總能量：積分區(qū)域為電場所在的整個空間

對于線性、各向同性介質(zhì)，則有2/1/2023華僑大學信息學院

王華軍22點電荷系的相互作用能

設(shè)N個點電荷分布于一有限空間內(nèi)，將

q1緩慢地移至無窮遠處，其余電荷不動然后依次移q2、q3……余下電荷依次移走，此時總功=電場所儲存的能量除自身外其他點電荷在i處產(chǎn)生的電位2/1/2023華僑大學信息學院

王華軍25考慮固有能時應為第i個帶電體自身所帶電荷及其他電荷在該點產(chǎn)生的電位。

例3.1.7

半徑為a的球形空間內(nèi)均勻分布有電荷體密度為ρ的電荷，試求靜電場能量。

解：方法一，利用計算根據(jù)高斯定理求得電場強度故

方法二：利用計算先求出電位分布故作業(yè).半徑為a、帶電荷q的導體球有一半浸在介電常數(shù)為均勻液態(tài)電介質(zhì)中，如圖所示。試求：（1）空氣和電介質(zhì)中的電位和電場分布（2）導體表面上的電荷面密度（3）總的靜電場能量。ao3.2導電媒質(zhì)中的恒定電場分析

本節(jié)內(nèi)容

3.2.1恒定電場的基本方程和邊界條件

3.2.2恒定電場與靜電場的比擬

由J＝E可知，導體中若存在恒定電流，則必有維持該電流的電場，雖然導體中產(chǎn)生電場的電荷作定向運動，但導體中的電荷分布是一種不隨時間變化的恒定分布，這種恒定分布電荷產(chǎn)生的電場稱為恒定電場。恒定電場與靜電場的重要區(qū)別：（1）恒定電場可以存在于導體內(nèi)部。（2）恒定電場中有電場能量的損耗,要維持導體中的恒定電流，就必須有外加電源來不斷補充被損耗的電場能量。

恒定電場和靜電場都是無旋場，具有相同的性質(zhì)。3.2.1恒定電場的基本方程和邊界條件1.基本方程

恒定電場的基本方程為微分形式：積分形式：

恒定電場的基本場矢量是電流密度和電場強度線性各向同性導電媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系

恒定電場的電位函數(shù)由若媒質(zhì)是均勻的，則均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中沒有體分布電荷2.恒定電場的邊界條件媒質(zhì)2媒質(zhì)1場矢量的邊界條件即即導電媒質(zhì)分界面上的電荷面密度場矢量的折射關(guān)系電位的邊界條件3.2.2恒定電場與靜電場的比擬

如果兩種場，在一定條件下，場方程有相同的形式，邊界形狀相同，邊界條件等效，則其解也必有相同的形式，求解這兩種場分布必然是同一個數(shù)學問題。只需求出一種場的解，就可以用對應的物理量作替換而得到另一種場的解。這種求解場的方法稱為比擬法。靜電場恒定電場恒定電場與靜電場的比擬基本方程靜電場（區(qū)域）本構(gòu)關(guān)系位函數(shù)邊界條件恒定電場（電源外）對應物理量靜電場恒定電場本節(jié)內(nèi)容

3.3.1恒定磁場的基本方程和邊界條件

3.3.2

恒定磁場的矢量磁位和標量磁位

3.3.4

恒定磁場的能量

3.3恒定磁場分析微分形式:1.基本方程2.邊界條件本構(gòu)關(guān)系：或若分界面上不存在面電流，即JS＝0，則積分形式:或3.3.1恒定磁場的基本方程和邊界條件

矢量磁位的定義

磁矢位的任意性與電位一樣，磁矢位也不是惟一確定的，它加上任意一個標量的梯度以后，仍然表示同一個磁場，即由即恒定磁場可以用一個矢量函數(shù)的旋度來表示。磁矢位的任意性是因為只規(guī)定了它的旋度，沒有規(guī)定其散度造成的。為了得到確定的A，可以對A的散度加以限制，在恒定磁場中通常規(guī)定，并稱為庫侖規(guī)范。1.恒定磁場的矢量磁位矢量磁位或稱磁矢位

