《走向清華北大》高考總復(fù)習 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)課件

第四模塊三角函數(shù)第十六講任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)回歸課本1.角的概念角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形．旋轉(zhuǎn)開始時的射線OA叫做角的始邊，旋轉(zhuǎn)終止時的射線OB叫做角的終邊，按逆時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫做正角，按順時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫做負角．若一條射線沒作任何旋轉(zhuǎn)，稱它形成了一個零角．2．象限角把角置于直角坐標系中，使角的頂點與坐標原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合．那么，角的終邊在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限角．象限角象限角α的集合表示第一象限角{α|k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z}第二象限角{α|k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°，k∈Z}第三象限角{α|k·360°＋180°＜α＜k·360°＋270°，k∈Z}第四象限角{α|k·360°－90°＜α＜k·360°，k∈Z}3.象限界角(即軸線角)角α終邊位置角α的集合在x軸非負半軸上{α|α＝k·360°，k∈Z}在x軸非正半軸上{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}在y軸非負半軸上{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}在y軸非正半軸上{α|α＝k·360°－90°，k∈Z}在x軸上{α|α＝k·180°，k∈Z}在y軸上{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}注意：如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何一個象限，即為象限界角(或軸線角)．4．終邊相同的角所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}或S＝{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}，前者α用角度制表示，后者α用弧度制表示．注意：(1)終邊相同的角不一定相等，但相等的角的終邊一定相同，終邊相同的角有無數(shù)個，它們相差周角的整數(shù)倍．(2)一般地，終邊相同的角或通式表達形式不唯一，如α＝k·180°＋90°(k∈Z)與β＝k·180°－90°(k∈Z)都表示終邊在y軸上的所有角．(3)應(yīng)注意整數(shù)k為奇數(shù)、偶數(shù)的討論．5．弧度制(1)把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫1弧度的角．以弧度作為單位來度量角的單位制，叫做弧度制，它的單位符號是rad，讀作弧度．(2)一般地，正角的弧度數(shù)是一個正數(shù)，負角的弧度數(shù)是一個負數(shù)，零角的弧度數(shù)是0.6．度與弧度度的換算關(guān)關(guān)系∵周角的為為1度的角即周周角＝＝1°，周周角＝＝1rad∴360°＝2πrad∴180°=πrad,1°=rad,1rad＝°≈57°18′.7．扇形的半半徑為R，弧長為l，α(0＜α＜2π)為圓心角弧長l＝αR，即弧長等等于該弧所對的的圓心角的的弧度數(shù)乘乘以半徑．．扇形面積S＝l·R＝α·R2.8．在直角坐坐標系中利利用單位圓圓的定義求求任意角的的三角函數(shù)數(shù)設(shè)α是一個任意意角，它的的終邊與單單位圓交于于點P(x，y)，那么：(1)y叫做α的正弦，記作sinα，即sinα＝y(tǒng)；(2)x叫做α的余弦，記作cosα，即cosα＝x；(3)y,x叫做α的正切，記作tanα，即tanα＝(x≠0)．9．利用角α終邊上任意意一點的坐坐標定義三三角函數(shù)設(shè)直角坐標標系中任意意大小的角角α終邊上任意意一點的坐坐標為(x，y)，它與原點點的距離是是r(r＞0)，那么任意意角的三角角函數(shù)的定定義：注意：要特特別注意三三角函數(shù)的的定義域．．10．各象限角角的三角函函數(shù)值和符符號如圖所所示三角函數(shù)正正值口訣：：Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ正切，Ⅳ余弦．