《走向清華北大》高考總復(fù)習(xí) 平面向量的概念及線性運(yùn)算課件

第五模塊平面向量第二十三講平面向量的概念及線性運(yùn)算回歸課本1.向量的概念(1)把既有大小又有方向的量叫做向量.(2)把只有大小,沒(méi)有方向的量(如年齡?身高?長(zhǎng)度?面積?體積?質(zhì)量等),稱為數(shù)量.(3)向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度(或模).長(zhǎng)度為零的向量叫零向量,記作0,零向量的方向任意,規(guī)定零向量與任意向量平行(共線).(4)相等向量是指大小相等,方向相同的向量;相反向量是指大小相等,方向相反的向量,規(guī)定零向量的相等向量是0,零向量的相反向量是0.(5)方向相同或相反的向量叫平行向量,也叫共線向量.長(zhǎng)度為1的向量叫做單位向量.2.向量的線性運(yùn)算(1)向量加法的定義已知向量a?b,如圖,平面內(nèi)任取一點(diǎn)A,作b,再作則叫做a與b的和,記作a+b.即求兩個(gè)向量和的運(yùn)算叫做向量的加法.(2)向量求和的三角形法則利用向量加法的定義求兩個(gè)向量和的作圖法則,叫做向量求和的三角形法則.在運(yùn)用此法則時(shí),要注意“首尾相接”,即兩個(gè)向量的和向量是從第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向第二個(gè)向量終點(diǎn)的向量.(3)向量求和的平行四邊形法則已知兩個(gè)不共線向量a?b,作對(duì)A?B?D三點(diǎn)不共線,以AB?AD為鄰邊作平行四邊形ABCD,則對(duì)角線上的向量是=a+b,這個(gè)法則叫做兩向量求和的平行四邊形法則.(4)向量的減法向量a加上向量b的相反向量叫做a與b的差,記作a-b,若則(5)實(shí)數(shù)與向量積的定義:實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量,記作λa,|λa|=|λ||a|,當(dāng)λ>0時(shí),λa與a方向相同;λ<0時(shí),λa與a方向相反;λ=0時(shí),λa=0.(6)向量的加法?減法和向量的數(shù)乘的綜合運(yùn)算通常叫做向量的線性運(yùn)算.向量加法的交換律表達(dá)式為a+b=b+a;向量加法的結(jié)合律表達(dá)式為(a+b)+c=a+(b+c).若λ,μ為實(shí)數(shù),則(λ+μ)a=λa+μaλ(μa)=λμaλ(a+b)=λa+λb.3.向量共線的的條件平行向量基基本定理:如a=λb,則a∥b,如果a∥b(b≠0),則存在惟一實(shí)數(shù)λ使a=λb.考點(diǎn)陪練答案:B答案:BA.A?B?C三點(diǎn)必在同同一直線上上B.△ABC必為等腰三三角形且∠∠B為頂點(diǎn)C.△ABC必為直角三三角形且∠∠B為直角D.△ABC必為等腰直直角三角形形答案:C答案:D答案:C類型一向向量的有關(guān)關(guān)概念解題準(zhǔn)備:準(zhǔn)確理解向向量的基本本概念是解解決這類題題目的關(guān)鍵鍵.共線向量即即為平行向向量,非零向量平平行具有傳傳遞性,兩個(gè)向量方方向相同或或相反就是是共線向量量,與向量長(zhǎng)度度無(wú)關(guān),兩個(gè)向量方方向相同且且長(zhǎng)度相等等,才是相等向向量.共線向量或或相等向量量均與向量量起點(diǎn)無(wú)關(guān)關(guān).【典例1】判斷下列命命題是否正正確(1)若|a|=|b|,則a=b;(2)若A?B?C?D是不共線的的四點(diǎn),則是是四邊邊形ABCD為平行四邊邊形的充要要條件;(3)若a=b,b=c,則a=c;(4)a=b的充要條件件是(5)|a|=|b|是a=b的必要不充充分條件.