3.3.2恒定磁場的矢量磁位和標量磁位

磁矢位的微分方程在無源區(qū)：矢量泊松方程矢量拉普拉斯方程

磁矢位的表達式直角坐標系下他們的表達式與電位泊松方程相同，解形式也相同

再合并成矢量形式：類似有：

因為與源方向相同，如取坐標系同源方向一致，則得一維標量，故可引入標量函數(shù)，將的方程轉(zhuǎn)化成標量方程。由求，求偏微分即可。

磁矢位的邊界條件

利用磁矢位計算磁通量：2.恒定磁場的標量磁位一般情況下，恒定磁場只能引入磁矢位來描述，但在無傳導電流（J＝0）的空間中，則有即在無傳導電流（J＝0）的空間中，可以引入一個標量位函數(shù)來描述磁場。

標量磁位的引入標量磁位或磁標位

磁標位的微分方程在線性、各向同性的均勻媒質(zhì)中

標量磁位的邊界條件和靜電位 磁標位

磁標位與靜電位的比較3.3.4恒定磁場的能量1.

磁場能量在恒定磁場建立過程中，電源克服感應電動勢做功所供給的能量，就全部轉(zhuǎn)化成磁場能量。電流回路在恒定磁場中受到磁場力的作用而運動，表明恒定磁場具有能量。磁場能量是在建立電流的過程中，由電源供給的。當電流從零開始增加時，回路中的感應電動勢要阻止電流的增加，因而必須有外加電壓克服回路中的感應電動勢。假定建立并維持恒定電流時，沒有熱損耗。假定在恒定電流建立過程中，電流的變化足夠緩慢，沒有輻射損耗。2.磁場能量密度

從場的觀點來看，磁場能量分布于磁場所在的整個空間。

磁場能量密度：

磁場的總能量：積分區(qū)域為電場所在的整個空間

對于線性、各向同性介質(zhì)，則有3.4靜態(tài)場的邊值問題及解的惟一性定理

本節(jié)內(nèi)容

3.4.1邊值問題的類型

3.4.2惟一性定理

邊值問題：在給定的邊界條件下，求解位函數(shù)的泊松方程或拉普拉斯方程3.4.1邊值問題的類型

已知場域邊界面S上的位函數(shù)值，即

第一類邊值問題（或狄里赫利問題）已知場域邊界面S上的位函數(shù)的法向?qū)?shù)值，即已知場域一部分邊界面S1上的位函數(shù)值，而另一部分邊界面S2上則已知位函數(shù)的法向?qū)?shù)值，即

第三類邊值問題（或混合邊值問題）

第二類邊值問題（或紐曼問題）

實際問題中除了給定的邊界條件外，有時還要引入某些補充的物理約束條件，稱為自然邊界條件。（自然邊界條件不是事先給定的，必須根據(jù)具體問題自行確定。）當電荷分布在有限區(qū)域，而場域擴展至無限遠處，在無限遠處電位應為零。在圓柱坐標中的二維場，當ρ一定，而角度φ相差2π的整數(shù)倍的點實際上是同一點，所以場量應相等。銜接條件由于電位滿足的泊松方程和拉普拉斯方程都是在均勻介質(zhì)條件下導出的，當場域內(nèi)有分區(qū)均勻的多種介質(zhì)時，則要在各區(qū)域內(nèi)分別求解各自的電位微分方程。作為定解需要還要引入不同區(qū)域分界面上的邊界條件，如下。這兩個方程表示的邊界條件也稱為分界面上的銜接條件。例：（第一類邊值問題）（第三類邊值問題）例：在場域V的邊界面S上給定或的值，則泊松方程或拉普拉斯方程在場域V具有惟一解。（即滿足泊松方程和拉普拉斯方程及其邊界條件的解是唯一的。）3.4.2惟一性定理