11．終邊相同同的角的同同一三角函函數(shù)的值相等，即sin(α＋k·2π)＝sinαcos(α＋k·2π)＝cosα(其中k∈Z)tan(α＋k·2π)＝tanα12．三角函數(shù)數(shù)線圖中有向線線段MP，OM，AT分別表示正弦線、余弦線和正切線．注意：當角角α的終邊與x軸重合時，，正弦線、、正切線分分別變成一一個點，此此時角α的正弦值和和正切值都都為0；當角α的終邊與y軸重合時，，余弦線變變成一個點點，正切線線不存在，，此時角α的正切值不不存在．考點陪練1.已知集合A＝{第一象限角角}，B＝{銳角}，C＝{小于90°的角}，下列四個個命題：①A＝B＝C，②AC，③CA，④A∩C＝B，其中正確確命題的個個數(shù)為()A．0B．1C．2D．3答案：A2.將分針撥快快10分鐘,則分針轉(zhuǎn)過過的弧度數(shù)數(shù)是()答案:B答案:B4.有下列命題題:(1)終邊相同的的角的同名名三角函數(shù)數(shù)的值相等等;(2)終邊不同的的角的同名名三角函數(shù)數(shù)的值不等等;(3)若sinα>0,則α是第一?二象限的角角;(4)若α是第二象限限的角,且P(x,y)是其終邊上上一點,則cosα=其中正確的的命題的個個數(shù)是()A.1個B.2個C.3個D.4個解析:根據(jù)任意角角三角函數(shù)數(shù)的定義知知(1)正確;對(2),我們可舉出出反例對(3),可指出,但不不是第一?二象限的角角;對(4),因為α是第二象限限的角,已有x<0,應(yīng)是cosα=.答案:A5.若sinα<0且tanα>0,則α是()A.第一象限角角B.第二象限角角C.第三象限角角D.第四象限角角解析:∵sinα<0,∴α是第三?四象限的角角或角的終終邊在y軸負半軸上上.又∵tanα>0,∴αα是第一?三象限的角角.∴α是第三象限限的角.答案:C類型一角角的集合表表示解題準備:(1)任意角β都可以表示示成β=α+k·360°(0°≤αα<360°,k∈∈Z).(2)并不是所有有角都是某某象限角,當角的終邊邊落在坐標標軸上時,它就不屬于于任何象限限.(3)相等的角終終邊一定相相同,終邊相同的的角不一定定相等,終邊相同的的角有無數(shù)數(shù)個,它們相差360°的整數(shù)倍.(4)注意“第一象限角角”?“銳角”?“小于90°的角”是范圍不同同的三類角角,需加以區(qū)別別.【典例1】(1)如果α是第三象限限角,那么-α,2αα的終邊落在在何處?(2)寫出終邊在在直線上上的的角的集合合;(3)若角θ的終邊與角角的終終邊相同,求在[0,2ππ)內(nèi)終邊與角角的的終邊相同同的角.[分析]利用終邊相相同的角的的集合進行行求解.[解](1)由α是第三象限限角得π+2kππ<α<+2kπ(k∈∈Z)-2kπ<-α<-π-2kπ(k∈∈Z).即+2kπ<-α<ππ+2kππ(k∈Z).∴-α的終邊在第第二象限;由π+2kππ<α<+2kπ(k∈∈Z)得2π+4kπ<2αα<3π+4kπ(k∈Z).∴角2α的終邊在第第一或第二二象限或y軸的非負半半軸上.(2)在(0,π)內(nèi)終邊在直直線上上的角角是∴終邊在直直線上上的的角的集合合為{α|α=+kπ,k∈∈Z}.(3)∵θθ=+2kπ(k∈Z),∴(k∈Z).[反思感悟](1)利用終邊相相同的角的的集合S={β|β=2kπ+α,k∈Z}判斷一個角角β所在的象限限時,只需把這個個角寫成[0,2ππ)范圍內(nèi)的一一個角α與2π的整數(shù)倍,然后判斷角角α所在的象限限.(2)利用終邊相相同的角的的集合可以以求適合某某些條件的的角,方法是先寫寫出與這個個角的終邊邊相同的所所有角的集集合,然后通過對對集合中的的參數(shù)k賦值來求得得所需角.類型二扇扇形弧長,面積公式應(yīng)應(yīng)用解題準備:設(shè)扇形的弧弧長為l,圓心角大小小為α(弧度),半徑為r,則l=|α|·r;S扇形=|α|r2.注意:這里給出的的弧長?扇形面積公公式是在弧弧度制下的的,使用時切記記將圓心角角用弧度來來表示.【典例2】已知一扇形形的中心角角是α,所在圓的半半徑為r.(1)若α=60°°,r=10cm,求扇形的弧弧長及該弧弧所在的弓弓形面積;(2)若扇形的周周長是一定定值c(c>0),當α為多少弧度度時,該扇形有最最大面積?∴當扇形圓心心角為2弧度時,扇形面積有有最大值.類型三三三角函數(shù)的的定義解題準備:(1)任意角的三三角函數(shù)值值,只與角的終終邊位置有有關(guān),而與終邊上上的點的位位置無關(guān);(2)當點P的坐標中含含字母時,表達r時要注意分分類討論思思想的應(yīng)用用.【典例3】已知α的終邊經(jīng)過過點P(-4a,3a)(a≠0),求sinα??cosαα?tanα的值.[分析]根據(jù)任意角角三角函數(shù)數(shù)的定義,應(yīng)首先求出出點P到原點的距距離r,由于含有參參數(shù)a,要注意分類類討論.