第一章(續(xù)) 計(jì)算機(jī)中的數(shù)據(jù)信息

第一章（續(xù)）計(jì)算機(jī)中的數(shù)據(jù)表示

1、數(shù)和數(shù)制3、二進(jìn)制數(shù)的小數(shù)表示-定點(diǎn)數(shù)和浮點(diǎn)數(shù)4、BCD碼及ASCⅡ碼2、帶符號數(shù)的機(jī)器表示法一﹑數(shù)的位置表示法及各種進(jìn)位制數(shù)設(shè)基數(shù)為X，則一個(gè)數(shù)N可展開為：

N=an-1Xn-1+an-2Xn-2+….+a0X0+a-1X-1+…+a-(m-1)X-(m-1)+a-mX-m

1、數(shù)和數(shù)制客觀事物存在著多少和大小的差別，數(shù)是客觀事物的量在人們頭腦中的反映。一個(gè)數(shù)可以用不同的計(jì)數(shù)制度來表示它的大小，雖然形式不同，但數(shù)的“量”則是相等的。用一組數(shù)字表示數(shù)時(shí)，如果每個(gè)數(shù)字表示的量不但取決于數(shù)字本身，而且取決于它所在的位置，就稱為位置表示法。

基數(shù)X的取值不同，便得到不同進(jìn)位制數(shù)的表達(dá)式。

當(dāng)X=10時(shí)，得十進(jìn)制數(shù)的表達(dá)式為：N10=∑ai10i

其特點(diǎn)是：系數(shù)ai只能在0─9這十個(gè)數(shù)字中取值；每個(gè)數(shù)位上的權(quán)是10的某次冪；在加減運(yùn)算中，采用“逢十進(jìn)一”和“借一當(dāng)十”的規(guī)則。

當(dāng)X=2時(shí)，得二進(jìn)制數(shù)，其表達(dá)式為：N2=∑ai2i

i=-mn-1其特點(diǎn)是：系數(shù)ai只能在0和1這兩個(gè)數(shù)字中取值；每個(gè)數(shù)位上的權(quán)是2的某次冪；在加減法運(yùn)算中，采用“逢二進(jìn)一”和“借一當(dāng)二”的規(guī)則。n-1i=-m同理，當(dāng)X=16時(shí)，得十六進(jìn)制數(shù)的表達(dá)式為：N16=∑ai16i其特點(diǎn)是:系數(shù)ai只能在0-15這16個(gè)數(shù)字中取值(其中0-9這10個(gè)數(shù)字借用十進(jìn)制總的數(shù)碼,10-15這6個(gè)數(shù)可用兩種方法表示,即0,1,2,3,4,5或A,B,C,D,E,F)；每個(gè)數(shù)位上的權(quán)是16的某個(gè)冪；在加減法運(yùn)算中，采用“逢十六進(jìn)一“和“借一當(dāng)十六”的規(guī)則。

表2-1列出了四種進(jìn)位制中數(shù)的表示法，用后綴表示采用的進(jìn)位制。B----二進(jìn)制Q-----八進(jìn)制H----十六進(jìn)制十進(jìn)制數(shù)可以用D后綴，也可以什么也不寫n-1i=-m表2-1十進(jìn)制、二進(jìn)制、八進(jìn)制、十六進(jìn)制數(shù)碼對照表二、各種進(jìn)位制數(shù)的換算方法1．

任意進(jìn)位制數(shù)與十進(jìn)制數(shù)之間的相互轉(zhuǎn)換（1）

任意進(jìn)位制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)最簡單的方法是根據(jù)任意進(jìn)位制數(shù)的表達(dá)式按權(quán)展開后相加即可。例如：（1011．110B）=1×23+0×22+1×21+1×20+1×2-1+1×2-2+0×2-3=11.75732.14Q=7×82+3×81+2×80+1×8-1+4×8-2=474.18753ABF.E6H=3×163+10×162+11×161+15×160

+14×16-1+6×16-2=15039.8984375（2）

十進(jìn)制整數(shù)轉(zhuǎn)換為任意進(jìn)位制整數(shù)常用的方法是除基取余法。設(shè)N是待轉(zhuǎn)換的十進(jìn)制整數(shù)，X是某一進(jìn)位制的基數(shù)，則將N轉(zhuǎn)換為X進(jìn)位制數(shù)的方法如下：XNX商1余1低位X商2余2┆X商m余m0高位

∴NX=

余m余m-1…余2余1（3）

十進(jìn)制小數(shù)轉(zhuǎn)換為任意進(jìn)制小數(shù)常用的方法為乘基取整法。設(shè)N是待轉(zhuǎn)換的十進(jìn)制小數(shù)，X是某一進(jìn)位制的基數(shù)，則將N轉(zhuǎn)換為X進(jìn)位制小數(shù)方法如下：

N×X

高位整1.小數(shù)1×X

整2.小數(shù)2×X┇

整m-1.小數(shù)m-1×X

低位整m.00┅0∴NX=0.整1整2…整

m例：0·125=0·001B0·625=0·101B0·1=0·0001100110011…B有時(shí)不能用有限位數(shù)的二進(jìn)制小數(shù)表示十進(jìn)制小數(shù)2.十六進(jìn)制數(shù)與二進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換由于16=24，所以一位十六進(jìn)制數(shù)對應(yīng)于四位二進(jìn)制數(shù)，二進(jìn)制與十六進(jìn)制間的轉(zhuǎn)換十分簡便。①

