人教版數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)-挑戰(zhàn)三角形填空壓軸（二）

數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)——挑戰(zhàn)三角形填空壓軸（二）1．如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝60°，AD平分∠CAB交BC于點D，點D到AB的距離DE＝3cm，則線段BC的長為．2．如圖，已知△ABC三個內(nèi)角的平分線交于點O，點D在CA的延長線上，且DC＝BC，AD＝AO，若∠BAC＝100°，則∠BCA的度數(shù)為．3．如圖，△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB，等腰直角△CDF的直角頂點C在邊OA上，點D在邊OB上，點F在邊AB上，如果△CDF的面積是△AOB的面積的，OD＝2，則△AOB的面積為．4．如圖，在等腰△ABD中，∠A＝32°，取大于AB的長為半徑，分別以點A，B為圓心作弧相交于兩點，過此兩點的直線交AD邊于點E（作圖痕跡如圖所示），連接BE，BD，則∠EBD的度數(shù)為．5．在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BC＝20，D、E分別是AB和AC的中點．請完成下列探究：（1）如圖1，若點M是邊BC中點，則DM＝；（2）如圖2，點M是邊BC上一點，BM＝3，點N是線段MC上的一個動點，連接DN和ME，DN與ME相交于點O．若△OMN是直角三角形，則DO的長是．6．已知△ABC為等邊三角形，D為邊AC上一點，延長BC至E，使CE＝CD＝1，連接DE，則DE等于．7．已知一個三角形三邊的長分別為，，，則這個三角形的面積是．8．公元三世紀，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的“趙爽弦圖”如圖所示．它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形，如果大正方形的面積是40，tan∠1＝，則小正方形的面積是．9．如圖，邊長為4的等邊三角形ABC中，E是對稱軸AD上的一個動點，連接EC，將線段EC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到FC，連接DF，則在點E運動過程中，DF的最小值是．10．如圖，在△ABC中，點D，E分別是邊AB，AC的中點，點F是線段DE上的一點．連接AF，BF，∠AFB＝90°，且AB＝10，BC＝16，則EF的長是．11．如圖，△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，AD平分∠CAB．交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝6，△DEB的周長為．12．如圖，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，△ABC的周長為17，斜邊上中線BD長為．則Rt△ABC的面積為．13．如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，如果正方形A、B、C、D的邊長分別為3，4，1，2．則最大的正方形E的面積是．14．如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，過點C作CD⊥AC，且CD＝AC，連接BD，若S△BCD＝，則BC的長為．15．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，點D，E分別在BC，AC上（點D不與點B重合），且∠ADE＝45°，若△ABD是等腰三角形，則AE＝．16．如圖所示，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，G是AD上一點，且AG＝DG，連接BG并延長BG交AC于E，又過C作AD的垂線交AD于H，交AB為F，則下列說法：①D是BC的中點；②BE⊥AC；③∠CDA＞∠2；④△AFC為等腰三角形；⑤連接DF，若CF＝6，AD＝8，則四邊形ACDF的面積為24．