學(xué)案直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

學(xué)案直線與圓錐曲線的位置關(guān)系第一頁，共三十頁，2022年，8月28日考點一考點二考點三名師伴你行SANPINBOOK第二頁，共三十頁，2022年，8月28日返回目錄

1.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系主要是指直線和圓錐曲線

，解決的方法是轉(zhuǎn)化為直線方程與圓錐曲線方程組成的方程組

，進而轉(zhuǎn)化為一元（一次或二次）方程解的情況去研究.設(shè)直線l的方程為Ax+By+C=0,圓錐曲線方程為f(x,y)=0..相交、相切、相離解的個數(shù)名師伴你行SANPINBOOK第三頁，共三十頁，2022年，8月28日Ax+By+C=0f(x,y)=0若消去y后得ax2+bx+c=0.（1）若a=0，此時圓錐曲線不會是

.當(dāng)圓錐曲線為雙曲線時，直線l與雙曲線的漸近線

.當(dāng)圓錐曲線是拋物線時，直線l與拋物線的對稱軸

.（2）若a≠0，設(shè)Δ=b2-4ac.①Δ>0時，直線與圓錐曲線相交于

；②Δ=0時，直線與圓錐曲線

；③Δ<0時，直線與圓錐曲線

.另外，還能利用數(shù)形結(jié)合的方法，迅速判斷某些直線和圓錐曲線的位置關(guān)系由消元（x或y）橢圓平行或重合平行或重合兩個點相切相離名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

第四頁，共三十頁，2022年，8月28日2.直線與圓錐曲線相交的弦長計算（1）當(dāng)弦的兩端點的坐標易求時，可直接求出交點坐標，再用

求弦長.（2）解由直線方程與圓錐曲線方程組成的方程組，得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，設(shè)直線與圓錐曲線交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點，直線斜率為k，則弦長公式為|AB|=或|AB|=

.兩點間的距離公式名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

第五頁，共三十頁，2022年，8月28日考點一直線與曲線的交點個數(shù)問題【例1】已知雙曲線x2-y2=4，直線l:y=k(x-1)，討論直線l與雙曲線公共點個數(shù).【分析】將直線l的方程與雙曲線方程聯(lián)立消元后轉(zhuǎn)化為關(guān)于x（或y）的一元二次方程，利用“Δ”求解.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

第六頁，共三十頁，2022年，8月28日y=k(x-1)x2-y2=4(1-k2)x2+2k2x-k2-4=0(*)（1）當(dāng)1-k2=0，即k=±1時,方程（*）化為2x=5,方程組有一解.故直線與雙曲線有一個公共點，此時直線與漸近線平行.（2）當(dāng)1-k2≠0，即k≠±1時,由Δ=4(4-3k2)>0得-<k<，且k≠±1時，方程（*）有兩解，方程組有兩解.故直線與雙曲線有兩個交點.【解析】聯(lián)立方程組消去y，得名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

第七頁，共三十頁，2022年，8月28日（3）當(dāng)1-k2≠0，由Δ=4(4-3k2)=0得k=±時，方程組有一解，故直線與雙曲線只有一個公共點，此時直線與雙曲線相切.（4）當(dāng)1-k2≠0，由Δ=4(4-3k2)<0得k<-或k>時，方程組無解，故直線與雙曲線無交點.綜上所述，當(dāng)k=±1或k=±時，直線與雙曲線有一個公共點；當(dāng)-<k<-1或-1<k<1或1<k<時，直線與雙曲線有兩個公共點；當(dāng)k<-或k>時，直線與雙曲線無公共點.【評析】研究直線與雙曲線位置關(guān)系時，應(yīng)注意討論二次項系數(shù)為0和不為0兩種情況.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

第八頁，共三十頁，2022年，8月28日＊對應(yīng)演練＊在平面直角坐標系xOy中，經(jīng)過點（0，）且斜率為k的直線l與橢圓+y2=1有兩個不同的交點P和Q.（1）求k的取值范圍；（2）設(shè)橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點分別為A，B，是否存在常數(shù)k，使得向量OP+OQ與AB共線？如果存在，求k的值；如果不存在，請說明理由.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

第九頁，共三十頁，2022年，8月28日(1)由已知，得直線l的方程為y=kx+,代入橢圓方程，得+(kx+)2=1,整理，得(+k2)x2+2kx+1=0.①直線l與橢圓有兩個不同的交點P和Q等價于Δ=8k2-4(+k2)=4k2-2>0,解得k<-或k>.即k的取值范圍為(-∞,-)∪(,+∞).名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

