【優(yōu)化方案】高考數(shù)學總復習 第2章§2.1映射、函數(shù)及反函數(shù)精品課件 大綱人教

§2.1映射、函數(shù)及反函數(shù)

考點探究·挑戰(zhàn)高考考向瞭望·把脈高考2.1映射、函數(shù)及反函數(shù)雙基研習·面對高考雙基研習·面對高考1．映射(1)定義：設(shè)A，B是兩個集合，如果按照某種對應(yīng)關(guān)系f，對于集合A中的任何一個元素，在集合B中都有_____的元素和它對應(yīng)，那么，這樣的對應(yīng)(包括集合A，B，以及集合A到集合B的對應(yīng)關(guān)系f)叫做集合A到集合B的_____，記作f：A→B.基礎(chǔ)梳理唯一映射(2)象和原象：給定一個集合A到集合B的映射，且a∈A，b∈B，如果元素a和元素b對應(yīng)，那么，我們把元素b叫做元素a的___，元素a叫做元素b的_____．2．函數(shù)(1)函數(shù)的定義設(shè)A，B是非空的數(shù)集，如果按某個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的_____一個數(shù)x，在集合B中都有_____確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)．記作y＝f(x)，x∈A，x的取值集合A叫做函數(shù)的______，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}，叫做函數(shù)的_____．象原象任意唯一定義域值域(2)函數(shù)的三要素______、_____和對應(yīng)法則．(3)函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法有：______、解析法、______．定義域值域列表法圖象法3．反函數(shù)的定義設(shè)式子y＝f(x)表示y是x的函數(shù)，定義域為A，值域為C，從式子y＝f(x)中解出x，得到式子_______，如果對于y在C中的任何一個值，通過式子x＝φ(y)，x在A中都有唯一確定的值和它對應(yīng)，那么式子x＝φ(y)就表示x是y的函數(shù)，這樣的函數(shù)，叫做函數(shù)y＝f(x)的反函數(shù)，記作x＝f－1(y)，即x＝φ(y)＝f－1(y)，一般對調(diào)x＝f－1(y)中的字母x，y把它改寫成________．x＝φ(y)y＝f－1(x)4．反函數(shù)四個引申性質(zhì)原函數(shù)反函數(shù)原象與象的唯一互對性f(a)＝b?_________f－1(b)＝aCA單調(diào)相同思考感悟1．映射f：A→B與映射f：B→A是同一個映射嗎？提示：不一定．映射f：A→B必須滿足：(1)A中元素無剩余，且A中任何元素必須有象且唯一；(2)B中元素可以有剩余，即B中元素不一定有原象；(3)若集合A中有m個元素，集合B中有n個元素，則可構(gòu)成映射f：A→B有nm個，映射f：B→A有mn個．2．映射與函數(shù)有什么區(qū)別？提示：映射不一定是函數(shù)，但函數(shù)一定是某一個映射；映射的兩個集合可以是任意非空集合，函數(shù)的集合一定是非空數(shù)集．1．在映射f：A→B中，下列判斷斷正確的是()A．A中的元素a的象可能不只只一個B．A中的兩個元素素a1和a2的象必不同C．B中的元素b的原象可能不不只一個D．B中的兩個不同同元素b1和b2的原象可能相相同答案：C課前熱身答案：D答案：D答案：(0,2)考點探究·挑戰(zhàn)高考考點一映射的概念映射是一種特特殊的對應(yīng)，，判斷對應(yīng)是是否為映射，，關(guān)鍵有兩點點：一是A中元素必須都都有象且唯一一，二是B中元素不一定定有原象，且且A中不同的元素素在B中可以有相同同的象．一般般地，“一對一”“多對一”的對應(yīng)關(guān)系可可構(gòu)成映射，，“一對多”不是映射．設(shè)A＝{1,2,3,4,5}，B＝{1,3,7,15,31,33}，下列的對應(yīng)應(yīng)法則f能構(gòu)成從A到B的映射的是()A．f：x→x2＋x＋1B．f：x→x＋(x－1)2C．f：x→2x－1－1D．