其中正確的是（填序號）．17．如圖，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，BM是AC邊上的中線，點D，E分別在邊AC和BC上，DB＝DE，DE與BM相交于點N，EF⊥AC于點F，以下結(jié)論：①∠DBM＝∠CDE；②S△BDE＝S四邊形BMFE；③AC＝2DF．其中正確結(jié)論的序號是．18．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，連接AC，若AC＝10，則四邊形ABCD的面積為．19．如圖，四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，連接AC，BD交于點E，∠CBD＝90°，若點E為AC的中點，CD＝，則四邊形ABCD的面積為．20．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點D在BC上，點E為Rt△ABC外一點，且△ADE為等邊三角形，∠CBE＝60°，若BC＝7，BE＝4，則△ADE的邊長為．21．如圖，∠BAC與∠CBE的平分線相交于點P，BE＝BC，PB與CE交于點H，PG∥AD交BC于F，交AB于G，下列結(jié)論：①GA＝GP；②S△PAC：S△PAB＝AC：AB；③BP垂直平分CE；④FP＝FC；⑤∠APB＝∠ACB，其中正確的判斷有．22．如圖，BD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E，△ABC的面積為60，AB＝16，BC＝14，則DE的長等于．23．如圖，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，E是線段AC上一點，連接BE并延長至D，連接CD，若∠BCD＝120°，AB＝2CD，AE＝7，則線段CE長為．24．如圖，已知△ABC中，AB＝AC，點D為△ABC外一點，連接BD、CD、DA，∠ADB＝∠DBC＝120°，取AB的中點E，連接DE，若CD＝10，則DE等于．25．如圖，△ABC中，AC的垂直平分線DE分別交BC于點E，交AC于點D，連接BD，AB＝AD，∠CED＝45°+∠BAC，△ABD的面積為54，則線段BD的長為．26．如圖，螺旋形是由一系列等腰直角三角形組成的，其序號依次為①②③④⑤…，若第1個等腰直角三角形的直角邊為1，則第2020個等腰直角三角形的面積為．27．如圖，在四邊形ABCD中，BD平分∠ABC，∠BAD＝∠BDC＝90°，E為BC的中點，AE與BD相交于點F，若BC＝4，∠CBD＝30°，則DF的長為．28．如圖，AB∥CD，∠BCD＝90°，AB＝1，BC＝CD＝2，E為邊AD上中點，則BE＝．29．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將邊長為1的正方形OABC繞O點順時針旋轉(zhuǎn)45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，繞O點連續(xù)旋轉(zhuǎn)2021次得到正方形OA2021B2021C2021，則點A2021的坐標(biāo)為．30．如圖，△ABC中，BC＝10，AC﹣AB＝4，AD是∠BAC的角平分線，CD⊥AD，則S△BDC的最大值為．參考答案1．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝60°，∴∠B＝180°﹣∠C﹣∠CAB＝30°，∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，∴∠BAD＝∠DAC＝BAC＝30°，∴∠B＝∠BAD，∴BD＝AD，∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，點D到AB的距離DE＝3cm，∴CD＝DE＝3cm，∵在Rt△DCA中，∠C＝90°，∠DAC＝30°，CD＝3cm，∴AD＝2CD＝6cm，∴BD＝AD＝6cm，∴BC＝CD+BD＝3cm+6cm＝9cm，故答案為：9cm．