第十頁，共三十頁，2022年，8月28日（2）設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則OP+OQ=(x1+x2,y1+y2),由方程①，得x1+x2=.②又y1+y2=k(x1+x2)+2，③而A(2,0),B(0,1),AB=(-,1).所以O(shè)P+OQ與AB共線等價于x1+x2=-(y1+y2),將②③代入上式，解得k=.由（1）知k<-或k>.故沒有符合題意的常數(shù)k.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

第十一頁，共三十頁，2022年，8月28日考點二弦長問題【例2】已知雙曲線C1:=1,拋物線C2的頂點是坐標原點O，焦點是雙曲線C1的左焦點F.（1）求拋物線C2的方程；（2）過F作直線（不垂直x軸）交拋物線C2于P，Q兩點，使△POQ的面積為6（O為原點），這樣的直線是否存在？若存在，求出直線的傾斜角；若不存在，請說明理由.【分析】（1）求出點F從而確定P，求出C2的方程.（2）利用弦長公式求|PQ|的長度，從而計算S△POQ.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

第十二頁，共三十頁，2022年，8月28日【解析】（1）C1：=1,c2=a2+2a2=3a2,故c=|a|，依題意，拋物線C2的方程為y2=-4|a|·x.（2）設(shè)存在滿足題意的直線PQ，其方程為y=k(x+|a|)(k≠0),即x=-|a|(k≠0),又設(shè)點P，Q的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2),把x=-|a|代入拋物線C2的方程，化簡并整理得ky2+4|a|y-12ka2=0,于是y1+y2=,y1y2=-12a2,∵(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=+48a2=,名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

第十三頁，共三十頁，2022年，8月28日又原點O到直線PQ的距離為且S△POQ=6,故,化簡得，即k2(1-a4)=a4.①∵當(dāng)|a|≥1時，①不成立，∴|a|≥1時，直線PQ不存在；當(dāng)|a|<1時，由①得k=,此時直線PQ存在且傾斜角為arctan或π-arctan.∴|PQ|=名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

第十四頁，共三十頁，2022年，8月28日【評析】該題已知條件中沒有說明a的取值范圍，這一點正是我們?nèi)菀资韬龅模p曲線C1的半焦距c=|a|，在實半軸長、虛半軸長和離心率這些量中都要注意a的取值.在弦長公式中，要注意兩種形式的特點.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

第十五頁，共三十頁，2022年，8月28日＊對應(yīng)演練＊如圖所示,在平面直角坐標系xＯy中，過定點Ｃ（０，p）作直線與拋物線x２＝２py（p＞０）相交于Ａ，Ｂ兩點.（1）若點Ｎ是點Ｃ關(guān)于坐標原點Ｏ的對稱點，求△ＡＮＢ面積的最小值；（2）是否存在垂直于y軸的直線l，使得l被以ＡＣ為直徑的圓截得弦長恒為定值？若存在，求出l的方程；若不存在，請說明理由.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

第十六頁，共三十頁，2022年，8月28日消去y，得x２－２pkx－２p２＝０.解法一：（１）依題意，點Ｎ的坐標為Ｎ（０，－p），可設(shè)Ａ（x1，y１），Ｂ（x２，y２），直線ＡＢ的方程為y＝kx＋p，與x２＝２pyx２＝２pyy＝kx＋p.由韋達定理，得x１＋x２＝２pk，x１x２＝－２p２.于是Ｓ△ＡＢＮ＝Ｓ△ＢＣＮ＋Ｓ△ＡＣＮ＝·２p|x１－x２|＝p|x１－x２|＝＝p＝２p２，∴當(dāng)k＝０時，（Ｓ△ＡＢＮ）min＝２p２.聯(lián)立，得名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

第十七頁，共三十頁，2022年，8月28日（２）假設(shè)滿足條件的直線l存在，其方程為y＝a，ＡＣ的中點為Ｏ′，l與ＡＣ為直徑的圓相交于點Ｐ，Ｑ，ＰＱ的中點為Ｈ，則Ｏ′Ｈ⊥ＰＱ，Ｏ′點的坐標為.∵|O′Ｐ|＝|ＡＣ|＝|Ｏ′Ｈ|＝＝|2a－y1－p|，∴|PH|２＝|O′Ｐ|２－|Ｏ′Ｈ|２＝（2a－y1－p）２＝(a－)y１＋a（p－a），∴|ＰＱ|２＝（２|ＰＨ|）２令a－＝0，得a＝，此時|ＰＱ|＝p為定值，故滿足條件的直線l存在，其方程為y＝，即拋物線的通徑所在的直線.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