f：x→2x－1【思路分析】根據(jù)映射定義義，對于集合合A中的任何元素素，按照對應(yīng)應(yīng)法則f，在集合B中是否有唯一一的元素與它它對應(yīng)．例1【解析】∵當x＝4時，x2＋x＋1＝21?B；當x＝4時，x＋(x－1)2＝13?B；當x＝1時，2x－1－1＝20－1＝0?B，∴A、B、C都不構(gòu)成從A到B的映射．對于D，經(jīng)驗證，x＝1,2,3,4,5時2x－1的值分別為1,3,7,15,31.又映射并不要要求B中的任何元素素都有原象，，∴應(yīng)選D.【領(lǐng)悟歸納】判斷從A到B的映射，務(wù)必必用A中的任何元素素在B中找對應(yīng)的象象，切不可顛顛倒．此類問題有時時是單獨的一一個小題，有有時作為解答答題的某一過過程．但考查查的都是常見見函數(shù)的通法法，待定系數(shù)數(shù)法、換元法法、消元法等等．如果已知知函數(shù)解析式式的類型，可可用待定系數(shù)數(shù)法；已知復復合函數(shù)的表表達式時，可可用換元法，，這時要注意意“元”的范圍；當已已知表達式比比較簡單時，，也可以用配配方法；若已已知抽象的函函數(shù)表達式，，則常用解方方程組，消元元的方法求出出解析式．考點二求函數(shù)解析式例2【思路分析】①可用配湊法法，②可用換換元法，③可可用方程組法法．求反函數(shù)解析析式的三步曲曲：“一解”、“二換”、“三定義”．所謂一解，，即首先由給給出的原函數(shù)數(shù)的解析式y(tǒng)＝f(x)，反解出用y表示x的式子x＝f－1(y)；二換，即將將x＝f－1(y)中的x，y兩個字母互換換，得到y(tǒng)＝f－1(x)即為所求的反反函數(shù)(即先解后換)；三定義，即即求出反函數(shù)數(shù)的定義域(即原函數(shù)的值值域)．參考本節(jié)教教材例1及復習參考題題B組7題．考點三求反函數(shù)解析式例3【思路分析】求原函數(shù)值域域→反解x→交換x、y→得反函數(shù)．【領(lǐng)悟歸納】本題求反函數(shù)數(shù)的過程中，，要注意開方方時，是取“正”還是取“負”．這種問題沒有有給出具體的的函數(shù)解析式式，只是借用用抽象的函數(shù)數(shù)意義，來轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化其中的變變量關(guān)系，往往往結(jié)合恒等等式或不等式式轉(zhuǎn)化為自變變量的關(guān)系．．考點四抽象函數(shù)問題例4【思路探究】(1)令x＝y(tǒng)＝1再求解可得．．(2)中賦值時注意意應(yīng)用(1)的結(jié)論．(3)用定義法確定定f(x)的單調(diào)性，從從而轉(zhuǎn)化為關(guān)關(guān)于x的不等式求解解．【思維升華】本題是抽象函函數(shù)問題，盡盡管題中沒有有給出具體的的解析式，但但我們?nèi)钥梢砸酝ㄟ^不斷地地賦值去探索索其特殊自變變量的函數(shù)值值．常用的賦賦值有：x＝y(tǒng)＝0；x＝y(tǒng)＝1；x＝0，y＝1；x＝y(tǒng)；y＝－－x；….當然然具具體體在在實實際際操操作作時時的的賦賦值值還還要要根根據(jù)據(jù)題題設(shè)設(shè)的的條條件件進進一一步步確確定定取取值值情情況況．．方法法技技巧巧1．若若兩兩個個函函數(shù)數(shù)的的對對應(yīng)應(yīng)關(guān)關(guān)系系一一致致，，并并且且定定義義域域相相同同，，則則兩兩個個函函數(shù)數(shù)為為同同一一函函數(shù)數(shù)．．如如課課前前熱熱身身2.2．函函數(shù)數(shù)的的三三種種表表示示方方法法：：列列表表法法、、圖圖象象法法和和解解析析法法，，三三者者之之間間是是可可以以互互相相轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化的的；；求求函函數(shù)數(shù)解解析析式式比比較較常常見見的的方方法法有有代代入入法法、、換換元元法法、、待待定定系系數(shù)數(shù)法法和和解解函函數(shù)數(shù)方方程程等等，，特特別別要要注注意意將將實實際際問問題題化化歸歸為為函函數(shù)數(shù)問問題題，，通通過過設(shè)設(shè)自自變變量量，，寫寫出出函函數(shù)數(shù)的的解解析析式式并并明明確確定定義義域域，，還還應(yīng)應(yīng)注注意意使使用用待待定定系系數(shù)數(shù)法法時時函函數(shù)數(shù)解解析析式式的的設(shè)設(shè)法法．．