將十六進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)只要把每一位十六進(jìn)制數(shù)用相應(yīng)的四位二進(jìn)制數(shù)替換即可。例如：FA8.5CH=111110101000.010111B11111010100001011100例：1D·67H=11101·01100111B0001110101100111

②將二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十六進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換方法也與八進(jìn)制相似，即以小數(shù)點(diǎn)為界，向左（整數(shù)部分）、右（小數(shù)部分）每四位一組，不足四位者，在前面（整數(shù)部分）或后面（小數(shù)部分）補(bǔ)零，然后將每一組用對應(yīng)的十六進(jìn)制數(shù)替換即可。例如：100011101001.1100011B()H1000，1110，1001.1100，0110B=8E9.C6H

補(bǔ)零11011.1B()H0001，1011·1000B=1B·8H三、二進(jìn)制數(shù)的權(quán)值及運(yùn)算方法

1.

二進(jìn)制數(shù)的權(quán)值計(jì)算機(jī)內(nèi)部采用二進(jìn)制，但人們習(xí)慣于十進(jìn)制，因此在應(yīng)用計(jì)算機(jī)解決實(shí)際問題時(shí)，常常要進(jìn)行二進(jìn)制與十進(jìn)制的相互轉(zhuǎn)換。應(yīng)用本章前面介紹的方法進(jìn)行轉(zhuǎn)換時(shí)，有時(shí)顯得繁瑣。若能熟記二進(jìn)制數(shù)各位上用十進(jìn)制表示的位權(quán)，如表2-2所示，將能大為簡化轉(zhuǎn)換的步驟。例如，要將65轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)，若用連除法，需要很多步，但我們查看權(quán)值表可知26=64、25=32…..而65=64+1，這個(gè)等式說明，轉(zhuǎn)換后的二進(jìn)制數(shù)第0位與第6位為1，其余全為0，因而我們可很輕松地計(jì)算出65=1000001B。注意:從低位到高位二進(jìn)制數(shù)的權(quán)值為20、21、22┅

表2-2二進(jìn)制數(shù)的“權(quán)值”表

例如：115=64+32+16+2+1，則115=1110011B?！?625242120

反過來，計(jì)算二進(jìn)制數(shù)對應(yīng)的十進(jìn)制值，熟記權(quán)值就更加重要。2．二進(jìn)制數(shù)的運(yùn)算方法二進(jìn)制計(jì)數(shù)制除物理實(shí)現(xiàn)簡便外，運(yùn)算方法也比十進(jìn)制計(jì)數(shù)制簡單。例如：1011001B=26+24+23+20=64+16+8+1=89（1）二進(jìn)制加法一位二進(jìn)制數(shù)的加法規(guī)則為：0+0=00+1=1+0=11+1=0進(jìn)位11+1+1=1進(jìn)位1如1101B+0111B

被加數(shù)1101

加數(shù)0111

進(jìn)位+）111————10100（2）二進(jìn)制減法一位二進(jìn)制減法的規(guī)則為：0-0=01-1=01-0=00-1=1有借位0-1-1=0有借位故二個(gè)二進(jìn)制數(shù)相減，如1010B-0101B，過程如下：1010B-0101B

110101B（3）

二進(jìn)制乘法一位二進(jìn)制數(shù)的乘法規(guī)則為：

0×0=01×0=00×1=01×1=11110B×0110B可進(jìn)行如下：

被乘數(shù)1110

乘數(shù)×0110——————

中間結(jié)果0000

中間結(jié)果1110

中間結(jié)果1110

中間結(jié)果+）0000———————

積1010100

被乘數(shù)1110

乘數(shù)×0110

初始部分積0000

乘數(shù)最低位為0，加全0+0000———————————————

部分積0000

部分積右移一位00000乘數(shù)次低位為1，加被乘數(shù)+1110—————————————

部分積11100

部分積右移一位011100乘數(shù)第三低位為1，加被乘數(shù)+1110——————————————

部分積1010100

部分積右移一位1010100乘數(shù)最高位為0，加全0+0000

部分積1010100

部分積右移一位得到乘積01010100（3）

二進(jìn)制除法二進(jìn)制除法運(yùn)算與十進(jìn)制除法運(yùn)算類似，對整數(shù)除法可先從被除數(shù)的最高位開始，將被除數(shù)（或中間余數(shù)）與除數(shù)相比較，若被除數(shù)（或中間余數(shù)）大于除數(shù)，則被除數(shù)（或中間余數(shù)）減去除數(shù)，商1，并將相減之后得到的中間余數(shù)左移一位（中間余數(shù)的最低位用下一位被除數(shù)補(bǔ)充）作為下一次的中間余數(shù)。若被除數(shù)（或中間余數(shù)）小于除數(shù)，則不作減法，商0，并將本次的中間余數(shù)左移一位（中間余數(shù)的最低位用下一位被除數(shù)補(bǔ)充）得下一位的中間余數(shù)。如此逐次地進(jìn)行比較、相減和移位，就可得到所要求的各位商數(shù)和最終的余數(shù)。