第十八頁，共三十頁，2022年，8月28日解法二：（１）前同解法一，再由弦長公式得|ＡＢ|＝|x1－x２|＝·＝·＝２p·.又由點到直線的距離公式，得點Ｎ到直線ＡＢ的距離為d＝，從而，Ｓ△ＡＢＮ＝·|ＡＢ|·d＝·２p··＝２p２，∴當(dāng)k＝０時，（Ｓ△ＡＢＮ）max＝２p２.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

第十九頁，共三十頁，2022年，8月28日（２）假設(shè)滿足條件的直線l存在，其方程為y＝a，則以ＡＣ為直徑的圓的方程為（x－０）（x－x１）＋（y－p）（y－y１）＝０，將直線方程y＝a代入，得x２－x１x＋（a－p）（a－y１）=０，則Δ＝－４（a－p）（a－y１）=４.設(shè)直線l與以ＡＣ為直徑的圓的交點為Ｐ（x３，y３），Ｑ（x４，y４），則有名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

第二十頁，共三十頁，2022年，8月28日|ＰＱ|＝|x３－x４|＝令a－＝０，得a＝，此時|ＰＱ|＝p為定值，故滿足條件的直線l存在，其方程為y＝.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

第二十一頁，共三十頁，2022年，8月28日考點三中點弦問題【例3】已知雙曲線方程2x2-y2=2.（1）求以A(2,1)為中點的雙曲線的弦所在的直線方程；（2）過點(1,1)能否作直線l，使l與雙曲線交于Q1，Q2兩點，且線段QNQ2的中點為(1,1)?如果存在，求出它的方程；如果不存在，說明理由.【分析】對于“弦中點”問題，往往用“點差法”來尋求斜率與中點坐標的關(guān)系.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

第二十二頁，共三十頁，2022年，8月28日【解析】（1）設(shè)A(2,1)是弦P1P2的中點，且P1（x1,y1）,P2(x2,y2)，則x1+x2=4,y1+y2=2,∵P1,P2在雙曲線上，∴∴2(x1+x2)(x1-x2)-(y1-y2)(y1+y2)=0,∴2×4(x1-x2)=2(y1-y2)，∴∴所求弦P1P2所在直線的方程為4x-y-7=0.將直線方程代入雙曲線方程，整理成以x為變量的方程，經(jīng)驗證Δ>0.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

第二十三頁，共三十頁，2022年，8月28日【評析】“點差法”使用的前提是以該點為中點的弦存在，因此利用此法求出的弦所在直線方程必須驗證是否與曲線相交，即要驗證Δ的符號.（2）假設(shè)直線l存在，由（1）中方法可求得直線方程為2x-y-1=0.2x2-y2=22x-y-1=0∵Δ=16-4×3×2=-8<0，因此直線與雙曲線無交點，∴直線l不存在.聯(lián)立方程得2x2-4x+3=0.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

第二十四頁，共三十頁，2022年，8月28日＊對應(yīng)演練＊如圖所示，若橢圓=1上存在兩點A，B，關(guān)于l:y=4x+m對稱，求m的取值范圍.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

第二十五頁，共三十頁，2022年，8月28日解法一：設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，AB中點M(x0,y0).∵kAB，∴.

，∴3(x1+x2)(x1-x2)+2(y1+y2)(y1-y2)=0,即3·2x0+2·2y0·=0,即3x0-y0=0.∴y0=6x0①∵A,B中點在l上,∴y0=4x0+m②由①②求得M(,3m),又M必在橢圓3x2+2y2=6內(nèi)部,∵A,B在橢圓上，∴∴即名師伴你行SANPINBOOK返回目錄

第二十六頁，共三十頁，2022年，8月28日解法二：設(shè)直線AB的方程為y=-x+n,y=-x+n=125x2-8nx+16n2-48=0,∵AB與橢圓有兩個公共點A，B,∴方程有兩實根，∴Δ>0，即n2<,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，則x1+x2=,