2．解：如圖所示：∵AO、BO、CO是△ABC三個內(nèi)角的平分線，∴∠BAO＝∠CAO，∠ABO＝∠CBO，∠BCO＝∠DCO，在△BCO和△DCO中，，∴△BCO≌△DCO（SAS），∴∠CBO＝∠D，又∵∠BAC＝100°，∴∠CAO＝＝，又∵AD＝AO，∴∠D＝∠AOD，又∵∠CAO＝∠D+∠AOD，∴∠D＝＝＝25°，∴∠CBO＝25°，∴∠CBA＝50°，又∵∠BAC+∠ABC+∠BCA＝180°，∴∠BCA＝180°﹣100°﹣50°＝30°，故答案為30°．3．解：過點F作FM⊥AO于點M，如圖：則有：∠O＝∠FMC＝90°，∴∠1+∠2＝90°，∵等腰直角△CDF，∴CF＝CD，∠DCF＝90°，∴∠2+∠3＝90°，∴∠1＝∠3，又∵∠O＝∠FMC＝90°，CF＝CD，∴△DOC≌△CMF（AAS），∴CM＝OD＝2，MF＝OC，∵∠AOB＝90°，OA＝OB，F(xiàn)M⊥AO，∴△AMF是等腰直角三角形，∴AM＝MF＝CO，設(shè)AM＝MF＝CO＝x，則OA＝OB＝2x+2，CD＝CF＝，由△CDF的面積是△AOB的面積的，得：（）2＝（2x+2）2，解得：x＝1.5，∴△AOB的面積＝（2x+2）2＝；故答案為：．4．解：∵AD＝AB，∠A＝32°，∴∠ABD＝∠ADB＝（180°﹣∠A）＝74°，由作圖可知，EA＝EB，∴∠ABE＝∠A＝32°，∴∠EBD＝∠ABD﹣∠ABE＝74°﹣32°＝42°，故答案為：42°．5．解：（1）∵∠A＝90°，AB＝AC，BC＝20，∴2AC2＝BC2＝202，∴AC＝10，∵D，M分別是AB，BC的中點，∴DM＝AC＝5；（2）如圖作EF⊥BC于F，DN′⊥BC于N′交EM于點O′，此時∠MN′O′＝90°，∵DE是△ABC中位線，∴DE∥BC，DE＝BC＝10，∵DN′∥EF，∴四邊形DEFN′是平行四邊形，∵∠EFN′＝90°，∴四邊形DEFN′是矩形，∴EF＝DN′，DE＝FN′＝10，∵AB＝AC，∠A＝90°，∴∠B＝∠C＝45°，∴BN′＝DN′＝EF＝FC＝5，∴＝，∴＝，∴DO′＝；當(dāng)∠MON＝90°時，∵△DOE∽△EFM，∴＝，∵MF＝BC﹣BM﹣FC＝20﹣3﹣5＝12，∴EM＝＝13，∴DO＝，故答案為：或．6．解：如圖，過點C作CF⊥DE于點F，∵△ABC為等邊三角形，∴∠ACB＝60°，∵CE＝CD＝1，∴∠E＝∠CDE＝30°，∴EF＝CE＝，∴DE＝2EF＝．故答案為：．7．解：∵+＝5+10＝15，＝15，∴：+＝，∴該三角形為直角三角形，∴這個三角形的面積是：××＝．故答案為：．8．解：如圖所示：根據(jù)tan∠1＝，可設(shè)AB＝x，BC＝3x，由勾股定理得：，∵大正方形的面積是40，∴＝40，解得：x＝2或x＝﹣2（舍去），∴AB＝2，BC＝6，∴，∴四個三角形的面積之和＝4×6＝24，∴小正方形的面積＝40﹣24＝16．故答案為16．9．解：如圖，取AC的中點G，連接EG，∵旋轉(zhuǎn)角為60°，∴∠ECD+∠DCF＝60°，又∵∠ECD+∠GCE＝∠ACB＝60°，∴∠DCF＝∠GCE，∵AD是等邊△ABC的對稱軸，∴CD＝BC，∴CD＝CG，又∵CE旋轉(zhuǎn)到CF，∴CE＝CF，在△DCF和△GCE中，，∴△DCF≌△GCE（SAS），∴DF＝EG，根據(jù)垂線段最短，EG⊥AD時，EG最短，即DF最短，此時∵∠CAD＝×60°＝30°，AG＝AC＝×4＝2，∴EG＝AG＝×2＝1，∴DF＝1．故答案為：1．10．解：∵點D、E分別是邊AB、AC的中點，∴DE是△ABC的中位線，∵BC＝16，∴DE＝BC＝8．∵∠AFB＝90°，D是AB的中點，AB＝10，∴DF＝AB＝5，∴EF＝DE﹣DF＝8﹣5＝3．故答案為：3．11．解：△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，AB＝6根據(jù)勾股定理得2CB2＝AB2，∴CB＝3，∵AD平分∠CAB∴∠CAD＝∠EAD∵DE⊥AB∴∠DEA＝90°＝∠C∴△CAD≌△EAD（AAS）∴AC＝AE＝3，DE＝CD∴EB＝AB﹣AE＝6﹣3故△DEB的周長為：BE+DE+DB＝BE+CD+DB＝BE+CB＝6﹣3+3＝6．