《走向清華北大》高考總復(fù)習(xí) 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)課件

第四模塊三角函數(shù)第十六講任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)回歸課本1.角的概念角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形．旋轉(zhuǎn)開始時(shí)的射線OA叫做角的始邊，旋轉(zhuǎn)終止時(shí)的射線OB叫做角的終邊，按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫做正角，按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫做負(fù)角．若一條射線沒作任何旋轉(zhuǎn)，稱它形成了一個(gè)零角．2．象限角把角置于直角坐標(biāo)系中，使角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合．那么，角的終邊在第幾象限，我們就說這個(gè)角是第幾象限角．象限角象限角α的集合表示第一象限角{α|k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z}第二象限角{α|k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°，k∈Z}第三象限角{α|k·360°＋180°＜α＜k·360°＋270°，k∈Z}第四象限角{α|k·360°－90°＜α＜k·360°，k∈Z}3.象限界角(即軸線角)角α終邊位置角α的集合在x軸非負(fù)半軸上{α|α＝k·360°，k∈Z}在x軸非正半軸上{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}在y軸非負(fù)半軸上{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}在y軸非正半軸上{α|α＝k·360°－90°，k∈Z}在x軸上{α|α＝k·180°，k∈Z}在y軸上{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}注意：如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限，即為象限界角(或軸線角)．4．終邊相同的角所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}或S＝{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}，前者α用角度制表示，后者α用弧度制表示．注意：(1)終邊相同的角不一定相等，但相等的角的終邊一定相同，終邊相同的角有無數(shù)個(gè)，它們相差周角的整數(shù)倍．(2)一般地，終邊相同的角或通式表達(dá)形式不唯一，如α＝k·180°＋90°(k∈Z)與β＝k·180°－90°(k∈Z)都表示終邊在y軸上的所有角．(3)應(yīng)注意整數(shù)k為奇數(shù)、偶數(shù)的討論．5．弧度制(1)把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫1弧度的角．以弧度作為單位來度量角的單位制，叫做弧度制，它的單位符號是rad，讀作弧度．(2)一般地，正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0.6．度與弧度度的換算關(guān)關(guān)系∵周角的為為1度的角即周周角＝＝1°，周周角＝＝1rad∴360°＝2πrad∴180°=πrad,1°=rad,1rad＝°≈57°18′.7．扇形的半半徑為R，弧長為l，α(0＜α＜2π)為圓心角弧長l＝αR，即弧長等等于該弧所對的的圓心角的的弧度數(shù)乘乘以半徑．．扇形面積S＝l·R＝α·R2.8．