例：1101.001÷101=?10.1011011101.0011010110001101010100001011010除法可歸結(jié)為相減和移位四.二進(jìn)制數(shù)的特點(diǎn)1.優(yōu)點(diǎn):2.缺點(diǎn):書寫式長、易錯(cuò)3.二進(jìn)制數(shù)的特性①移位特性：小數(shù)點(diǎn)右移一位，數(shù)值×2

小數(shù)點(diǎn)左移一位，數(shù)值÷2例：0101.005010.1002.5小數(shù)點(diǎn)左移一位01010.010小數(shù)點(diǎn)右移一位①易實(shí)現(xiàn)、易區(qū)別②運(yùn)算簡單③節(jié)約設(shè)備：④有良好的羅輯性：0，1真假R=2.71828，設(shè)備最省3.二進(jìn)制數(shù)的特性②奇偶特性:最低位為0偶數(shù)

最低位為1奇數(shù)例:01001100B10000001B偶數(shù)奇數(shù)③等位特性:1位十進(jìn)制數(shù)≈3.32位二進(jìn)制數(shù)

若精度10-5n=5×3.32≈16.6,16位機(jī)

精度10-10n=10×3.32≈33,32位機(jī)2、

帶符號數(shù)的機(jī)器表示法

一、機(jī)器數(shù)與真值二、機(jī)器數(shù)的原碼表示法

三、補(bǔ)碼和反碼

四．求補(bǔ)碼的方法五．補(bǔ)碼的運(yùn)算六．溢出判別七．算術(shù)移位八．各種碼制的比較和小結(jié)一、機(jī)器數(shù)與真值

真值：帶“+”或“-”符號的數(shù)，+100111B，-0110011B機(jī)器數(shù)：符號已經(jīng)數(shù)碼化了的數(shù)如果用“0”表示正號，用“1”表示負(fù)號，上述各數(shù)則可表示為：0100111B，10110011B,統(tǒng)稱為機(jī)器數(shù)符號位和數(shù)值位都成了數(shù)碼后，計(jì)算機(jī)可以識別了，但在數(shù)的運(yùn)算過程中符號位能否與數(shù)值位一起參加運(yùn)算呢？這是一個(gè)十分重要的問題。為了妥善地解決這個(gè)問題，產(chǎn)生了把符號位與數(shù)值位一起編碼的各種方法。二、機(jī)器數(shù)的原碼表示法原碼是最簡單的機(jī)器數(shù)。1、原碼的定義：用“0”表示正號，“1“表示負(fù)號，數(shù)值部分就是原來的數(shù)值，故稱為原碼。例如：設(shè)計(jì)算機(jī)的字長為8，已知X=+1011101B，Y=-111101B，則：[X]原=01011101B，[Y]原=10111101B原碼和真值的關(guān)系可歸納為右式：[X]原=X當(dāng)X≥+02n-1-X當(dāng)X≤-0上面的式子說明了兩個(gè)問題：①正數(shù)的原碼與真值相同[+0]原=0000┄00[-0]原=1000┄00

（n個(gè)二進(jìn)制位）（n個(gè)二進(jìn)制位）2、原碼表示法整數(shù)的數(shù)值范圍設(shè)計(jì)算機(jī)字長n=8，x為用原碼表示的整數(shù)，則當(dāng)x為正整數(shù)時(shí)：00000000B≤X≤01111111B+0≤X≤127即：+0≤x≤28-1-1推廣至n位字長：+0≤x≤2n-1-1…①②在原碼表示法中零有正零和負(fù)零之分。若設(shè)計(jì)算機(jī)的字長為8，則當(dāng)x為負(fù)整數(shù)時(shí)：11111111B≤x≤10000000B-127≤x≤-0即：-(28-1-1)≤x≤-0推廣至n位字長：-（2n-1）≤x≤-0……………②將①②兩式合并得：-（2n-1-1）≤x≤2n-1-1當(dāng)n=8時(shí)：-127≤x≤+127當(dāng)n=16時(shí)：-32767≤x≤+32767當(dāng)n=32時(shí)：-2147483647≤x≤+2147483647

3、

原碼表示法的優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：直觀，與真值轉(zhuǎn)換容易缺點(diǎn)：符號位并不能直接參與運(yùn)算1:00000001B-1:10000001B問題:設(shè)計(jì)算機(jī)字長n=8,十進(jìn)制數(shù)1和-1的二進(jìn)制原碼數(shù)為?三、補(bǔ)碼和反碼1．

補(bǔ)碼1）補(bǔ)碼的概念

為了說明補(bǔ)碼的概念，先從時(shí)鐘撥準(zhǔn)談起。假若現(xiàn)在是北京時(shí)間3點(diǎn)整，而時(shí)鐘卻指著5點(diǎn)整，快2小時(shí)。123691245

對時(shí)鐘而言,-2與+10等效同理,-5與+7等效時(shí)鐘撥準(zhǔn)有兩種方法：1)倒撥2小時(shí)(減法），則相當(dāng)于5-2=3；2)順時(shí)針撥10個(gè)小時(shí)(加法）5+10=3（在鐘面上12丟失）

無疑，對于十二進(jìn)制（以12為模），如下等式總是成立的：

X+12=X（mod12）當(dāng)X為負(fù)數(shù)時(shí)，如X=-5，在模12的意義下有-5+12=-5（mod12）7=-5(mod12)