12．解：∵Rt△ABC斜邊上中線BD長為，∴AC＝2BD＝7，∵△ABC的周長為17∴AB+BC＝17﹣AC＝17﹣7＝10，∴（AB+BC）2＝100，即AB2+BC2+2AB?BC＝100，∵AB2+BC2＝AC2＝72＝49，∴2AB?BC＝51，∴S△ABC＝AB?BC＝，故答案為．13．解：由勾股定理得，正方形F的面積＝正方形A的面積+正方形B的面積＝32+42＝25，同理，正方形G的面積＝正方形C的面積+正方形D的面積＝22+12＝5，∴正方形E的面積＝正方形F的面積+正方形G的面積＝30，故答案為：30．14．解：過點D作DM⊥BC交BC延長線于點M，∵CD⊥AC，∠ABC＝90°，∴∠ACB+∠MCD＝90°，∠ACB+∠BAC＝90°，∴∠BAC＝∠MCD，∵CD＝AC，∴△ABC≌△CMD（AAS），∴BC＝DM，∴S△BCD＝×BC×DM＝BC2＝，∴BC＝3，故答案為3．15．解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，∴∠B＝∠C＝45°，BC＝＝2，由題意點D不與點B重合，分兩種情況：①BD＝AD時，∠BAD＝∠B＝45°，如圖1所示：∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝45°+45°＝90°，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝CD＝BC＝，∴AD＝BC＝CD，∵∠ADE＝45°，∴∠CDE＝90°﹣45°＝45°＝∠ADE，∴DE平分∠ADC，∴AE＝CE＝AC＝1；②BD＝AB＝2時，如圖2所示：∵∠B＝45°，∴∠BAD＝∠BDA＝（180°﹣45°）＝67.5°，∵∠ADE＝45°，∴∠CDE＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°，∴∠CED＝180°﹣∠C﹣∠CDE＝67.5°，∴∠CDE＝∠CED，∴CE＝CD＝BC﹣BD＝2﹣2，∴AE＝AC﹣CE＝2﹣（2﹣2）＝4﹣2；綜上所述，若△ABD是等腰三角形，則AE的長為1或4﹣2，故答案為：1或4﹣2．16．解：①假設(shè)結(jié)論成立，則△ABC是等腰三角形，顯然不可能，故①不符合題意；②只有∠ABE+∠BAE＝90°時，該結(jié)論才成立，故②不符合題意；③∵∠ADC＝∠1+∠ABD，∠1＝∠2，∴∠ADC＞∠2，故③符合題意；④∵∠1＝∠2，AD＝AD，∠AHF＝∠AHC＝90°，∴△AHF≌△AHC（ASA），∴AF＝AC，故④符合題意；⑤∵AD⊥CF，∴S四邊形ACDF＝?AD?CF＝×6×8＝24．故⑤符合題意；故答案為：③④⑤．17．解：①設(shè)∠EDC＝x，則∠DEF＝90°﹣x∴∠DBE＝∠DEB＝∠EDC+∠C＝x+45°，∵BD＝DE，∴∠DBM＝∠DBE﹣∠MBE＝45°+x﹣45°＝x．∴∠DBM＝∠CDE，故①正確；③在△BDM和△DEF中，，∴△BDM≌△DEF（AAS），∴BM＝DF，∵∠ABC＝90°，M是AC的中點，∴BM＝AC，∴DF＝AC，即AC＝2DF；故③正確．②由③知△BDM≌△DEF（AAS）∴S△BDM＝S△DEF，∴S△BDM﹣S△DMN＝S△DEF﹣S△DMN，即S△DBN＝S四邊形MNEF．∴S△DBN+S△BNE＝S四邊形MNEF+S△BNE，∴S△BDE＝S四邊形BMFE，故②正確；綜上所述，正確的結(jié)論有：①②③．故答案是：①②③．18．解：如圖，作AM⊥BC、AN⊥CD，交CD的延長線于點N，∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴四邊形AMCN為矩形，∠MAN＝90°，∵∠BAD＝90°，∴∠BAM＝∠DAN，在△ABM與△ADN中，，∴△ABM≌△ADN（AAS），∴AM＝AN；∴△ABM與△ADN的面積相等；∴四邊形ABCD的面積＝正方形AMCN的面積；設(shè)AM＝a，由勾股定理得：AC2＝AM2+MC2，而AC＝10；∴2a2＝100，a2＝50，所以四邊形ABCD的面積為50．