《事件之間的關(guān)系與運(yùn)算》設(shè)計(jì)

5.3.2事件之間的關(guān)系與運(yùn)算【教學(xué)目標(biāo)】1.了解事件間的包含關(guān)系、相等關(guān)系及并事件與交事件的概念,會(huì)進(jìn)行事件的運(yùn)算.2．理解互斥事件與對(duì)立事件的概念與關(guān)系．3．會(huì)用互斥事件與對(duì)立事件的概率公式求概率．4．了解并事件與交事件的概念，會(huì)進(jìn)行事件的運(yùn)算.【教學(xué)重點(diǎn)】會(huì)用互斥事件與對(duì)立事件的概率公式求概率．【教學(xué)難點(diǎn)】理解互斥事件與對(duì)立事件的概念與關(guān)系．【課時(shí)安排】1課時(shí)【教學(xué)過程】新知初探1．事件的關(guān)系與運(yùn)算(1)事件的關(guān)系定義表示法圖示包含關(guān)系一般地，對(duì)于事件A與事件B，如果事件A發(fā)生，事件B一定發(fā)生，這時(shí)稱事件A包含于事件B(或事件B包含事件A)A?B(或B?A)相等關(guān)系如果事件A發(fā)生時(shí)，事件B一定發(fā)生；而且事件B發(fā)生時(shí)，事件A也一定發(fā)生，則稱“A與B相等”A＝B?A?B且B?A事件互斥給定事件A，B，若事件A與B不能同時(shí)發(fā)生，則稱A與B互斥AB＝?(或A∩B＝?)事件對(duì)立給定樣本空間Ω與事件A，則由Ω中所有不屬于A的樣本點(diǎn)組成的事件稱為A的對(duì)立事件.eq\o(A,\s\up12(－))(2)事件的和與積定義表示法圖示事件的和(并)給定事件A，B，由所有A中的樣本點(diǎn)與B中的樣本點(diǎn)組成的事件稱為A與B的和(或并)A＋B或(A∪B)事件的積(交)給定事件A，B，由A與B中的公共樣本點(diǎn)組成的事件稱為A與B的積(或交)AB(或A∩B)(3)事件的混合運(yùn)算因?yàn)槭录\(yùn)算的結(jié)果仍是事件，因此可以進(jìn)行事件的混合運(yùn)算．(Aeq\o(B,\s\up12(－)))＋(eq\o(A,\s\up12(－))B)表示的是Aeq\o(B,\s\up12(－))與eq\o(A,\s\up12(－))B的和，實(shí)際意義是：A發(fā)生且B不發(fā)生，或者A不發(fā)生且B發(fā)生，換句話說就是A與B中恰有一個(gè)發(fā)生．同數(shù)的加、減、乘、除混合運(yùn)算一樣，事件的混合運(yùn)算也有優(yōu)先級(jí)，我們規(guī)定：求積運(yùn)算的優(yōu)先級(jí)高于求和運(yùn)算，因此(Aeq\o(B,\s\up12(－)))＋(eq\o(A,\s\up12(－))B)可簡(jiǎn)寫為Aeq\o(B,\s\up12(－))＋eq\o(A,\s\up12(－))B.2．概率的幾個(gè)基本性質(zhì)(1)概率的取值范圍：[0,1]．(2)必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0.(3)概率加法公式為：如果事件A與B為互斥事件，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(4)若A與eq\o(A,\s\up12(－))為對(duì)立事件，則P(eq\o(A,\s\up12(－)))＝1－P(A)．P(A∪eq\o(A,\s\up12(－)))＝1，P(A∩eq\o(A,\s\up12(－)))＝0.小試牛刀1．同時(shí)擲兩枚硬幣，向上面都是正面為事件A，向上面至少有一枚是正面為事件B，則有()A．A?BB．A?BC．A＝BD．A<BA[由事件的包含關(guān)系知A?B.]2．給出事件A與B的關(guān)系示意圖，如圖所示，則()A.A?BB．A?BC．A與B互斥D．A與B互為對(duì)立事件C[由互斥事件的定義知，A、B互斥．]3(2019·廣西欽州市期末考試)抽查10件產(chǎn)品，設(shè)“至少抽到2件次品”為事件A，則A的對(duì)立事件是()A．至多抽到2件次品B．至多抽到2件正品C．至少抽到2件正品D．至多抽到1件次品解析：選D.因?yàn)椤爸辽俪榈?件次品”就是說抽查10件產(chǎn)品中次品的數(shù)目至少有2個(gè)，所以A的對(duì)立事件是抽查10件產(chǎn)品中次品的數(shù)目最多有1個(gè)．