第三章 隨機(jī)向量

第三章隨機(jī)向量

二維隨機(jī)向量及其分布函數(shù)

隨機(jī)向量的數(shù)字特征大數(shù)定律與中心極限定理實(shí)際生活中，我們發(fā)現(xiàn)有些隨機(jī)現(xiàn)象僅僅用一個(gè)隨機(jī)變量很難描述清楚，因此我們引入多維隨機(jī)變量或隨即向量的概念。與一維隨機(jī)變量的研究類似，我們也把隨機(jī)向量分成離散型、連續(xù)型及混合型，主要研究離散型和連續(xù)型的隨機(jī)向量，本章討論n=2時(shí)的情形。如在研究?jī)和陌l(fā)育時(shí)，涉及到身高和體重兩方面的問題，在研究家庭的收支時(shí)則涉及更多個(gè)方面的因素。

一、二維隨機(jī)向量及其聯(lián)合分布函數(shù)注:(1)聯(lián)合分布函數(shù)表示兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率。3.1二維隨機(jī)向量的分布2）二維聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)單調(diào)性:有界性:右連續(xù)性:非負(fù)性:注意：上述四條性質(zhì)是聯(lián)合分布函數(shù)的充要條件.關(guān)于非負(fù)性的補(bǔ)充說明：例1設(shè)二維隨機(jī)向量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為解：由聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)可以得到二、二維離散型隨機(jī)向量及聯(lián)合分布律對(duì)于二維隨機(jī)向量(X,Y),如果X和Y都是離散型隨機(jī)變量，則稱(X,Y)是二維離散型隨機(jī)向量。

聯(lián)合分布律的基本性質(zhì)非負(fù)性：正則性：例2一口袋裝有3個(gè)球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，2。從袋中任取一球，不放回袋中，再從袋中任取一球。記X、Y分別表示第一、二次取出的球上的數(shù)字.分析：與求一維分布律一樣，確定取值，計(jì)算概率.練習(xí)：一口袋裝有3個(gè)球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，2，從袋中任取一球；放回袋中，再從袋中任取一球。記X、Y分別表示第一、二次取出的球上的數(shù)字.1、定義：如果存在二元非負(fù)函數(shù)p(x,y)，使得二維隨機(jī)向量（X,Y）的分布函數(shù)F(x,y)滿足注：在F(x,y)偏導(dǎo)存在的點(diǎn)處有：2、基本性質(zhì)非負(fù)性：正則性：則稱(X,Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)向量,p(x,y)稱為(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)(或聯(lián)合密度或密度函數(shù))。三、二維連續(xù)型隨機(jī)向量及聯(lián)合密度即密度函數(shù)在指定平面區(qū)域G上的二重積分。3、概率計(jì)算4、舉例11G1G25、常用二維分布二維正態(tài)分布求(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)。解：區(qū)域G如圖所示，故(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為例

設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)服從區(qū)域G上的均勻分布，四、邊緣分布1、由聯(lián)合分布可以確定邊緣分布;但由邊緣分布一般不能確定聯(lián)合分布。2、由聯(lián)合分布還可以還可以反映X和Y的關(guān)系，這也是研究多維分布的原因所在。3、對(duì)聯(lián)合分布與邊緣分布關(guān)系的研究，同樣就離散型和連續(xù)型兩種隨機(jī)向量分別說明。補(bǔ)充說明2、邊緣分布律對(duì)二維離散型隨機(jī)向量(X,Y)，聯(lián)合分布律為則(X,Y)關(guān)于X的邊緣分布律為(X,Y)關(guān)于Y的邊緣分布律為注:(X,Y)的聯(lián)合分布律與邊緣分布律的關(guān)系，通?？梢杂孟旅娴谋砀駚矸从场８餍懈怕氏嗉痈髁懈怕氏嗉永?設(shè)（X,Y）的聯(lián)合分布律如下，求其邊緣分布律。練習(xí)：設(shè)（X,Y）的聯(lián)合分布律如下，求其邊緣分布律。（1）（2）（1）（2）注：由聯(lián)合分布律可以確定邊緣分布律，反之則不一定成立！3、邊緣密度函數(shù)一般地，練習(xí)：設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度是求(1)c的值；（2）兩個(gè)邊緣密度。解：(1)（2）附：條件密度函數(shù)五、隨機(jī)變量的獨(dú)立性隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性，是事件相互獨(dú)立性的推廣，在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的實(shí)際應(yīng)用中是一個(gè)重要的概念。1.獨(dú)立性的定義說明：定義中的條件是獨(dú)立性的充要條件，對(duì)各種類型的隨機(jī)變量都能成立。而對(duì)于離散和連續(xù)型的隨機(jī)變量來說，又可以分別利用分布律和密度函數(shù)來反映隨機(jī)變量的獨(dú)立性。2.離散型隨機(jī)變量的獨(dú)立性例1設(shè)(X,Y)的聯(lián)合分布律為n個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量相互獨(dú)立的充要條件是：簡(jiǎn)單判別方法：3.連續(xù)型隨機(jī)變量的獨(dú)立性例2設(shè)（X,Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為問X、Y是否獨(dú)立？011例3從（0，1）中任取兩個(gè)數(shù)，求下列事件的概率：①兩數(shù)之和小于1.2；②兩數(shù)之積小于1/4.解：記這兩個(gè)數(shù)分別為X、Y，則X、Y獨(dú)立，且都服從（0，1）上的均勻分布。從而（X,Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為所求的概率，即是在指定的區(qū)域內(nèi)計(jì)算聯(lián)合密度函數(shù)的二重積分。六、二維隨機(jī)向量函數(shù)的分布如果(X,Y)是二維隨機(jī)變量，且分布函數(shù)已知，Z=g(X,Y)是關(guān)于X和Y的二元函數(shù)，則Z是一個(gè)一維隨機(jī)變量，當(dāng)然也存在著分布問題，而且與(X,Y)的分布有著必然的聯(lián)系。(1)和的分布——連續(xù)場(chǎng)合下的卷積公式2.連續(xù)型隨機(jī)向量函數(shù)的分布例3設(shè)X～U(0,1),Y～Exp(1),且X,Y相互獨(dú)立,求Z＝X+Y的密度函數(shù)。解：X和Y的密度函數(shù)分別是2、分布函數(shù)法注：分布函數(shù)法是普遍適用的一種重要方法.（萬能法）例3設(shè)X～U(0,1),Y～Exp(1),且X,Y相互獨(dú)立,求Z＝X+Y的密度函數(shù)。補(bǔ)充說明：分布函數(shù)法求隨機(jī)變量函數(shù)的分布具有普遍性，對(duì)任意的Z=g(X,Y)都適用，且不需要X,Y相互獨(dú)立的條件。而利用其他方法或公式求隨機(jī)變量函數(shù)的分布時(shí)，必須注意定理或公式應(yīng)滿足的條件。因此，該方法是最重要的一種方法，應(yīng)熟練掌握。同時(shí)也是數(shù)（三）常考的內(nèi)容。補(bǔ)充：隨機(jī)變量的可加性3.2隨機(jī)向量的數(shù)字特征

