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文檔簡介
1.2連續(xù)時間隨機過程的微分和積分實際中,經常涉及到隨機過程的微分和積分問題。對于通常函數(shù)而言:這些運算即是極限運算。對于隨機過程而言:這涉及到隨機變量序列的極限和收斂問題,這些極限都是在均方意義下定義的。為了討論隨機過程的微分和積分,首先討論隨機過程的連續(xù)性。12一隨機過程的連續(xù)性
1
確定函數(shù)連續(xù)性定義:對于確定性函數(shù),若則在處連續(xù)。32隨機過程連續(xù)性定義
如果隨機過程
滿足
則稱
在均方收斂意義下在t點連續(xù)。簡稱隨機過程
在t點均方連續(xù)。43
隨機過程的相關函數(shù)連續(xù),則連續(xù)。
因此,如果對
時刻,函數(shù)
在點上連續(xù),則隨機過程
必在
t點上連續(xù)。如果沿著處處連續(xù),則隨機過程對于每個t都是連續(xù)。
54隨機過程均方連續(xù),則其數(shù)學期望連續(xù)。
證由均方連續(xù)的定義可知,當,則不等式左端趨于0,那么不等式的右端也必趨于0。(均值的平方不可能小于0)
設6即:
注意為確定性函數(shù),由前面知識可知連續(xù)。
可將此結果寫成表明:求極限和數(shù)學期望的次序可以交換。7二隨機過程的導數(shù)
預備知識:對于一般確定性函數(shù),高等數(shù)學給出的可導定義如下:
一階可導:
如果存在,則在t處可導,記為。
8二階可導:
存在,則二階可導,記為。
如果91隨機過程可導的定義
隨機過程的導數(shù)定義為一個極限:
如果這個極限對于過程的所有樣本函數(shù)都存在,那么具有導數(shù)通常的意義。如果這個極限在均方意義下存在,稱具有均方意義下的導數(shù)。10如果隨機過程
滿足
則稱
在t時刻具有均方倒數(shù)。112判別方法
判斷一個隨機過程是否均方可微的方法是采用柯西準則,即
而12若時,存在二階混合偏導則隨機過程在均方意義下可微(可導)的充分條件:相關函數(shù)在它的自變量相等時,存在二階混合偏導數(shù)且連續(xù),即存在
隨機過程存在導數(shù),首先該過程必須是連續(xù)的,但隨機過程的連續(xù)性不能保證過程有導數(shù)。133數(shù)字特征
(數(shù)學期望和相關函數(shù))
隨機過程導數(shù)的數(shù)學期望等于其數(shù)學期望的導數(shù),即
證明:
隨機過程連續(xù)性隨機過程的導數(shù)運算與數(shù)學期望的運算次序可以交換。14
隨機過程導數(shù)的相關函數(shù),等于可微(可導)隨機過程的相關函數(shù)的混合偏導數(shù)
證明:
15例數(shù)學期望、相關函數(shù)隨機信號。求隨機信號的均值和相關函數(shù)。解16三隨機過程的積分
1預備知識
對于確定性函數(shù),其中17
給定實隨機過程,若在確定區(qū)間上每個樣本函數(shù)下列積分存在則稱Y為隨機過程的積分。由于對每個試驗結果,積分都可以得到一個數(shù);但對不同的,積分值是不同的,于是對于所有的實驗結果,Y是一個隨機變量。而對于每個樣本函數(shù),此積分是通常意義下的積分。在更一般的情況下,的積分并不對每一個都存在,此時需要換一種方式來定義。182隨機過程積分的定義
隨機過程在確定區(qū)間上的積分Y是一個隨機變量,即
若有則稱為隨機過程在上的均方積分。193數(shù)字特征(數(shù)學期望、均方值、方差、相關函數(shù))
隨機過程積分的數(shù)學期望等于隨機過程數(shù)學期望的積分。
證明:20
隨機過程積分的均方值等于隨機過程自相關函數(shù)的二重積分。證明:21
隨機過程積分的方差等于隨機過程協(xié)方差的二重積分。
證明:22
給定實隨機過程為隨機過程在區(qū)間的變上限積分。23
隨機過程積分的相關函數(shù)等于對隨機過程的相關函數(shù)作兩次變上限積分(先對t1,后對t2積分)
24例隨機信號
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