故選D.4．某人打靶兩次，事件A為只有一次中靶，事件B為兩次都中靶，則A＋B________.解析：A＋B為并事件即至少有一次中靶．答案：至少有一次中靶例題講解事件的運(yùn)算例1.設(shè)A，B為兩個(gè)事件，試用A，B表示下列各事件：（1）A，B兩個(gè)事件中至少有一個(gè)發(fā)生；（2）A事件發(fā)生且B事件不發(fā)生；（3）A,B兩個(gè)事件都不發(fā)生解：（1）按照定義有（2）因?yàn)锽不發(fā)生可以表示為，因此可以寫成（3）按照定義有方法總結(jié)事件間的運(yùn)算方法(1)利用事件間運(yùn)算的定義，列出同一條件下的試驗(yàn)所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，分析并利用這些結(jié)果進(jìn)行事件間的運(yùn)算．(2)利用Venn圖，借助集合間運(yùn)算的思想，分析同一條件下的試驗(yàn)所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，把這些結(jié)果在圖中列出，進(jìn)行運(yùn)算．當(dāng)堂練習(xí)1盒子里有6個(gè)紅球，4個(gè)白球，現(xiàn)從中任取3個(gè)球，設(shè)事件A＝{3個(gè)球中有1個(gè)紅球、2個(gè)白球}，事件B＝{3個(gè)球中有2個(gè)紅球、1個(gè)白球}，事件C＝{3個(gè)球中至少有1個(gè)紅球}，事件D＝{3個(gè)球中既有紅球又有白球}．(1)事件D與A，B是什么樣的運(yùn)算關(guān)系？(2)事件C與A的交事件是什么事件？[解](1)對(duì)于事件D，可能的結(jié)果為1個(gè)紅球、2個(gè)白球，或2個(gè)紅球、1個(gè)白球，故D＝A∪B.⑵事件C，可能的結(jié)果為1個(gè)紅球、2個(gè)白球，或2個(gè)紅球、1個(gè)白球，或3個(gè)紅球，故C∩A＝A.互斥事件與對(duì)立事件的判定【例2】某縣城有甲、乙兩種報(bào)紙供居民訂閱，記事件A為“只訂甲報(bào)”，事件B為“至少訂一種報(bào)紙”，事件C為“至多訂一種報(bào)紙”，事件D為“不訂甲報(bào)”，事件E為“一種報(bào)紙也不訂”．判斷下列每組事件是不是互斥事件；如果是，再判斷它們是不是對(duì)立事件：(1)A與C；(2)B與E；(3)B與D；(4)B與C；(5)C與E.[思路點(diǎn)撥][解](1)由于事件C“至多訂一種報(bào)紙”中包括“只訂甲報(bào)”，即事件A與事件C有可能同時(shí)發(fā)生，故A與C不是互斥事件．(2)事件B“至少訂一種報(bào)紙”與事件E“一種報(bào)紙也不訂”是不可能同時(shí)發(fā)生的，故B與E是互斥事件；由于事件B與事件E必有一個(gè)發(fā)生，故B與E是對(duì)立事件．(3)事件B“至少訂一種報(bào)紙”中包括“只訂乙報(bào)”，即有可能“不訂甲報(bào)”，也就是說事件B和事件D有可能同時(shí)發(fā)生，故B與D不是互斥事件．(4)事件B“至少訂一種報(bào)紙”中的可能情況為“只訂甲報(bào)”“只訂乙報(bào)”“訂甲、乙兩種報(bào)”．事件C“至多訂一種報(bào)紙”中的可能情況為“一種報(bào)紙也不訂”“只訂甲報(bào)”“只訂乙報(bào)”．也就是說事件B與事件C可能同時(shí)發(fā)生，故B與C不是互斥事件．(5)由(4)的分析，事件E“一種報(bào)紙也不訂”是事件C中的一種可能情況，所以事件C與事件E可能同時(shí)發(fā)生，故C與E不是互斥事件．方法總結(jié)互斥事件和對(duì)立事件的判定方法1利用基本概念,要判斷兩個(gè)事件是不是互斥事件，只需要找出各個(gè)事件所包含的所有結(jié)果，看它們之間能不能同時(shí)發(fā)生，在互斥的前提下，看兩個(gè)事件中是否必有一個(gè)發(fā)生，可判斷是否為對(duì)立事件.注意辨析“至少”“至多”等關(guān)鍵詞語的含義，明晰它們對(duì)事件結(jié)果的影響.2利用集合觀點(diǎn),設(shè)事件A與B所含的結(jié)果組成的集合分別為A，B.①若事件A與B互斥，則集合A∩B＝?