這樣，在模12的意義下，負(fù)數(shù)就可以轉(zhuǎn)化為正數(shù)，而正負(fù)數(shù)相加也就可以轉(zhuǎn)化為正數(shù)間的相加，如：4+（-5）=4+7（mod12）設(shè)K≥Y≥0，X≤0|X|<K,則

Y+X=Y+[K+X]=Y+[X]補(bǔ)（modK）即：[X]補(bǔ)=K+X這就是說，加上某負(fù)數(shù)X，可以用加上該負(fù)數(shù)對模K的補(bǔ)碼[X]補(bǔ)來代替。一般可以把某X加上模數(shù)K定義為該數(shù)X對模K的補(bǔ)碼[X]補(bǔ)，即2）計(jì)算機(jī)中補(bǔ)碼的定義(設(shè)計(jì)算機(jī)的字長為n）計(jì)算機(jī)中數(shù)的補(bǔ)碼是以2n為模，即：[x]補(bǔ)=2n+x。

下面討論補(bǔ)碼與真值的關(guān)系。

(1)當(dāng)x為正數(shù)時(shí)：

設(shè)x=+xn-2xn-3…x1x0

則[x]補(bǔ)=2n+x=2n+xn-2xn-3…..x1x0=0xn-2xn-3…x1x0=[x]原=x∴正數(shù)的補(bǔ)碼與原碼相同，都等于真值。（2）當(dāng)x為負(fù)數(shù)時(shí)：

設(shè)x=-xn-2xn-3…x1x0,則[x]補(bǔ)=2n+x=2n-1+(2n-1+x)∴負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼仍是一個(gè)負(fù)數(shù)，它是將其原碼的符號位保持不變，而將其數(shù)值部分求補(bǔ)得到的。（3）當(dāng)x為零時(shí)：x為正零時(shí)，[+0]補(bǔ)=2n+00…00=00…00x為負(fù)零時(shí)，[-0]補(bǔ)=2n-00…00=00…00∴補(bǔ)碼中零只有一種表示法，無正負(fù)零之分

總結(jié):當(dāng)計(jì)算機(jī)字長為n時(shí)，二進(jìn)制整數(shù)x的補(bǔ)碼定義如下：

[X]補(bǔ)=2n+X-2n-1≤X<0

X0≤X<2n-1例如：若x1=+1010011B,x2=-1010011B,計(jì)算機(jī)字長n=8,則[x1]補(bǔ)=01010011B[x2]補(bǔ)=28+（-1010011B）=27+（27-1010011B）=10101101B3）補(bǔ)碼表示法整數(shù)的數(shù)值范圍

①

補(bǔ)碼定義域的擴(kuò)充原碼：[+0]原=00000000B，[-0]原=10000000B

而補(bǔ)碼中，零是唯一的，即00000000B，那么10000000B表示什么數(shù)值呢？在補(bǔ)碼中，規(guī)定1000000B=[-128]補(bǔ)。例：（-128）+1=-12710000000B[-128]補(bǔ)

+00000001B[1]補(bǔ)

10000001B因此，用補(bǔ)碼表示的整數(shù)，負(fù)數(shù)的定義域擴(kuò)大了一個(gè)數(shù)碼：n=8時(shí)，負(fù)數(shù)最小值為-128n=16時(shí)負(fù)數(shù)最小值為-32768n=32時(shí)負(fù)數(shù)最小值為-2147483648②

補(bǔ)碼表示法整數(shù)的數(shù)值范圍：設(shè)計(jì)算機(jī)字長n=8，x為用補(bǔ)碼表示的整數(shù)，則x為正整數(shù)及零時(shí)：

00000000B≤x≤01111111B0≤x≤+1270≤x≤28-1-1擴(kuò)展到n位字長：0≤x≤2n-1-1………………①x為負(fù)整數(shù)及零時(shí)：100000000B≤x≤00000000B-128≤x≤0-28-1≤x≤0擴(kuò)展到n位字長：-2n-1≤x≤0………………②合并①②兩式得：-2n-1≤x≤2n-1-1n=8時(shí)：-128≤x≤

+127n=16時(shí):-32768≤x≤

+32767n=32時(shí)：-2147483648≤x≤+21474836474)補(bǔ)碼的優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn):其符號位可直接參與加減法運(yùn)算，零唯一缺點(diǎn):不如原碼直觀，與真值間的轉(zhuǎn)換也不如原碼簡便上面我們討論的補(bǔ)碼，是以2n為模，又稱為2補(bǔ)碼。在二進(jìn)制中，常把2補(bǔ)碼簡稱為補(bǔ)碼。

2.反碼反碼是以2n-1為模的一種補(bǔ)碼，稱為1補(bǔ)碼1）

反碼的定義設(shè)計(jì)算機(jī)字長為n，一個(gè)二進(jìn)制整數(shù)的反碼定義為

[X]反=X+0≤X<2n-1

2n-1+X-2n-1<X≤-0

因?yàn)?n-1=11…1,所以反碼又稱為1補(bǔ)碼例：x1=+1100101B,[X]反=01100101Bx2=-1100101B,則[x]反=10011010B在反碼中，有正、負(fù)零之分。X=+00000000B時(shí)，[x]反=[+0]反=00000000BX=-00000000B時(shí)，[x]反=[-0]反=11111111B2）反碼的計(jì)算1補(bǔ)碼之所以又稱為反碼，是由于它與原碼的關(guān)系①

