第一講插值法

航海數(shù)學(xué)NauticalMathematicsSeptember7,2015武漢理工大學(xué)航運(yùn)學(xué)院劉文第一章航海數(shù)值內(nèi)插法

插值法是一種古老的數(shù)學(xué)方法，早在一千多年前的隋唐時(shí)期定制歷法時(shí)就廣泛應(yīng)用了二次插值。劉焯將等距節(jié)點(diǎn)的二次插值應(yīng)用于天文計(jì)算。插值理論卻是在17世紀(jì)微積分產(chǎn)生后才逐步發(fā)展起來(lái)的，Newton插值公式理論是當(dāng)時(shí)的重要成果。由于計(jì)算機(jī)的使用以及航空、造船、精密儀器的加工，插值法在理論和實(shí)踐上都得到進(jìn)一步發(fā)展，獲得了廣泛的應(yīng)用。在航海數(shù)值計(jì)算中，經(jīng)常要用到一些專(zhuān)用表冊(cè)，如：航海表、吃水差表等等，這些表冊(cè)都是按一定的函數(shù)關(guān)系編排的，如：

數(shù)值內(nèi)插在航海工程中的意義根據(jù)已知的x值，查表可求得y值，但是表內(nèi)不可能一一列出全部y值，當(dāng)所求的函數(shù)值y正好在兩表列數(shù)值之間，利用表列數(shù)據(jù)間的引數(shù)求y值的方法稱(chēng)為內(nèi)插法。內(nèi)插法：利用函數(shù)表冊(cè)，根據(jù)任意居間引數(shù)查取相應(yīng)函數(shù)的方法。內(nèi)插分類(lèi)：a：按使用目的：正內(nèi)插－已知引數(shù)求函數(shù)；反內(nèi)插－已知函數(shù)求引數(shù)。b：按引數(shù)的個(gè)數(shù)：?jiǎn)蝺?nèi)插、雙內(nèi)插、三內(nèi)插c：按函數(shù)的性質(zhì)：線(xiàn)性?xún)?nèi)插、變率內(nèi)插、高次內(nèi)插第一節(jié)比例內(nèi)插(ProportionalInterpolation)一．比例單內(nèi)插(proportionalsingleinterpolation)1．比例正內(nèi)插已知

求。

比例內(nèi)插公式：Ox0y0x1y1xyf(x)xyabced

比例內(nèi)插的幾何意義：用表列引數(shù)兩點(diǎn)的直線(xiàn)代替曲線(xiàn)進(jìn)行內(nèi)插，即以弦代替曲線(xiàn)進(jìn)行內(nèi)插。結(jié)論：1）f(x)為線(xiàn)性函數(shù)，求得的y值沒(méi)有誤差2)f(x)為非線(xiàn)性函數(shù)，求得的y值有df誤差Ox0y0x1y1xyf(x)xyabcedf②：對(duì)非線(xiàn)性函數(shù)，表間距越小，利用線(xiàn)性?xún)?nèi)插求得的函數(shù)值的誤差越小。但是表的篇幅會(huì)增大。Ox0y0x1y1xyf(x)xyabcedf①：只要在誤差允許的范圍內(nèi)，均可采用線(xiàn)性?xún)?nèi)插。例2－1－1：設(shè)物標(biāo)高h(yuǎn)，垂直角α，水平距離D＝hctgα，利用該式編表如下：

（1）求α＝4′，h＝13.4m時(shí)的D*？

（2）求α＝5′，h＝13.4m時(shí)的D**？

2.比例反內(nèi)插(inverseproportionalinterpolation)內(nèi)插的逆運(yùn)算，，已知求？?jī)?nèi)插的逆運(yùn)算，，已知求？比例內(nèi)插公式

比例反內(nèi)插公式

二.比例雙內(nèi)插(proportionaldoubleinterpolation)當(dāng)函數(shù)有兩個(gè)自變量時(shí)，用比例雙內(nèi)插求近似解。比例雙內(nèi)插是比例單內(nèi)插的自然推廣。比例單內(nèi)插是比例雙內(nèi)插的特殊情形。比例雙內(nèi)插可按照比例單內(nèi)插的計(jì)算方式進(jìn)行計(jì)算。例2－1－2：由例2－1－1的計(jì)算結(jié)果，求h＝13.4m，α＝4.4時(shí)的D？

例2－1－2：由例2－1－1的計(jì)算結(jié)果，求h＝13.4m，α＝4.4時(shí)的D？

例2－1－2：由例2－1－1的計(jì)算結(jié)果，求h＝13.4m，α＝4.4時(shí)的D？

例2－1－3：由例2－1－1的計(jì)算結(jié)果，求h＝13.5m，α＝3.5時(shí)的D？

第二節(jié)變率內(nèi)插(InterpolationbyRateofChange)當(dāng)函數(shù)是非線(xiàn)性函數(shù)時(shí)，如果用比例內(nèi)插計(jì)算將會(huì)導(dǎo)致一定的計(jì)算誤差為了盡量減小該誤差，則引進(jìn)了變率內(nèi)插。當(dāng)函數(shù)是非線(xiàn)性函數(shù)時(shí)，如果用比例內(nèi)插計(jì)算將會(huì)導(dǎo)致一定的計(jì)算誤差為了盡量減小該誤差，則引進(jìn)了變率內(nèi)插。一.變率單內(nèi)插(singleinterpolationbyrateofchange)利用表中給出的函數(shù)變化率進(jìn)行內(nèi)插。

變率比例區(qū)別：比例內(nèi)插只依賴(lài)于兩點(diǎn)間連線(xiàn)的斜率；變率內(nèi)插依兩點(diǎn)間局部斜率的變化而變化。（1）

用比例內(nèi)插y＝5.5（2）

用x＝2變率內(nèi)插y＝4＋4（2.3－2）＝5.2（3）

用x＝3變率內(nèi)插y＝9＋6（2.3－3）＝4.8（4）

用y＝x2直接計(jì)算y＝5.294684916234yxdydx例2－2－1：用y＝x2造表，求x＝2.3時(shí)的y？分析：

①比例內(nèi)插誤差大；

②x＝2的變率內(nèi)插較準(zhǔn)。結(jié)論：使用變率內(nèi)插時(shí)，為減小誤差，應(yīng)使用最接近實(shí)際引數(shù)的表列引數(shù)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)為基準(zhǔn)。yxof(x)x0y0x1y1xyypyx0yx1變率內(nèi)插的幾何意義：準(zhǔn)確值y按x0變率內(nèi)插，為yx0按x1變率內(nèi)插，為yx1yx0

最接近準(zhǔn)確值y。按比例內(nèi)插，為yp二.變率雙內(nèi)插(doubleinterpolationbyrateofchange)

令函數(shù)的表達(dá)形式為在點(diǎn)處的泰勒展開(kāi)為

即

例2－2－2：求h＝13.4m，α＝4.4時(shí)的D？

總結(jié)查算由非線(xiàn)性函數(shù)造的函數(shù)表，不論用比例內(nèi)插還是變率內(nèi)插都會(huì)導(dǎo)致一定的誤差。在精度允許的情況下可采