；②若事件A與B對(duì)立，則集合A∩B＝?且A∪B＝Ω.當(dāng)堂練習(xí)2判斷下列給出的每對(duì)事件，是否為互斥事件，是否為對(duì)立事件，并說明理由．從40張撲克牌(紅桃、黑桃、方塊、梅花點(diǎn)數(shù)從1～10各10張)中，任取1張．(1)“抽出紅桃”與“抽出黑桃”；(2)“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌點(diǎn)數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點(diǎn)數(shù)大于9”．解：(1)是互斥事件，不是對(duì)立事件．理由是：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出紅桃”和“抽出黑桃”是不可能同時(shí)發(fā)生的，所以是互斥事件．同時(shí)，不能保證其中必有一個(gè)發(fā)生，這是由于還可能抽出“方塊”或者“梅花”，因此，二者不是對(duì)立事件．(2)既是互斥事件，又是對(duì)立事件．理由是：從40張撲克牌中，任意抽取1張，“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，且其中必有一個(gè)發(fā)生，所以它們既是互斥事件，又是對(duì)立事件(3)不是互斥事件，也不是對(duì)立事件．理由是：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出的牌點(diǎn)數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點(diǎn)數(shù)大于9”這兩個(gè)事件可能同時(shí)發(fā)生，如抽得點(diǎn)數(shù)為10，因此，二者不是互斥事件，當(dāng)然也不可能是對(duì)立事件．互斥、對(duì)立事件的概率加法公式例3.已知數(shù)學(xué)考試中，李明成績(jī)高于90分的概率為0.3，不低于60分且不高于90分的概率為0.5，求：（1）李明成績(jī)不低于60分的概率；（2）李明成績(jī)低于60分的概率。解：記事件A：李明成績(jī)高于90分，B：李明成績(jī)不低于60分且不高于90分，則不難看出A與B互斥，且：（1）因?yàn)椤袄蠲鞒煽?jī)不低于60分”可表示為，由A與B互斥可知（2）因?yàn)椤袄蠲鞒煽?jī)低于60分”可表示為，因此方法總結(jié)1．只有當(dāng)A、B互斥時(shí)，公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)才成立；只有當(dāng)A、B互為對(duì)立事件時(shí)，公式P(A)＝1－P(B)才成立．2．復(fù)雜的互斥事件概率的求法有兩種：一是直接求解，將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和，運(yùn)用互斥事件的概率加法公式計(jì)算；二是間接求解，先找出所求事件的對(duì)立事件，再用公式P(A)＝1－P(eq\x\to(A))求解．當(dāng)堂練習(xí)3某醫(yī)院要派醫(yī)生下鄉(xiāng)義診，派出醫(yī)生的人數(shù)及其概率如下表所示：人數(shù)01234大于等于5概率0.10.160.30.20.20.04(1)求派出醫(yī)生至多2人的概率；(2)求派出醫(yī)生至少2人的概率．解：設(shè)“不派出醫(yī)生”為事件A，“派出1名醫(yī)生”為事件B，“派出2名醫(yī)生”為事件C，“派出3名醫(yī)生”為事件D，“派出4名醫(yī)生”為事件E，“派出5名及5名以上醫(yī)生”為事件F，事件A，B，C，D，E，F(xiàn)彼此互斥，且P(A)＝0.1，P(B)＝0.16，P(C)＝0.3，P(D)＝0.2，P(E)＝0.2，P(F)＝0.04.(1)“派出醫(yī)生至多2人”的概率為P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)法一：“派出醫(yī)生至少2人”的概率為P(C＋D＋E＋F)＝P(C)＋P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.2＋0.2＋0.04＝0.74.法二：“派出醫(yī)生至