正數(shù)的反碼與原碼相同，都等于真值。②

負(fù)數(shù)的反碼與原碼關(guān)系為：原碼的符號位不變，數(shù)值位按位取反后的值例：設(shè)x=+0011101B,y=-0011101B，n=8,則[[x]反=[x]原=00011101B[y]原=10011101B[y]反=11100010B

3）反碼表示法整數(shù)的數(shù)值范圍

設(shè)計(jì)算機(jī)字長n=8,x為用反碼表示的整數(shù)，則當(dāng)x為正整數(shù)時(shí)：

取反00000000≤x≤01111111B+0≤x≤127+0≤x≤28-1-1擴(kuò)展到n位字長：+0≤x≤2n-1-1…………①當(dāng)x為負(fù)整數(shù)時(shí)：10000000B≤x≤11111111B-127≤x≤-0-(28-1-1)≤x≤-0擴(kuò)展到n位字長：-(2n-1-1)≤x≤-0…………②合并①②式可得：-(2n-1-1)≤x≤2n-1-1n=8時(shí)-127≤x≤127n=16時(shí)-32767≤x≤32767反碼中，零有2種表示：[+0]反=00000000B[-0]反=11111111B4）

反碼的優(yōu)缺點(diǎn)反碼的優(yōu)點(diǎn)是符號位可參加運(yùn)算。缺點(diǎn)是不直觀，零不唯一。四．求補(bǔ)碼的方法 由上面討論知道，正數(shù)的補(bǔ)碼等于原碼，也等于真值，只有負(fù)數(shù)才有求補(bǔ)的問題。這里介紹三種求補(bǔ)碼的方法。1．

根據(jù)定義求如X=-1010111B，n=8則[X]補(bǔ)=28+（-1010111B）=100000000B-1010111B=10101001B（mod2n）2.

利用反碼求因?yàn)閇X]補(bǔ)=2n+X，[X]反=2n-1+X所以[X]補(bǔ)=[X]反+1即一個(gè)負(fù)數(shù)X的補(bǔ)碼等于其反碼在最低位加1。如X=-1010111B則[X]原=11010111B[X]反=10101000B[X]補(bǔ)=[X]反+1=10101000B+1=10101001B3.簡便的直接求補(bǔ)法根據(jù)原碼：從最低位起，到出現(xiàn)第一個(gè)1以前（包括第一個(gè)1）原碼中的數(shù)字不變，以后逐位取反，但符號位不變。例2.1試用直接求補(bǔ)法求X1=-1010111B及X2=-1110000B的補(bǔ)碼[X1]補(bǔ)及[X2]補(bǔ)。（n=8)解：X1=-1010111B，[X1]原=11010111B↑取反↑由原碼求補(bǔ)碼：符號位不變第一個(gè)1不變∴[X1]補(bǔ)=10101001B

X2=-1110000B,[X2]原=11110000B↑取反↑由原碼求補(bǔ)碼：符號位不變第一個(gè)1及其右邊各位不變∴[X2]補(bǔ)=10010000B五．補(bǔ)碼的運(yùn)算1．

帶符號數(shù)的運(yùn)算（1）

補(bǔ)碼的加法：兩個(gè)帶符號的補(bǔ)碼數(shù)X及Y（|X|及|Y|都小于2n-1,n為二進(jìn)制數(shù)的位數(shù)）相加時(shí)有下述3種情況：Ⅰ·X≥0，Y≥0。若|X+Y|<2n-1,則根據(jù)補(bǔ)碼的定義，可得下式：[X]補(bǔ)+[Y]補(bǔ)=[X+Y]補(bǔ)=X+Y即兩個(gè)正數(shù)的補(bǔ)碼相加，所得的結(jié)果也為和的補(bǔ)碼形式（它與原碼相同）。Ⅱ.參與運(yùn)算的兩個(gè)補(bǔ)碼數(shù)不同符號，如設(shè)X≥0，Y<0：a.

若2n-1>X+Y≥0,則根據(jù)補(bǔ)碼的定義有：[X]補(bǔ)=X[Y]補(bǔ)=2n+Y

∴[X]補(bǔ)+[Y]補(bǔ)=X+2n+Y=2n+(X+Y)=[X+Y]補(bǔ)

mod2n

b.若-2n-1<X+Y<0,則根據(jù)補(bǔ)碼定義有[X]補(bǔ)=X[Y]補(bǔ)=2n+Y[X]補(bǔ)+[Y]補(bǔ)=X+2n+Y=2n-1+(2n-1+X+Y)=[X+Y]補(bǔ)↑符號位數(shù)值部分求補(bǔ)因而當(dāng)兩個(gè)符號不同的補(bǔ)碼數(shù)相加時(shí)，結(jié)果也為補(bǔ)碼形式。Ⅲ.X<0、Y<0，若2n-1>|x+y|,則根據(jù)補(bǔ)碼的定義有

[X]補(bǔ)+[Y]補(bǔ)=2n+2n+(X+Y)=2n+(X+Y)=[X+Y]補(bǔ)

mod2n即兩個(gè)補(bǔ)碼形式的負(fù)數(shù)相加，所得之和也為負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼形式。

[X]補(bǔ)+[Y]補(bǔ)=[X+Y]補(bǔ)例2.2用補(bǔ)碼計(jì)算（+25）+（-20），（-25）+（+20），（-25）+（-18）解：（+25）+（-20）=+0000101B