在直角坐坐標(biāo)系中利利用單位圓圓的定義求求任意角的的三角函數(shù)數(shù)設(shè)α是一個(gè)任意意角，它的的終邊與單單位圓交于于點(diǎn)P(x，y)，那么：(1)y叫做α的正弦，記作sinα，即sinα＝y(tǒng)；(2)x叫做α的余弦，記作cosα，即cosα＝x；(3)y,x叫做α的正切，記作tanα，即tanα＝(x≠0)．9．利用角α終邊上任意意一點(diǎn)的坐坐標(biāo)定義三三角函數(shù)設(shè)直角坐標(biāo)標(biāo)系中任意意大小的角角α終邊上任意意一點(diǎn)的坐坐標(biāo)為(x，y)，它與原點(diǎn)點(diǎn)的距離是是r(r＞0)，那么任意意角的三角角函數(shù)的定定義：注意：要特特別注意三三角函數(shù)的的定義域．．10．各象限角角的三角函函數(shù)值和符符號如圖所所示三角函數(shù)正正值口訣：：Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ正切，Ⅳ余弦．11．終邊相同同的角的同同一三角函函數(shù)的值相等，即sin(α＋k·2π)＝sinαcos(α＋k·2π)＝cosα(其中k∈Z)tan(α＋k·2π)＝tanα12．三角函數(shù)數(shù)線圖中有向線線段MP，OM，AT分別表示正弦線、余弦線和正切線．注意：當(dāng)角角α的終邊與x軸重合時(shí)，，正弦線、、正切線分分別變成一一個(gè)點(diǎn)，此此時(shí)角α的正弦值和和正切值都都為0；當(dāng)角α的終邊與y軸重合時(shí)，，余弦線變變成一個(gè)點(diǎn)點(diǎn)，正切線線不存在，，此時(shí)角α的正切值不不存在．考點(diǎn)陪練1.已知集合A＝{第一象限角角}，B＝{銳角}，C＝{小于90°的角}，下列四個(gè)個(gè)命題：①A＝B＝C，②AC，③CA，④A∩C＝B，其中正確確命題的個(gè)個(gè)數(shù)為()A．0B．1C．2D．3答案：A2.將分針撥快快10分鐘,則分針轉(zhuǎn)過過的弧度數(shù)數(shù)是()答案:B答案:B4.有下列命題題:(1)終邊相同的的角的同名名三角函數(shù)數(shù)的值相等等;(2)終邊不同的的角的同名名三角函數(shù)數(shù)的值不等等;(3)若sinα>0,則α是第一?二象限的角角;(4)若α是第二象限限的角,且P(x,y)是其終邊上上一點(diǎn),則cosα=其中正確的的命題的個(gè)個(gè)數(shù)是()A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)解析:根據(jù)任意角角三角函數(shù)數(shù)的定義知知(1)正確;對(2),我們可舉出出反例對(3),可指出,但不不是第一?二象限的角角;對(4),因?yàn)棣潦堑诙笙尴薜慕?已有x<0,應(yīng)是cosα=.答案:A5.若sinα<0且tanα>0,則α是()A.第一象限角角B.第二象限角角C.第三象限角角D.第四象限角角解析:∵sinα<0,∴α是第三?四象限的角角或角的終終邊在y軸負(fù)半軸上上.又∵tanα>0,∴αα是第一?三象限的角角.∴α是第三象限限的角.答案:C類型一角角的集合表表示解題準(zhǔn)備:(1)任意角β都可以表示示成β=α+k·360°(0°≤αα<360°,k∈∈Z).(2)并不是所有有角都是某某象限角,當(dāng)角的終邊邊落在坐標(biāo)標(biāo)軸上時(shí),它就不屬于于任何象限限.(3)相等的角終終邊一定相相同,終邊相同的的角不一定定相等,終邊相同的的角有無數(shù)數(shù)個(gè),它們相差360°的整數(shù)倍.(4)注意“第一象限角角”?“銳角”?“小于90°的角”是范圍不同同的三類角角,需加以區(qū)別別.【典例1】(1)如果α是第三象限限角,那么-α,2αα的終邊落在在何處?(2)寫出終邊在在直線上上的的角的集合合;(3)若角θ的終邊與角角的終終邊相同,求在[0,2ππ)內(nèi)終邊與角角的的終邊相同同的角.[分析]利用終邊相相同的角的的集合進(jìn)行行求解.[解](1)由α是第三象限限角得π+2kππ<α<+2kπ(k∈∈Z)-2kπ<-α<-π-2kπ(k∈∈Z).