第一節(jié) 向量及其線性運算

1第八章空間解析幾何與向量代數(shù)幾何空間中的一些圖形與方程對應起來,用代數(shù)方法研究了幾何問題.討論如下幾個問題:1.向量、向量的一些運算;2.空間中的平面與直線;3.空間中的一些曲面和曲線;4.二次曲面.在平面解析幾何中,本章把這種方法運用到三維幾何空間,曾通過坐標法把二維2第一節(jié)向量及其線性運算向量概念向量的線性運算小結思考題作業(yè)空間直角坐標系利用坐標作向量的線性運算向量的模方向角3向量既有向量表示模長為1的向量.零向量模長為0的向量.||向量的模向量的大小.單位向量或或或的量.又有大小方向以為起點,為終點的有向線段.一、向量概念向量及其線性運算(vector)(module)4自由向量不考慮起點位置的向量.相等向量大小相等且方向相同的向量.負向量大小相等但方向相反的向量.向量及其線性運算記作5特殊地,當兩個向量中有一個零向量時,規(guī)定它們的夾角可在之間任意取值.向量與向量的夾角向量的夾角向量及其線性運算6向量平行向量及其線性運算如果p或0),(=barr，就稱向量與向量平行，記作?！瑑上蛄科叫?，又稱兩向量共線。7向量垂直向量及其線性運算如果，就稱向量與向量垂直，記作。注：零向量與任意向量都平行，也與任意向量都垂直。8加法（平行四邊形法則）特殊地若‖分為同向和反向（平行四邊形法則有時也稱為三角形法則）(1)加法定義二、向量的線性運算

1.向量的加減法向量及其線性運算9

(2)向量的加法符合下列運算規(guī)律交換律結合律減法(3)減法定義向量及其線性運算102.向量與數(shù)的乘法(簡稱數(shù)乘運算)注向量向量的“伸縮”向量的乘積規(guī)定為同向,反向,為向量.與數(shù)的乘積向量及其線性運算11(2)數(shù)與向量的乘積符合下列運算規(guī)律結合律分配律第一分配律第二分配律線性運算向量及其線性運算由向量

常用數(shù)乘運算說明平行,兩向量平行關系。12兩向量平行關系(兩向量共線的充要條件):定理1設向量

∥存在唯一的實數(shù)

同方向的單位向量.

記作,0rr1a向量及其線性運算注：定理1是建立數(shù)軸的理論依據(jù)。13證充分性顯然；必要性‖兩式相減，得向量及其線性運算14選擇題設向量互相平行,但是方向相反,則當A時,

必有()向量及其線性運算|;|||||)(babaBrrrr->+|;|||||)(babaCrrrr-<+15？下列命題是否正確錯,錯,(1)沒有定義向量的除法.向量不能比較大小,只有模才能比較大小.向量及其線性運算16例化簡解向量及其線性運算17例試用向量方法證明:對角線互相平分的四邊形必是平行四邊形.證結論得證.∥且向量及其線性運算18上兩式相減得：練習

設均為非零向量,其中任意兩個向量不共線,但與共線,與共線.證明：證為常數(shù).向量及其線性運算cbrr+19向量及其線性運算由定理1建立數(shù)軸給定一個點和一個單位向量就確定一條數(shù)軸設點o及單位向量確定數(shù)軸ox由定理1，必有唯一實數(shù)，使故有，定義：實數(shù)ox120橫軸縱軸豎軸定點空間直角坐標系,

三個坐標軸的點O叫做坐標原點(或原點)正方向符合右手系即以右手握住z軸,當右手的四個手指從正向x軸以角度轉(zhuǎn)向正向y軸時,大拇指的指向就是z軸的正向.三、空間直角坐標系1.空間點的直角坐標坐標系或坐標系.向量及其線性運算21ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ向量及其線性運算空間直角坐標系共有八個卦限Ⅶ222.向量在坐標軸上的分向量與向量的坐標稱為該向量在三個坐標軸上的分向量坐標分解式23稱為點M或向量的坐標,記作稱為點M的向徑。點M與原點構成的向量故有，定義：24空間的點有序數(shù)組特殊點的表示:坐標軸上的點坐標面上的點向量及其線性運算25(3)點M(2,-3,1)關于y軸的對稱點是().?(1)點M(2,-3,1)關于坐標原點的對稱點是();選擇題(2)點M(2,-3,1)關于xOy面的對稱點是();(A)(-2,3,-1);(B)(-2,-3,-1);(C)(2,-3,-1);(D)(-2,3,1).ACB向量及其線性運算26向量及其線性運算四、利用坐標作向量的線性運算27由按坐標表示式即為:當分母為零理解為分子也為零.注向量及其線性運算也即向量