如如例例2.方法感悟3．分分段段函函數(shù)數(shù)的的反反函函數(shù)數(shù)仍仍是是分分段段函函數(shù)數(shù)，，要要分分段段來來求求，，一一般般地地是是把把各各分分段段上上的的函函數(shù)數(shù)看看作作獨獨立立函函數(shù)數(shù)，，分分別別求求出出它它們們的的反反函函數(shù)數(shù)，，然然后后再再拼拼合合到到一一起起，，求求得得的的反反函函數(shù)數(shù)一一定定要要標標明明其其定定義義域域．．如如例例3的(3)．失誤誤防防范范1．映映射射是是一一種種特特殊殊的的集集合合之之間間的的對對應(yīng)應(yīng)關(guān)關(guān)系系．．只只能能是是一一對對一一，，多多對對一一，，絕絕不不是是一一對對多多．．2．用換換元法法求函函數(shù)解解析式式時，，一定定要注注明新新“元”的范圍圍，(如例2的(1)、(2))．考向瞭望·把脈高考高考中中主要要考查查映射射與函函數(shù)的的基本本概念念，例例如求求象、、原象象以及及映射射的個個數(shù)等等，映映射的的內(nèi)容容可與與其它它知識識點結(jié)結(jié)合．．在高考考中常常以函函數(shù)作作為背背景，，結(jié)合合不等等式、、方程程、數(shù)數(shù)列等等知識識，考考查學學生處處理綜綜合問問題的的能力力．往往往以以綜合合題形形式出出現(xiàn)．．考情分析分段函函數(shù)在在高考考命題題上以以考查查基本本概念念與基基本計計算為為主，，題型型主要要是選選擇題題和填填空題題，也也有的的把定定義一一種新新運算算作為為考查查的目目的．．在2010年的高高考中中，大大多數(shù)數(shù)省市市的高高考題題是與與具體體函數(shù)數(shù)的性性質(zhì)結(jié)結(jié)合起起來考考查，，陜西西文13題對分分段函函數(shù)及及函數(shù)數(shù)符號號(f(0))的意義義進行行考查查．從近兩兩年的的高考考試題題來看看，對對反函函數(shù)的的考查查主要要是認認識反反函數(shù)數(shù)的定定義，，會求求反函函數(shù)．．能用用互為為反函函數(shù)的的圖象象的對對稱關(guān)關(guān)系解解決問問題．．以選選擇題題、填填空題題為主主，考考查基基本知知識，，基本本技能能，解解答題題很少少涉及及．在在2010年高考考中，，只有有四川川考題題的22題，求求反函函數(shù)僅僅作為為一小小問．．預測2012年的高高考中中，以以分段段函數(shù)數(shù)求函函數(shù)值值，求求具體體函數(shù)數(shù)的反反函數(shù)數(shù)，結(jié)結(jié)合函函數(shù)的的奇偶偶性，，極值值等求求函數(shù)數(shù)解析析式為為主來來考查查．命題探源例【答案】D【探究溯溯源】此題與與人教教版(必修)第一冊冊(上)復習參參考題題二的的第15題中的的求反反函數(shù)數(shù)有相相似的的一面面，通通過指指數(shù)函函數(shù)與與對數(shù)數(shù)函數(shù)數(shù)之間間的關(guān)關(guān)系及及運算算求反反函數(shù)數(shù)，考考查反反函數(shù)數(shù)的求求法及及其定定義域域與值值域之之間的的關(guān)系系．本題難難度適適中，，易錯錯的地地方是是在變變形過過程中中“＋”與“－”的變化化．名師預測2．若定定義在在[－2010,2010]上的函函數(shù)f(x)滿足：：對于于任意意x1，x2∈[－2010,2010]有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)－2009，且x>0時，有有f(x)>2009，f(x)的最大大值、、最小小值分分別為為M，N，則M＋N的值為為()A．2009B．2010C．4018D．4020解析：：選C.令x1＝x2＝0，則f(0)＝2009，又令令x1＝x，x2＝－x，則f(0)＝f(x)＋f(－x)－2