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文檔簡介
向量法求空間距離(配套練習的答案)1.已知在直三棱柱ABC A1B1C1中,AB
4,AC
BC
3,D
為AB
的中點.(1)求點
C到平面
A1ABB1的距離;(2)若AB AC,求二面角A CD C的平面角1 1 1 1的余弦值.解:(1)記A1B1的中點為M,分別以DB,DC,DM為x,y,z軸,(如圖)建立坐標系:可設(shè)AA1m,則A(2,0,0),B(2,0,0),C(0,5,0),A1(2,0,m),B1(2,0,m)顯而易見:平面A1ABB1的法向量為n(0,1,0),CA(2,5,0),所以,點C到面A1ABB1的距離為h|nCA||5|5|n|1(2)cos6.(過程略)32.如圖,四棱錐
P
ABCD
中,
ABC
BAD
90,BC
2AD,PAB與
都是邊長為
2的等邊三角形
.(1)證明:PB CD(2)求點A到平面PCD解:(1)取BC的中點E連結(jié)是正方形
的距離.DE,則
ABED過P
作PO
平面
ABCD
,垂足為
O.連結(jié)OA,OB,OD,OE
.由
PAB
和
PAD
都是等邊三角形知
PA
PB
PD
,所以O(shè)A
OB
OD
,即點
O為正方形
ABED
對角線的交點,故
OE
BD
,從而
PB
OE
.
因為
O是BD
的中點,
E是BC
的中點,所以
OE//CD
,因此
PB
CD
.(2).
如圖建立空間直角坐標系:
D(0,0,0),C(2,
2,0),P(1,1,
2),A(0,2,0)設(shè)n(x,y,z)為平面PCD的法向量,DC(2,2,0),DP(1,1,2),DA(0,2,0),則nDC得nDC(x,y,z)(2,2,0)2x2y0,令x1,nDPnDP(x,y,z)(1,1,2)xy2z0則n(1,1,2),即h|nDA21.||||n|4所有:A到平面PCD的距離為1.3.如圖,在多面體ABCDE中,ABDE是平行四邊形,AB、AC、AD兩兩垂直.(1)求證:平面ACD平面ECD;(2)若BCCDDB2,求點B到平面ECD的距離.解:(1)證明:∵ABAC,ABAD,ACADA,∴AB平面ACD,∵ABDE是平行四邊形,∴AB//DE,∴DE平面ACD,∵DE平面CDE,∴平面ACD平面ECD.(2).解:如圖,以A為坐標原點,建立空間直角坐標系:由已知條件可得:A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,0,1),D(0,1,0),E(1,1,0),設(shè)n(x,y,z)為平面ECD的法向量,EC(1,1,1),ED(1,0,0),BC(1,0,1),則nEC得nEC(x,y,z)(1,1,1)xyz0,令y1,nEDnED(x,y,z)(1,0,0)x0則n(0,1,1),即h|nBC||1|2|n|22.即B到平面CDE的距離為2.24.正三棱柱ABCA1B1C1的底面邊長為8,對角線B1C10,D是AC的中點.1)求點B1到直線AC的距離;(2)求直線AB1到平面C1BD的距離.解:(1)連結(jié) BD,B1D,由三垂線 定理可得:B1DAC,所以B1D就是B1點到直線AC的距離。在RtBBD中BB1B1C2BC2102826,BD43.1BDBD2BB2221.11(2)解:直線AB到平面CBD的距離即為點A到平面CBD的距離.111如圖,建立空間直角坐標系:由已知條件可得:A(0,4,0),B(43,0,0),C(0,4,0),D(0,0,0),C1(0,4,6),B1(43,0,6),設(shè)n(x,y,z)為平面C1BD的法向量,BC1(43,4,6),BD(43,0,0),AB(43,4,0),則nBC1得nBC1(x,y,z)(43,4,6)43x4y6z0,令y3,nB
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