00011001[+25]補(bǔ)

+11101100[-20]補(bǔ)

——————

100000101[+5]補(bǔ)↑符號位進(jìn)位丟掉（-25）+（+20）=-0000101B11100111[-25]補(bǔ)

00010100[+20]補(bǔ)

——————11111011[-5]補(bǔ)對[-5]補(bǔ)再求補(bǔ)，則還原為[-5]原=10000101B（-25）+（-18）=-0101011B11100111[-25]補(bǔ)

11101110[-18]補(bǔ)————————

111010101[-43]補(bǔ)↑符號位進(jìn)位丟掉[[-43]補(bǔ)]補(bǔ)=10101011B結(jié)論：二個(gè)數(shù)的補(bǔ)碼相加和仍為補(bǔ)碼形式，若其最高位（指有效位）為0，說明和為正，這時(shí)的和既為原碼，也為真值；若最高位為1，說明和為負(fù)，這時(shí)的和為補(bǔ)碼。若想得到真值，需對其補(bǔ)碼再求補(bǔ)（方法不變）得到和的原碼，從原碼就很容易得到真值了。步驟:1)先分別求二個(gè)數(shù)的補(bǔ)碼2）將兩個(gè)補(bǔ)碼數(shù)相加，得到和的補(bǔ)碼3）對和進(jìn)行判斷若其最高位（指有效位）為0，說明和為正，這時(shí)的和既為原碼，也為真值；若最高位為1，說明和為負(fù)，這時(shí)的和為補(bǔ)碼。（2）補(bǔ)碼的減法

兩個(gè)帶符號數(shù)相減，有如下基本公式：X-Y=X+（-Y）∴（X-Y）補(bǔ)=[X+（-Y）]補(bǔ)=[X]補(bǔ)+[-Y]補(bǔ)這里的關(guān)鍵是求[-Y]補(bǔ)。下面介紹兩種方法。Ⅰ.把（-Y）看作一個(gè)整體，求其補(bǔ)碼，方法與前述相同。例如，計(jì)算20-19=？20-19=20+（-19）=+0000001B00010100[20]補(bǔ)

+11101101[-19]補(bǔ)————————100000001Ⅱ.先求[Y]補(bǔ)，方法如前述，再根據(jù)[Y]補(bǔ)求[-Y]補(bǔ)。我們把根據(jù)[Y]補(bǔ)求[-Y]補(bǔ)的過程稱為變補(bǔ)。即：[[Y]

補(bǔ)]變補(bǔ)=[-Y]補(bǔ)根據(jù)[Y]補(bǔ)求變補(bǔ)的簡便方法是：從最低位起，到出現(xiàn)第一個(gè)1以前（包括第一個(gè)1），[Y]補(bǔ)中的數(shù)字不變，其余各位（包括符號位）按位取反。例如用此法計(jì)算20-19=？[19]補(bǔ)=00010011B

[-19]補(bǔ)=11101101B，將其與第一種方法比較，結(jié)果相同。例：計(jì)算①50-26，②（-100）-（-70）解：①50-26=00011000B（此題應(yīng)用第二種方法）[26]補(bǔ)=00011010B[-26]補(bǔ)=[[26]補(bǔ)]變補(bǔ)=11100110B所以00110010[50]補(bǔ)+11100110[-26]補(bǔ)————————

100011000[24]補(bǔ)↑符號位進(jìn)位丟掉②（-100）-（-70）（此題應(yīng)用第一種方法）=（-100）+（+70）=-0011110B10011100[-100]補(bǔ)

+01000110[+70]補(bǔ)————————11100010[-30]補(bǔ)

10011110B=[（-100）-（-70）]原綜上所述，對于補(bǔ)碼的加減法運(yùn)算可用下邊一般公式表示[X]補(bǔ)+[±Y]補(bǔ)=[X±Y]補(bǔ)（|X|，|Y|及|X+Y||都小于2n-1）這就是說，計(jì)算機(jī)只要一個(gè)加法器就可實(shí)現(xiàn)補(bǔ)碼的加減法運(yùn)算。

求補(bǔ)注意:教材中的求補(bǔ)計(jì)算就是我們這里的變補(bǔ)計(jì)算!兩個(gè)不帶符號數(shù)進(jìn)行加法，只要和絕對值不超過整個(gè)字長，就不溢出，則和也一定為正數(shù)的補(bǔ)碼形式，它等于和的原碼；兩個(gè)不帶符號數(shù)相減，可用減數(shù)變補(bǔ)與被減數(shù)相加來求得。