(6)平行向量就就是共線向向量;(7)相反向量一一定是平行行向量;(8)平面內(nèi)4個(gè)不同點(diǎn)A?B?C?D共線的充要要條件是存存在非零實(shí)實(shí)數(shù)k,使得(9)已知a是任一個(gè)非非零向量,則是是一個(gè)單單位向量.[解](1)不正確,兩個(gè)向量的的長(zhǎng)度相等等,但它們的方方向不一定定相同,因此,由|a|=|b|不能推出a=b.(2)正確,∵,且又又∵A?B?C?D是不共線的的四點(diǎn),∴四邊形ABCD是平行四邊邊形.反之,若四邊形ABCD是平行四邊邊形,則且且與與方向相同,因此(3)正確,∵a=b,∴a??b的長(zhǎng)度相等等且方向相相同.又∵b=c,∴∴b?c的長(zhǎng)度相等等且方向相相同.∴a?c的長(zhǎng)度相等等且方向相相同,故a=c.(4)不正確,當(dāng)a∥b且方向相反反時(shí),即使|a|=|b|也不能得到到a=b.故不不是a=b的充要條件件,而是必要不不充分條件件.(5)正確,∵|a|=|b|?a=b,但a=b?|a|=|b|.∴|a|=|b|是a=b的必要不充充分條件.(6)正確.不同于平面面幾何中的的平行與共共線的概念念,向量的平行行與共線是是同一概念念.(7)正確.由相反向量量的定義可可知(7)正確.(8)不正確.點(diǎn)的共線與與向量的共共線是不同同的概念.(9)正確.由單位向量量的定義可可知模長(zhǎng)為為1的向量即為為單位向量量,而[答案](1)(4)(8)不正確,(2)(3)(5)(6)(7)(9)正確[反思感悟]熟練掌握有有關(guān)基本概概念是解決決此類小題題的關(guān)鍵.類型二向向量的線性性運(yùn)算及應(yīng)應(yīng)用解題準(zhǔn)備:1.向量的加法法:(1)定義:求兩個(gè)向量量和的運(yùn)算算,叫做向量的的加法;(2)法則:三角形法則則,平行四邊形形法則;(3)運(yùn)算律:a+b=b+a;(a+b)+c=a+(b+c).2.向量的減法法:(1)定義:求兩個(gè)向量量差的運(yùn)算算,叫做向量的的減法;(2)法則:三角形法則則.(3)常用于向量式式的化簡(jiǎn).3.實(shí)數(shù)與向量的的積:(1)定義:實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向向量,記作λa,規(guī)定:|λa|=|λ||a|.當(dāng)λ>0時(shí),λa的方向與a的方向相同;當(dāng)λ<0時(shí),λa的方向與a的方向相反;當(dāng)λ=0時(shí),λa=0.由此可見(jiàn),總有λa與a平行;(2)運(yùn)算律:λ(ua)=(λu)a,(λ+u)a=λλa+ua,λ(a+b)=λa+λb.[反思感悟]在求向量時(shí)要要盡可能轉(zhuǎn)化化到平行四邊邊形或三角形形中,選用從同一頂頂點(diǎn)發(fā)現(xiàn)的基基本向量或首首尾相連的向向量,運(yùn)用向量加、、減法運(yùn)算及及數(shù)乘運(yùn)算來(lái)來(lái)求解,即充分利用相相等向量、相相反向量和線線段的比例關(guān)關(guān)系,運(yùn)用三角形、、平行四邊形形法則,充分利用三角角形中的中位位線,相似三角形對(duì)對(duì)應(yīng)邊成比例例的平面幾何何的性質(zhì),把未知向量轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為與已知知向量有直接接關(guān)系的向量量來(lái)求解.類型三 數(shù)乘乘向量與共線線向量定理的的應(yīng)用解題準(zhǔn)備:(1)向量共線是指指存在實(shí)數(shù)λ使兩向量互相相表示.(2)向量共線的充充要條件中,通常只有非零零向量才能表表示與之共線線的其他向量量,要注意待定系系數(shù)法的運(yùn)用用和方程思想想.(3)證明三點(diǎn)共線線問(wèn)題,可用向量共線線來(lái)解決,但應(yīng)注意向量量共線與三點(diǎn)點(diǎn)共線的區(qū)別別與聯(lián)系,當(dāng)兩向量共線線且有公共點(diǎn)點(diǎn)時(shí),才能得出三點(diǎn)點(diǎn)共線.