與

對應的坐標成比例:

定理設向量

∥存在唯一的實數(shù)

,0rr1a=),,(zyxbbb),,(zyxaaal28向量及其線性運算更一般的情況:29

向量在

軸上的坐標

向量在

軸上的坐標

向量在

軸上的坐標向量及其線性運算30按基本單位向量的坐標分解式：在三個坐標軸上的分向量：向量的坐標：向量的坐標表達式：向量及其線性運算31解設為直線上的點,oxyzAB向量及其線性運算例已知兩點以及實數(shù)在直線AB上求點M,使同理,得32五、向量的模、方向角、投影1.向量的模與空間兩點間點的距離由勾股定理向量模的坐標表示式33為空間兩點.在直角三角形和中,用勾股定理向量及其線性運算空間兩點間距離公式34若兩點分別為特殊地向量及其線性運算向徑空間直角坐標系中任一點M與原點構成的向量.常用表示.空間兩點間距離公式35解設P點坐標為所求點為向量及其線性運算例的距離為到的距離的兩倍,求點P的坐標.36解原結論成立.向量及其線性運算37非零向量與三條坐標軸的正向的夾角稱之為非零向量的方向角：向量及其線性運算(directionangle)2.方向角與方向余弦38由圖分析可知向量的方向余弦方向余弦向量模長的坐標表示式向量及其線性運算(directioncosine)通常用來表示向量的方向.39當時，向量方向余弦的坐標表示式方向余弦的特征特殊地向量及其線性運算=)cos,cos,(cosgba40解已知兩點同方向的單位向量。例求與41例已知兩點A(2,2,)和B(1,3,0),求的模，方向余弦和方向角。解：42解或所求向量有兩個,一個與同向,一個與反向.向量及其線性運算求平行于向量的單位向量例的分解式.43解向量及其線性運算設有向量例已知它與x軸和y軸的夾角分別為如果P1的坐標為(1,0,3),求P2的坐標.設向量的方向角為44向量及其線性運算設P2的坐標為P2的坐標為45空間一點在軸上的投影過點A作軸u的垂直平面,即為點A在軸u上的投影.向量及其線性運算空間一向量在軸上的投影軸u稱為投影軸.已知向量的起點A和終點B在軸u上的投影分別為那么軸u上的有向線段的值,稱為向量在軸u上的投影.3.向量在軸上的投影46Projection在軸u上的向量軸與向量的夾角的余弦：向量在軸u上的投影記為投影性質(zhì)1投影等于向量的模乘以向量及其線性運算投影有正、注負之分;模只為正值.47（可推廣到有限多個）兩個向量的和在軸上的投影等于兩個向量在該軸上的投影之和.向量及其線性運算投影性質(zhì)2投影性質(zhì)3注：向量在空間直角坐標系Oxyz中的坐標就是該向量在三條坐標軸上的投影。48向量及其線性運算起點終點向量在x軸上的投影向量在y軸上的投影向量在z軸上的投影按基本單位向量的坐標分解式：向量的坐標表達式：坐標坐標坐標x軸分向量y軸分向量z軸分向量特殊地49例10解50解向量及其線性運算求向量例在x軸上的投影及在y軸上的分向量.在x軸上的投影為在y軸上的分向量為511證例向量及其線性運算uBA21,uuBA坐標依次為、eueurr12-=.)(12euur-=52向量及其線性運算六、小結向量的概念向量的線性運算（注意:與數(shù)量的區(qū)別與記法）(平行四邊形法則,三角形法則,注意數(shù)乘后的方向)空間直角坐標系(注意它與平面直角坐標系的區(qū)別)(點、坐標軸、坐標面、卦限)向量