[反思感悟](1)當角α的終邊上點點的坐標以以參數(shù)形式式給出時,要根據(jù)問題題的實際及及解題的需需要對參數(shù)數(shù)進行分類類討論.(2)熟記幾組常常用的勾股股數(shù)組,如(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),(8,15,17),(9,40,41)等,會給我們解解題帶來很很多方便.(3)若角α已經(jīng)給定,不論點P選擇在α的終邊上的的什么位置置,角α的三角函數(shù)數(shù)值都是確確定的;另一方面,如果角α終邊上一點點坐標已經(jīng)經(jīng)確定,那么根據(jù)三三角函數(shù)定定義,角α的三角函數(shù)數(shù)值也都是是確定的.類型四象象限角與三三角函數(shù)符符號問題解題準備:三角函數(shù)的的符號如下下表正值口訣:Ⅰ全正?Ⅱ正弦?Ⅲ正切?Ⅳ余弦.【典例4】(1)如果點P(sinθ?cosθ,2cosθ)位于第三象象限,試判斷角θ的終邊所在在的象限.(2)若θ是第二象限限角,則的的符號號是什么?[分析](1)由點P所在的象限限,知道sinθ?cosθ,2cosθ的符號,從而可求sinθ與cosθ的符號.(2)由θ是第二象限限角,可求cosθ,sin2θ的范圍,進而把cosθ,sin2θ看作一個用用弧度制的的形式表示示的角,并判斷其所所在的象限限,從而sin(cosθ),cos(sin2θ)的符號可定定.[解](1)因為點P在第三象限限,∴sinθθ?cosθ<0且2cosθθ<0,因此必有sinθ>0,cosθ<0,故θ的終邊在第第二象限.(2)因為θ是第二象限限角,所以cosθ<0,且-1≤cosθ<0,即cosθ是第四象限限角,因此sin(cosθ)<0;又sin2θθ=2sinθ?cosθ<0,所以-1≤sin2θ<0,即sin2θθ也是第四象象限角,因此cos(sin2θ)>0.故[反思感悟]此處要正確確理解sin(cosθ)的含義,sin(cosθθ)中,是把角θ的余弦值(一個實數(shù))作為一個角角的弧度數(shù)數(shù),求該角的正正弦值,因此只需研研究cosθ這個角的范范圍(所在象限)即可.錯源一忽忽視表示示區(qū)間角的的不等式兩兩端的大小小關(guān)系【典例1】用集合表示示終邊在陰陰影部分的的角α的集合.[錯解]由圖可知,終邊落在射射線OA上的角為2kπ+(k∈Z),終邊落在射射線OB上的角為2kπ-(k∈Z).所以終邊落落在圖中陰陰影部分的的集合為α∈{α|2kπ+≤α≤≤2kπ-,k∈Z}.[剖析]上面集合中中的關(guān)于角角的不等式式是一個矛矛盾的不等等式,左邊的比右右邊的大.[正解]由圖知,終邊落在射射線OA上的角為2kπ+(k∈Z),終邊落在射射線OB上的角為2kπ+(k∈Z).所以終邊落落在圖中陰陰影部分的的集合為α∈{α|2kπ+≤≤α≤≤2kπ+,k∈Z}.[評析]利用終邊相相同的角的的表達式表表示區(qū)域角角要把握兩兩條原則:(1)按逆時針方方向書寫;(2)表示區(qū)域角角的不等式式兩個端點點值的差必必須是終邊邊落在兩條條邊界射線線(或直線)上的最小差差值.錯源二利利用三角角函數(shù)值符符號判斷角角的位置時時,忽視軸線角角而致錯【典例2】已知sinα≥≥0,cosα≥0,試確定α終邊的位置置.[錯解]由sinα≥≥0知,α終邊在第一一象限,或第二象限限,或y軸的非負半半軸上;又由cosα≥≥0知,α終邊在第一一象限,或第四象限限,或x軸的非負半半軸上.故α終邊在第一一象限.[剖析]錯解的解答答中由sinα≥≥0和cosα≥≥0確定α終邊位置時時,分別遺漏了了x軸和y軸的情形,造成錯誤.[正解]由sinα≥≥0知,α終邊在第一一象限或第第二象限,或x軸,或y軸的非負半半軸上;由cosα≥≥0知,α終邊在第一一象限或第第四象限,或y軸,或x軸的非負半半軸上.故α終邊在第一一象限,或x軸的非負半半軸上,或y軸的非負半半軸上.技法一等等分單位圓圓一?單位圓的二二?四等分法在單元圓中中,當角α=kπ+或α=kπ±±(k∈R)(此時|sinαα|=|cosα|)時,其終邊分單單位圓為二二?四等份的情情況如下圖圖1?圖2.表1:大小關(guān)系sinα>cosαsinα<cosα終邊范圍圖1中Ⅰ圖1中Ⅱ大小關(guān)系|sinα|>|cosα||sinα|<|cosα|終邊范圍圖2中1?3圖2中2?4【典例1】在(0,2π)內(nèi),使sinαα>cosα成立的α的取值范范圍為()[解析]由圖1和表1可知此題題選B.[答案]B二?標象限法法在單位圓圓中,當角α=(k∈Z)時,角的終邊邊和坐標標軸重合合,其終邊分分單位圓圓為四個個象限的的情況如如下圖.表2:3.單位圓的的八等分分法在單位圓圓中,當α=(k∈Z)時,其終邊分分單位圓圓為八等等份的情情況如上上圖.表3:大小關(guān)系-1<sinα+cosα≤00≤sinα+cosα<1終邊范圍圖4中4?7圖4中3?8大小關(guān)系-1<sinα-cosα≤00≤sinα-cosα<1終邊范圍圖4中1?6圖4中2?5特