即+2kπ<-α<ππ+2kππ(k∈Z).∴-α的終邊在第第二象限;由π+2kππ<α<+2kπ(k∈∈Z)得2π+4kπ<2αα<3π+4kπ(k∈Z).∴角2α的終邊在第第一或第二二象限或y軸的非負(fù)半半軸上.(2)在(0,π)內(nèi)終邊在直直線上上的角角是∴終邊在直直線上上的的角的集合合為{α|α=+kπ,k∈∈Z}.(3)∵θθ=+2kπ(k∈Z),∴(k∈Z).[反思感悟](1)利用終邊相相同的角的的集合S={β|β=2kπ+α,k∈Z}判斷一個(gè)角角β所在的象限限時(shí),只需把這個(gè)個(gè)角寫成[0,2ππ)范圍內(nèi)的一一個(gè)角α與2π的整數(shù)倍,然后判斷角角α所在的象限限.(2)利用終邊相相同的角的的集合可以以求適合某某些條件的的角,方法是先寫寫出與這個(gè)個(gè)角的終邊邊相同的所所有角的集集合,然后通過對對集合中的的參數(shù)k賦值來求得得所需角.類型二扇扇形弧長,面積公式應(yīng)應(yīng)用解題準(zhǔn)備:設(shè)扇形的弧弧長為l,圓心角大小小為α(弧度),半徑為r,則l=|α|·r;S扇形=|α|r2.注意:這里給出的的弧長?扇形面積公公式是在弧弧度制下的的,使用時(shí)切記記將圓心角角用弧度來來表示.【典例2】已知一扇形形的中心角角是α,所在圓的半半徑為r.(1)若α=60°°,r=10cm,求扇形的弧弧長及該弧弧所在的弓弓形面積;(2)若扇形的周周長是一定定值c(c>0),當(dāng)α為多少弧度度時(shí),該扇形有最最大面積?∴當(dāng)扇形圓心心角為2弧度時(shí),扇形面積有有最大值.類型三三三角函數(shù)的的定義解題準(zhǔn)備:(1)任意角的三三角函數(shù)值值,只與角的終終邊位置有有關(guān),而與終邊上上的點(diǎn)的位位置無關(guān);(2)當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)中含含字母時(shí),表達(dá)r時(shí)要注意分分類討論思思想的應(yīng)用用.【典例3】已知α的終邊經(jīng)過過點(diǎn)P(-4a,3a)(a≠0),求sinα??cosαα?tanα的值.[分析]根據(jù)任意角角三角函數(shù)數(shù)的定義,應(yīng)首先求出出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距距離r,由于含有參參數(shù)a,要注意分類類討論.[反思感悟](1)當(dāng)角α的終邊上點(diǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)以以參數(shù)形式式給出時(shí),要根據(jù)問題題的實(shí)際及及解題的需需要對參數(shù)數(shù)進(jìn)行分類類討論.(2)熟記幾組常常用的勾股股數(shù)組,如(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),(8,15,17),(9,40,41)等,會給我們解解題帶來很很多方便.(3)若角α已經(jīng)給定,不論點(diǎn)P選擇在α的終邊上的的什么位置置,角α的三角函數(shù)數(shù)值都是確確定的;另一方面,如果角α終邊上一點(diǎn)點(diǎn)坐標(biāo)已經(jīng)經(jīng)確定,那么根據(jù)三三角函數(shù)定定義,角α的三角函數(shù)數(shù)值也都是是確定的.類型四象象限角與三三角函數(shù)符符號問題解題準(zhǔn)備:三角函數(shù)的的符號如下下表正值口訣:Ⅰ全正?Ⅱ正弦?Ⅲ正切?Ⅳ余弦.【典例4】(1)如果點(diǎn)P(sinθ?cosθ,2cosθ)位于第三象象限,試判斷角θ的終邊所在在的象限.(2)若θ是第二象限限角,則的的符號號是什么?[分析](1)由點(diǎn)P所在的象限限,知道sinθ?cosθ,2cosθ的符號,從而可求sinθ與cosθ的符號.