一、二維隨機(jī)向量的數(shù)學(xué)期望和方差1x2y0

二、數(shù)字期望與方差的性質(zhì)

三、二維隨機(jī)向量的協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)——聯(lián)合分布中分量間的關(guān)系協(xié)方差也稱為相關(guān)中心矩。1、協(xié)方差協(xié)方差的常用計(jì)算公式:協(xié)方差的性質(zhì):補(bǔ)充說明：2、相關(guān)系數(shù)(Correlationcoefficient)在表示隨機(jī)變量的關(guān)系時(shí)，為了消除量綱的影響，引入了相關(guān)系數(shù)的概念。相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：

完全正線性相關(guān)YX完全負(fù)線性相關(guān)YX補(bǔ)充說明相關(guān)系數(shù)ρ(X,Y)刻畫了隨機(jī)變量X、Y間線性相關(guān)的程度。ρ=±1時(shí)，表示X、Y幾乎處處具有線性關(guān)系；ρ=0時(shí)，表示X、Y不具有線性關(guān)系，但可以具有其他（如曲線）關(guān)系。獨(dú)立性是指兩個(gè)隨機(jī)變量不具有任何關(guān)系。對(duì)二元正態(tài)分布來說，獨(dú)立性與不相關(guān)〔ρ=0〕是等價(jià)的。與協(xié)方差相比較，相關(guān)系數(shù)是一個(gè)不帶單位的系數(shù)，消除了量綱的影響，可以更準(zhǔn)確地反映隨機(jī)變量間的關(guān)系；同時(shí)，也方便不同類型隨機(jī)變量的比較。00.511y=x注：協(xié)方差雖然很小，但相關(guān)系數(shù)卻比較大。所以協(xié)方差反映隨機(jī)變量的相關(guān)程度不是很準(zhǔn)確的。3.4大數(shù)定律與中心極限定理事件發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性，即隨著試驗(yàn)次數(shù)的增多，事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定于某個(gè)常數(shù)。這就充分說明事件的概率是客觀存在的。頻率的穩(wěn)定性，便是這一客觀存在的反映。人們還認(rèn)識(shí)到大量測(cè)量值的算術(shù)平均值也具有穩(wěn)定性。這種穩(wěn)定性就是本節(jié)所要討論的大數(shù)定律的客觀背景。在概率論中，用來闡明大量平均結(jié)果穩(wěn)定性的一系列定理統(tǒng)稱為大數(shù)定律。由大數(shù)定律，大量隨機(jī)因素的總和，必然導(dǎo)致某種不依賴于個(gè)別隨機(jī)事件的結(jié)果。一、大數(shù)定律補(bǔ)充說明切比雪夫不等式注：對(duì)于離散型隨機(jī)變量可以類似證明。定理2（切比雪夫大數(shù)定律）定理3(貝努里大數(shù)定律)注：貝努里定理是切比雪夫定理的特例，它從理論上證明了頻率的穩(wěn)定性。只要試驗(yàn)次數(shù)n足夠大，事件A出現(xiàn)的頻率與事件A的概率有較大偏差的可能性很小。即可以用事件發(fā)生的頻率來代替事件發(fā)生的概率。二、獨(dú)立同分布下的中心極限定理例1

為了測(cè)量一臺(tái)機(jī)床的質(zhì)量,把它分成75個(gè)部件來稱量。假定每個(gè)部件的稱量誤差X服從(-1,1)上的均勻分布,且各個(gè)部件的稱量誤差是相互獨(dú)立的,求機(jī)床質(zhì)量的誤差的絕對(duì)值不超過10kg的概率。所求概率為總的稱量誤差定理2〔棣莫弗－拉普拉斯中心極限定理〕由于每臺(tái)機(jī)器開、停與否相互獨(dú)立，且開動(dòng)的概率都是相同的，故開動(dòng)的機(jī)器臺(tái)數(shù)服從二項(xiàng)分布。例2設(shè)一個(gè)車間里有400臺(tái)同類型的機(jī)器，每臺(tái)機(jī)器需要用電為Q瓦。由于工藝關(guān)系，每臺(tái)機(jī)器不連續(xù)開動(dòng)，開動(dòng)的時(shí)間只占總工作時(shí)間的3/4。問應(yīng)該供應(yīng)多少瓦電力才