(1)若X≥Y，則兩者原碼相減時(shí)無借位，差值為正，X+[Y]變補(bǔ)的和必大于2n,最高位有進(jìn)位，得到的和為正數(shù)[X-Y]的補(bǔ)碼。它等于[X-Y]原(2)若X<Y,則兩者原碼相減時(shí)有借位，差值為負(fù)，但X+[Y]變補(bǔ)的和必小于2n,最高位無進(jìn)位，得到的和為負(fù)數(shù)[X-Y]的補(bǔ)碼。2.不帶符號數(shù)的運(yùn)算[X]補(bǔ)+[±Y]補(bǔ)=[X±Y]補(bǔ)（|X|，|Y|及|X+Y||都小于2n）在計(jì)算機(jī)中，對兩個(gè)不帶符號數(shù)進(jìn)行補(bǔ)碼減法運(yùn)算時(shí)，要判斷結(jié)果是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，必須看減數(shù)變補(bǔ)與補(bǔ)減數(shù)相加時(shí)有無進(jìn)位。有進(jìn)位，表示兩數(shù)原碼相減無借位，結(jié)果為正；無進(jìn)位，表示兩數(shù)原碼相減有借位，結(jié)果為負(fù)。例2.4用補(bǔ)碼進(jìn)行下列運(yùn)算：1）129-792）79-129解：1）X=129Y=79則X=10000001BY=01001111B[-Y]補(bǔ)=[Y]變補(bǔ)=10110001B10000001BX+10110001B[-Y]補(bǔ)

——————100110010B[X-Y]補(bǔ)

有進(jìn)無借結(jié)果為正[X-Y]原=[X-Y]補(bǔ)=00110010B=502）X=79Y=129則X=01001111BY=10000001B[-Y]補(bǔ)=[Y]變補(bǔ)=01111111B01001111BX+011111111B[-Y]補(bǔ)

————————011001110B[X-Y]補(bǔ)

無進(jìn)有借結(jié)果為負(fù)故對[X-Y]補(bǔ)，再求補(bǔ)有X-Y=-00110010B故X-Y=-50結(jié)論：作加法時(shí)，直接將兩數(shù)相加即可；作減法時(shí)，是用減數(shù)變補(bǔ)與被減數(shù)相加來實(shí)現(xiàn)。結(jié)果的正負(fù)判別方法:(1)若參加運(yùn)算的兩數(shù)為帶符號的補(bǔ)碼形式，則結(jié)果的正負(fù)以最高位（符號位）來判別，最高位為0是正數(shù)，最高位為1是負(fù)數(shù)（以運(yùn)算結(jié)果不溢出為條件）；(2)若參加運(yùn)算的兩數(shù)為不帶符號的數(shù)，則加法結(jié)果必為正數(shù)（以不溢出為條件），沒有符號位。而減法結(jié)果的正負(fù)都應(yīng)以最高位有無進(jìn)位來判別，減數(shù)變補(bǔ)與被減數(shù)相加時(shí)最高位有進(jìn)位，表示兩數(shù)原碼相減時(shí)無借位結(jié)果為正，否則結(jié)果為負(fù)數(shù)六．溢出判別任何一種運(yùn)算都不允許發(fā)生溢出，除非是只利用溢出作為判別而不使用所得的結(jié)果。所以當(dāng)溢出產(chǎn)生時(shí)，應(yīng)使計(jì)算機(jī)停機(jī)或輸入檢查程序找出溢出原因，然后作相應(yīng)處理。1)不帶符號數(shù)的溢出減法沒有溢出問題，只有加法才有溢出問題。溢出的判別方法：CF=1，有溢出CF=0，無溢出2）帶符號數(shù)的溢出若運(yùn)算結(jié)果的絕對值超過運(yùn)算裝置的容量，數(shù)值部分便會(huì)發(fā)生溢出，占據(jù)符號位的位置，從而引起計(jì)算出錯(cuò)。微型機(jī)中常用的溢出判別法是雙高位判別法。為講清雙高位判別法，首先引進(jìn)兩個(gè)附加的符號，即Cs:它表征最高位（符號位）的進(jìn)位情況，如有進(jìn)位，Cs=1,否則，Cs=0。Cp:它表征數(shù)值部分最高位的進(jìn)位情況，如有進(jìn)位Cp=1,否則，Cp=0。在微型機(jī)中，常用“異或”線路來判別有無溢出發(fā)生，即若

Cs⊕Cp=1表示有溢出產(chǎn)生，否則便無溢出。例2.5（+110）+（+92）01101110[+110]補(bǔ)

+01011100[+92]補(bǔ)

———————————11001010Cs=0Cp=1正溢出，結(jié)果出錯(cuò)

“01”稱正溢出例2.6（-110）-（+92）10010010B[-110]補(bǔ)

+）10100100B[-92]補(bǔ)———————————————————

100110110B→+54Cs=1Cp=0負(fù)溢出，結(jié)果出錯(cuò)“10”稱負(fù)溢出例2.7兩個(gè)正數(shù)相加，和的絕對值小于2n-1時(shí)，Cs=0，Cp=0，無溢出發(fā)生。00101101B+45+）00101101B+4501011010B→+90Cs=0Cp=0無溢出例2.8(-5)+(-5)11111011B+11111011B

111110110BCs=1Cp=1無溢出例2.9一個(gè)正數(shù)和一個(gè)負(fù)數(shù)相加，和肯定不溢出。此時(shí)，若和為正數(shù)，則Cs=1，Cp=1；若和為負(fù)數(shù)，則Cs=0，Cp=0。10001011B[-117]補(bǔ)

11110100B[-12]補(bǔ)+）01111001B+121+）00001001B+9————————————————————————————

100000100B→+411111101B→-3Cs=1，Cp=1無溢出Cs=0，Cp=0無溢出

結(jié)論：

Cs⊕Cp=1

，有溢出，否則無溢出！七．算術(shù)移位

二進(jìn)制數(shù)在寄存器或存儲器中進(jìn)行算術(shù)移位時(shí)，每左移一位，它表示的量的絕對值應(yīng)增大1倍（如果沒有溢出）；每右移一位，它表示的量的絕對值應(yīng)減少一半。為此，在各種情況下對移出的空位應(yīng)補(bǔ)入不同的數(shù)。1）