惟一性定理的重要意義給出了靜態(tài)場邊值問題具有惟一解的條件為靜態(tài)場邊值問題的各種求解方法提供了理論依據(jù)為求解結(jié)果的正確性提供了判據(jù)

惟一性定理的表述邊值問題的解法可分為解析法和數(shù)值法兩大類。解析法得到的解是一種數(shù)學表示式，包括分離變量法、鏡像法等。數(shù)值法則是直接計算離散點上的場量數(shù)值包括有限差分法等。解析法得到的場量表達式是準確解，但它只能解決規(guī)則邊界場問題。數(shù)值法屬于近似計算法，但對于不規(guī)則邊界的復雜場問題是很有用的方法。

本節(jié)內(nèi)容

3.5.1鏡像法的基本原理

3.5.2接地導體平面的鏡像3.5.5點電荷與無限大電介質(zhì)平面的鏡像

3.5鏡像法當有電荷存在于導體或介質(zhì)表面附近時，導體和介質(zhì)表面會出現(xiàn)感應電荷或極化電荷，而感應電荷或極化電荷將影響場的分布。

非均勻感應電荷產(chǎn)生的電位很難求解，可以用等效電荷的電位替代1.

問題的提出幾個實例q3.5.1鏡像法的基本原理接地導體板附近有一個點電荷，如圖所示。q′非均勻感應電荷等效電荷接地導體球附近有一個點電荷，如圖。非均勻感應電荷產(chǎn)生的電位很難求解，可以用等效電荷的電位替代接地導體柱附近有一個線電荷。情況與上例類似，但等效電荷為線電荷。q非均勻感應電荷q′等效電荷

結(jié)論：所謂鏡像法是將不均勻電荷分布的作用等效為點電荷或線電荷的作用。2.鏡像法的原理用位于場域邊界外虛設(shè)的較簡單的鏡像電荷分布來等效替代該邊界上未知的較為復雜的電荷分布，從而將原含該邊界的非均勻媒質(zhì)空間變換成無限大單一均勻媒質(zhì)的空間，使分析計算過程得以明顯簡化的一種間接求解法。

在導體形狀、幾何尺寸、帶電狀況和媒質(zhì)幾何結(jié)構(gòu)、特性不變的前提條件下，根據(jù)惟一性定理，只要找出的解答滿足在同一方程下問題所給定的邊界條件，那就是該問題的解答，并且是惟一的解答。鏡像法正是巧妙地應用了這一基本原理、面向多種典型結(jié)構(gòu)的工程電磁場問題所構(gòu)成的一種有效的解析求解法。3.

鏡像法的理論基礎(chǔ)——解的惟一性定理像電荷的個數(shù)、位置及其電量大小——“三要素”

。4.鏡像法應用的關(guān)鍵點5.

確定鏡像電荷的兩條原則

等效求解的“有效場域”。

鏡像電荷的確定

像電荷必須位于所求解的場區(qū)域以外的空間中。

像電荷的個數(shù)、位置及電荷量的大小以滿足所求解的場區(qū)域的邊界條件來確定。1.點電荷對無限大接地導體平面的鏡像滿足原問題的邊界條件，所得的結(jié)果是正確的。3.5.2接地導體平面的鏡像鏡像電荷電位函數(shù)因z=0時，有效區(qū)域qq上半空間(z≥0）的電位函數(shù)q導體平面上的感應電荷密度為導體平面上的總感應電荷為3.點電荷對相交半無限大接地導體平面的鏡像如圖所示，兩個相互垂直相連的半無限大接地導體平板，點電荷q位于(d1,d2)處。顯然，q1對平面2以及q2對平面1均不能滿足邊界條件。對于平面1，有鏡像電荷q1=－q，位于(－d1,d2)對于平面2，有鏡像電荷q2=－q，位于(d1,－d2)只有在(－d1,－d2)處再設(shè)置一鏡像電荷q3=q，所有邊界條件才能得到滿足。電位函數(shù)d11qd22RR1R2R3q1d1d2d2q2d1q3d2d1