(2)由θ是第二象限限角,可求cosθ,sin2θ的范圍,進(jìn)而把cosθ,sin2θ看作一個(gè)用用弧度制的的形式表示示的角,并判斷其所所在的象限限,從而sin(cosθ),cos(sin2θ)的符號可定定.[解](1)因?yàn)辄c(diǎn)P在第三象限限,∴sinθθ?cosθ<0且2cosθθ<0,因此必有sinθ>0,cosθ<0,故θ的終邊在第第二象限.(2)因?yàn)棣仁堑诙笙尴藿?所以cosθ<0,且-1≤cosθ<0,即cosθ是第四象限限角,因此sin(cosθ)<0;又sin2θθ=2sinθ?cosθ<0,所以-1≤sin2θ<0,即sin2θθ也是第四象象限角,因此cos(sin2θ)>0.故[反思感悟]此處要正確確理解sin(cosθ)的含義,sin(cosθθ)中,是把角θ的余弦值(一個(gè)實(shí)數(shù))作為一個(gè)角角的弧度數(shù)數(shù),求該角的正正弦值,因此只需研研究cosθ這個(gè)角的范范圍(所在象限)即可.錯(cuò)源一忽忽視表示示區(qū)間角的的不等式兩兩端的大小小關(guān)系【典例1】用集合表示示終邊在陰陰影部分的的角α的集合.[錯(cuò)解]由圖可知,終邊落在射射線OA上的角為2kπ+(k∈Z),終邊落在射射線OB上的角為2kπ-(k∈Z).所以終邊落落在圖中陰陰影部分的的集合為α∈{α|2kπ+≤α≤≤2kπ-,k∈Z}.[剖析]上面集合中中的關(guān)于角角的不等式式是一個(gè)矛矛盾的不等等式,左邊的比右右邊的大.[正解]由圖知,終邊落在射射線OA上的角為2kπ+(k∈Z),終邊落在射射線OB上的角為2kπ+(k∈Z).所以終邊落落在圖中陰陰影部分的的集合為α∈{α|2kπ+≤≤α≤≤2kπ+,k∈Z}.[評析]利用終邊相相同的角的的表達(dá)式表表示區(qū)域角角要把握兩兩條原則:(1)按逆時(shí)針方方向書寫;(2)表示區(qū)域角角的不等式式兩個(gè)端點(diǎn)點(diǎn)值的差必必須是終邊邊落在兩條條邊界射線線(或直線)上的最小差差值.錯(cuò)源二利利用三角角函數(shù)值符符號判斷角角的位置時(shí)時(shí),忽視軸線角角而致錯(cuò)【典例2】已知sinα≥≥0,cosα≥0,試確定α終邊的位置置.[錯(cuò)解]由sinα≥≥0知,α終邊在第一一象限,或第二象限限,或y軸的非負(fù)半半軸上;又由cosα≥≥0知,α終邊在第一一象限,或第四象限限,或x軸的非負(fù)半半軸上.故α終邊在第一一象限.[剖析]錯(cuò)解的解答答中由sinα≥≥0和cosα≥≥0確定α終邊位置時(shí)時(shí),分別遺漏了了x軸和y軸的情形,造成錯(cuò)誤.[正解]由sinα≥≥0知,α終邊在第一一象限或第第二象限,或x軸,或y軸的非負(fù)半半軸上;由cosα≥≥0知,α終邊在第一一象限或第第四象限,或y軸,或x軸的非負(fù)半半軸上.故α終邊在第一一象限,或x軸的非負(fù)半半軸上,或y軸的非負(fù)半半軸上.技法一等等分單位圓圓一?單位圓的二二?四等分法在單元圓中中,當(dāng)角α=kπ+或α=kπ±±(k∈R)(此時(shí)|sinαα|=|cosα|)時(shí),其終邊分單單位圓為二二?四等份的情情況如下圖圖1?圖2.表1:大小關(guān)系sinα>cosαsinα<cosα終邊范圍圖1中Ⅰ圖1中Ⅱ大小關(guān)系|sinα|>|cosα||sinα|<|cosα|終邊范圍圖2中1?3圖2中2?4【典例1】在(0,2π)內(nèi),使sinαα>cosα成立的α的取值范范圍為()[解析]由圖1和表1可知此題題選B.[答案]B二?標(biāo)象限法法在單位圓圓中,當(dāng)角α=(k∈Z)時(shí),角的終邊邊和坐標(biāo)標(biāo)軸重合合,其終邊分分單位圓圓為四個(gè)個(gè)象限的的情況如如下圖.表2:3.單位圓的的八等分分法在單位圓圓中,當(dāng)α=(k∈Z)時(shí),其終邊分分單位圓圓為八等等份的情情況如上上圖.表3:大小關(guān)系-1<sinα+cosα≤00≤sinα+cosα<1終邊范圍圖4中4?7圖4中3?8大小關(guān)系-1<sinα-cosα≤00≤sinα-cosα<1終邊范圍圖4中1?6圖4中2?5特