對于正數(shù)，左移或右移時(shí)空位都補(bǔ)以0。

例如：一個(gè)正的八位二進(jìn)制數(shù)為00001110+14

左移一位后為←000011100←補(bǔ)0+28

右移一位后為補(bǔ)0→000001110→+72

）

補(bǔ)碼法表示的負(fù)數(shù)，左移時(shí)最低位補(bǔ)以0，右移時(shí)最高位補(bǔ)以1。例如：一個(gè)負(fù)的八位二進(jìn)制補(bǔ)碼數(shù)為11110010[-14]補(bǔ)

左移一位后為←111100100←補(bǔ)0[-28]補(bǔ)

右移一位后為補(bǔ)1→11111001

0→[-7]補(bǔ)3）反碼法表示的負(fù)數(shù)，左移和右移時(shí)，最高位和最低位均補(bǔ)1。例如：一個(gè)八位二進(jìn)制數(shù)為11110001[-14]反

左移一位后為←111100011←補(bǔ)1[-28]反

右移一位后為補(bǔ)1→111110000→[-7]反八．各種碼制的比較和小結(jié) 從數(shù)的符號如何表示開始，逐步地引出原碼、反碼、補(bǔ)碼和移碼，它們之間既有共同之處，又各自具有不同的性質(zhì)?，F(xiàn)歸納如下。1）

原碼、反碼、補(bǔ)碼和移碼均是計(jì)算機(jī)所能識別的數(shù)，稱機(jī)器數(shù)。機(jī)器數(shù)是符號數(shù)碼化了的數(shù)，要與真值相區(qū)別。2）

正數(shù)的原碼、反碼和補(bǔ)碼是相同的，并且與真值相同。重點(diǎn)理解負(fù)數(shù)，這三種碼制的負(fù)數(shù)各有不同的定義。3）

原碼、補(bǔ)碼和反碼的最高位都表示符號位，用“0”表示“+”，用“1”表示“-”。但移碼卻正好相反，用“0”表示“-”，用“1”表示“+”。4）

零在補(bǔ)碼和移碼中具有唯一性，而在原碼及反碼中卻有兩種不同的表示。5）

補(bǔ)碼和反碼的符號位可以和數(shù)值位一起參加運(yùn)算，而原碼則不行，符號位與數(shù)值部分必須分開處理。3、二進(jìn)制數(shù)的小數(shù)點(diǎn)表示-定點(diǎn)數(shù)和浮點(diǎn)數(shù)1、定點(diǎn)數(shù)在計(jì)算機(jī)中用隱含規(guī)定小數(shù)點(diǎn)位置的方法，確定小數(shù)點(diǎn)。

根據(jù)小數(shù)點(diǎn)的位置是否固定，可分為定點(diǎn)表示(定點(diǎn)數(shù))和浮點(diǎn)表示(浮點(diǎn)數(shù))。計(jì)算機(jī)中數(shù)的小數(shù)點(diǎn)位置固定不變，稱為定點(diǎn)數(shù)。(1)定點(diǎn)整數(shù)將小數(shù)點(diǎn)固定在數(shù)的最低位(最右邊)的數(shù)稱為定點(diǎn)整數(shù)。dndn-1dn-2dn-3…d0符號位小數(shù)位數(shù)值部分對于n+1位(包括一位符號位)定點(diǎn)整數(shù)，在計(jì)算機(jī)中的數(shù)據(jù)格式如下：(2)定點(diǎn)小數(shù)將小數(shù)點(diǎn)固定在數(shù)的符號位之后，最高數(shù)值位之前的數(shù)稱為定點(diǎn)小數(shù)。d0d-1d-2d-3…d-m-1d-m符號位小數(shù)位數(shù)值部分對于m+1位(最高一位符號位)定點(diǎn)小數(shù)，在計(jì)算機(jī)中的數(shù)據(jù)格式如下：m+1位定點(diǎn)小數(shù)所能表示的范圍亦碼制不同而不同。對于原碼和反碼其數(shù)的范圍是：(1-2-m)～-(1-2-m)。對于補(bǔ)碼其數(shù)的范圍是：(1-2-m)～-1。當(dāng)定點(diǎn)機(jī)一經(jīng)設(shè)計(jì)完成，其小數(shù)點(diǎn)的位置就固定不變了，運(yùn)算中應(yīng)該注意參加運(yùn)算的數(shù)和運(yùn)算結(jié)果都應(yīng)該限定在定點(diǎn)數(shù)所能表示的范圍內(nèi)，否則要產(chǎn)生“溢出”。2、浮點(diǎn)數(shù)

要處理的數(shù)既有小數(shù)，也有整數(shù)部分，采用定點(diǎn)數(shù)表示就會(huì)很困難。應(yīng)該采用浮點(diǎn)數(shù)表示。計(jì)算機(jī)中數(shù)的小數(shù)點(diǎn)位置不固定，稱為浮點(diǎn)數(shù)。浮點(diǎn)數(shù)格式：浮點(diǎn)數(shù)分為階碼和尾數(shù)兩部分。JEm-1Em-2…E0