例3.5.1

一個點電荷q與無限大導體平面距離為d，如果把它移至無窮遠處，需要做多少功？

解：移動電荷q時，外力需要克服電場力做功，而電荷q受的電場力來源于導體板上的感應電荷?？梢韵惹箅姾蓂移至無窮遠時電場力所做的功。q'qx=∞0d-d由鏡像法，感應電荷可以用像電荷

替代。當電荷q移至x時，像電荷

應位于－x，則像電荷產(chǎn)生的電場強度3.5.5點電荷與無限大電介質(zhì)平面的鏡像

圖1點電荷與電介質(zhì)分界平面特點：在點電荷的電場作用下，電介質(zhì)產(chǎn)生極化，在介質(zhì)分界面上形成極化電荷分布。此時，空間中任一點的電場由點電荷與極化電荷共同產(chǎn)生。圖2介質(zhì)1的鏡像電荷問題：如圖1所示，介電常數(shù)分別為和的兩種不同電介質(zhì)的分界面是無限大平面，在電介質(zhì)1中有一個點電荷q，距分界平面為h。分析方法：計算電介質(zhì)1中的電位時，用位于介質(zhì)2中的鏡像電荷來代替分界面上的極化電荷，并把整個空間看作充滿介電常數(shù)為的均勻介質(zhì)，如圖2所示。介質(zhì)1中的電位為計算電介質(zhì)2中的電位時，用位于介質(zhì)1中的鏡像電荷來代替分界面上的極化電荷，并把整個空間看作充滿介電常數(shù)為的均勻介質(zhì)，如圖3所示。介質(zhì)2中的電位為圖3介質(zhì)2的鏡像電荷可得到說明：對位于無限大平表面介質(zhì)分界面附近、且平行于分界面的無限長線電荷（單位長度帶），其鏡像電荷為利用電位滿足的邊界條件3.6分離變量法

本節(jié)內(nèi)容3.6.1直角坐標系中的分離變量法

將偏微分方程中含有n個自變量的待求函數(shù)表示成n個各自只含一個變量的函數(shù)的乘積，把偏微分方程分解成n個常微分方程，求出各常微分方程的通解后，把它們線性疊加起來，得到級數(shù)形式解，并利用給定的邊界條件確定待定常數(shù)。

分離變量法是求解邊值問題的一種經(jīng)典方法

分離變量法的理論依據(jù)是惟一性定理

分離變量法解題的基本思路：分離變量法解題的基本原理在直角坐標系中，若位函數(shù)與z無關(guān)，則拉普拉斯方程為3.6.1直角坐標系中的分離變量法將

(x,y)表示為兩個一維函數(shù)X(x)和Y(y)的乘積，即將其代入拉普拉斯方程，得再除以X(x)Y(y)，有分離常數(shù)若取λ＝－k2，則有當當將所有可能的

(x,y)線性疊加起來，則得到位函數(shù)的通解，即通解中的分離常數(shù)和待定系數(shù)由給定的邊界條件確定。2.邊界條件微分形式：本構(gòu)關(guān)系：1.基本方程積分形式：或或一、靜電場的基本方程和邊界條件若分界面上不存在面電荷，即，則第三章小結(jié)由1.電位函數(shù)的定義二、電位函數(shù)面電荷的電位：點電荷的電位：線電荷的電位：3、電位積分表達式：體電荷的電位：2、P、Q兩點間的電位差4、電位方程在均勻介質(zhì)中，有標量泊松方程在無源區(qū)域，有拉普拉斯方程5.靜電位的邊界條件若介質(zhì)分界面上無自由電荷，即導體表面上電位的邊界條件：常數(shù)，媒質(zhì)2媒質(zhì)1

(1)假定兩導體上分別帶電荷+q和－q；

計算電容的方法一：

(4)求比值