(2)∵ka+b與a+kb共線,∴存在實(shí)數(shù)λ,使ka+b=λλ(a+kb),即ka+b=λλa+λkb.∴(k-λ)a=(λk-1)b.∵a、b是不共線的兩兩個(gè)非零向量量.∴k-λ=λλk-1=0,∴k2-1=0.∴k=±1.[反思感悟](1)向量共線的充充要條件中要要注意當(dāng)兩向向量共線時(shí),通常只有非零零向量才能表表示與之共線線的其他向量量,要注意待定系系數(shù)法的運(yùn)用用和方程思想想.(2)證明三點(diǎn)共線線問(wèn)題,可用向量共線線來(lái)解決,但應(yīng)注意向量量共線與三點(diǎn)點(diǎn)共線的區(qū)別別與聯(lián)系,當(dāng)兩向量共線線且有公共點(diǎn)點(diǎn)時(shí),才能得到三點(diǎn)點(diǎn)共線.錯(cuò)源一 忽視視零向量性質(zhì)質(zhì)致誤【典例1】下列敘述錯(cuò)誤誤的是________.①若a∥b,b∥∥c,則a∥c;②若非零向量a與b方向相同或相相反,則a+b與a、b之一的方向相相同;③|a|+|b|=|a+b|a與b方向相同;④向量b與向量a共線的充要條條件是有且只只有一個(gè)實(shí)數(shù)數(shù)λ,使得b=λa;⑤⑥若λa=λb,則a=b.[剖析]忽視零向量的的特殊性是本本題出錯(cuò)的主主要原因,本題前四個(gè)結(jié)結(jié)論都與此有有關(guān);另外兩個(gè)相反反向量的和是是一個(gè)零向量量,不是實(shí)數(shù)零;最后一個(gè)結(jié)論論可能忽視了了λ=0的情況.[正解]這六個(gè)命題都都是錯(cuò)誤的,因?yàn)閷?duì)于①,當(dāng)b=0,a不一定與c平行;對(duì)于②,當(dāng)a+b=0時(shí),其方向任意,它與a、b的方向都不相相同;對(duì)于③,當(dāng)a、b之一為零向量量時(shí)結(jié)論不成成立;對(duì)于④,當(dāng)a=0,且b=0,λ有無(wú)數(shù)個(gè)值;當(dāng)a=0但b≠0,λ不存在.對(duì)于⑤,由于兩個(gè)向量量之和得到的的仍是一個(gè)向向量,所以對(duì)于⑥,當(dāng)λ=0時(shí),不管a與b的大小與方向向如何,都有λa=λb,此時(shí)不一定有有a=b.[答案]①②③④⑤⑤⑥[評(píng)析]零向量的特殊殊性零向量是向量量中最特殊的的向量,規(guī)定零向量的的長(zhǎng)度為0,其方向是任意意的,零向量與任意意向量都共線線.它在向量中的的位置正如實(shí)實(shí)數(shù)中0的位置一樣,但有了它容易易引起一些混混淆,稍微考慮不到到就會(huì)出錯(cuò),考生應(yīng)給予足足夠的重視.錯(cuò)源二 錯(cuò)用用實(shí)數(shù)運(yùn)算律律或運(yùn)算法則則[錯(cuò)解]|a+b+c|=|a|+|b|+|c|=[剖析]上述解法受實(shí)實(shí)數(shù)運(yùn)算律和和運(yùn)算法則的的影響致錯(cuò).[答案]4技法一 數(shù)形形結(jié)合思想【典例1】已知任意四邊邊形ABCD,O為其內(nèi)部一點(diǎn)點(diǎn),且滿足試確定該點(diǎn)的的位置.[解題切入點(diǎn)]條件中涉及四四個(gè)向量的和和的問(wèn)題,為了利用向量量的加法法則則,我們可把四個(gè)個(gè)向量之和的的問(wèn)題,轉(zhuǎn)化為向量?jī)蓛蓛上嗉拥那榍樾蝸?lái)解決.[解]點(diǎn)O是四邊形ABCD對(duì)邊中點(diǎn)連線線的交點(diǎn),證明如下:如圖,以O(shè)A、OD為鄰邊作AODE,設(shè)OE與AD交于I;以O(shè)B、OC為鄰邊作BOCF,設(shè)OF與BC交于J,于是I、J分別是AD