故答案為50．19．解：過A作AF⊥BD于F，如圖所示：∵點E是AC的中點，∴CE＝AE，∵AB＝AD，∴AF⊥BD，∵∠CBD＝90°，∴BC∥AF，∠CBE＝∠AFE＝90°，在△CBE和△AFE中，，∴△CBE≌△AFE（AAS），∴BC＝AF，∵AB＝AD，∠BAD＝90°，∴BD＝2AF＝2BC，∵∠CBD＝90°，CD＝，∴BC2+BD2＝CD2，∴BC2+（2BC）2＝15，∴BC＝（負值舍去），∴AF＝BC＝，BD＝2BC＝2，∴四邊形ABCD的面積＝S△ABD+S△CBD＝2+＝6，故答案為：6．20．解：在BC的延長線上取點F，使得∠AFD＝60°，∵△ADE是等邊三角形，∴AD＝DE＝AE，∠ADE＝60°，∵∠ADB＝∠AFD+∠DAF＝∠ADE+∠EDB，∴∠DAF＝∠EDB，在△AFD和△DBE中，，∴△AFD≌△DBE（AAS），∴FD＝BE＝4，AF＝BD，設(shè)CF＝x，則CD＝4﹣x，BD＝7﹣（4﹣x）＝3+x，∵∠ACB＝90°，∴∠ACF＝90°，∴∠CAF＝90°﹣60°＝30°，∴AF＝2CF＝2x，∴2x＝x+3，解得：x＝3，∴CF＝3，AC＝3，∴CD＝1，∴AD＝＝＝2，故答案為：2．21．解：①∵AP平分∠BAC，∴∠CAP＝∠BAP，∵PG∥AD，∴∠APG＝∠CAP，∴∠APG＝∠BAP，∴GA＝GP；②∵AP平分∠BAC，∴P到AC，AB的距離相等，∴S△PAC：S△PAB＝AC：AB，③∵BE＝BC，BP平分∠CBE，∴BP垂直平分CE（三線合一），④∵∠BAC與∠CBE的平分線相交于點P，可得點P也位于∠BCD的平分線上，∴∠DCP＝∠BCP，又∵PG∥AD，∴∠FPC＝∠DCP，∴FP＝FC，⑤無法得出∠APB＝∠ACB，故⑤錯誤；故①②③④都正確．故答案為：①②③④．22．解：作DF⊥BC于F，∵BD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DF＝DE，∴S△ABC＝S△ABD+S△DBC＝×AB×DE+×BC×DF＝＝60，∴DF＝DE＝4．故答案為：4．23．解：作BM⊥AC，垂足為M，∵AB＝BC，∠ABC＝120°，∴∠A＝∠ACB＝30°，AM＝CM，∴BM＝AB，∵AB＝2CD，∴BM＝CD．∵∠DCB＝120°，∴∠DCE＝∠DCB﹣∠ACB＝120°﹣30°＝90°，∴∠BMC＝∠DCE＝90°．在△EMB和△ECD中，，∴△MEB≌△CED（AAS），∴ME＝CE．設(shè)CE＝x，則ME＝x，AM＝AE﹣ME＝7﹣x．∵AM＝CM，∴7﹣x＝2x，∴x＝，∴線段CE長為．故答案為．24．解：延長AD、CB交于點G，過點A作AH∥BD交BC的延長線于點H，延長DE交AH于N，∵∠ADB＝∠DBC＝120°，∴∠GDB＝∠GBD＝60°，∴△BDG是等邊三角形，∴BG＝DG＝BD，∠G＝60°，∵AH∥BD，∴∠H＝∠GBD＝60°，∴△AGH是等邊三角形，∴AH＝AG＝GH，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABG＝∠ACH，∴△ABG≌△ACH（AAS），∴BG＝CH，∴DG＝CH，∴AG﹣DG＝GH﹣CH，即GC＝AD，∵AN∥BD，∴∠NAE＝∠DBE，∠ENA＝∠EDB，∵E是AB的中點，∴AE＝BE，∴△NAE≌△DBE（AAS），∴BD＝AN，DE＝EN＝DN，在△GDC與△AND中，，∴△GDC≌△AND（SAS），∴ND＝DC＝10，∴DE＝DN＝5．故答案為：5．25．解：如圖，作AH⊥BD于H交BC于M，作AK⊥CB交CB的延長線于K，作MP⊥AC于P．∵AB＝AD，AH⊥BD，∴∠DAH＝∠ABC，設(shè)∠DAH＝α，則∠CED＝45°+α，∵ED⊥AC，∴∠EDC＝90°，∴∠C＝45°﹣α，∴∠AMB＝∠MAC+∠C＝45°，∵AM垂直平分線段BD，∴MB＝MD，∵MH⊥BD，∴∠BMH＝∠DMH＝45°，∴BH＝MH＝DH，設(shè)BH＝MH＝DH＝a，則DM＝a，∵AK⊥C