總體取值規(guī)律的估計

教學(xué)設(shè)計課題總體取值規(guī)律的估計單元第九單元學(xué)科數(shù)學(xué)年級高一教材分析本節(jié)內(nèi)容是抽樣的基礎(chǔ)上，對統(tǒng)計的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，同時，利用樣本數(shù)據(jù)估計總體情況，主要針對頻率分布表和頻率分布直方圖進(jìn)行統(tǒng)計分析的學(xué)習(xí)。教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)1.數(shù)學(xué)抽象：利用頻率分布直方圖估計總體的分布情況；2.邏輯推理：通過課堂探究逐步培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力.3.數(shù)學(xué)建模：利用樣本數(shù)據(jù)估計總體，同時提出相應(yīng)的方案措施。4.直觀想象：通過頻率分布表和頻率分布直方圖直觀估計總體的分布情況；5.數(shù)學(xué)運(yùn)算:能夠畫頻率分布直方圖；6.數(shù)據(jù)分析:通過經(jīng)歷提出問題—推導(dǎo)過程—得出結(jié)論—例題講解—練習(xí)鞏固的過程，讓學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)知識的邏輯性和嚴(yán)密性。重點(diǎn)頻率分布表和頻率分布直方圖，總體百分位數(shù)的估計難點(diǎn)頻率分布表和頻率分布直方圖教學(xué)過程教學(xué)環(huán)節(jié)教師活動學(xué)生活動設(shè)計意圖導(dǎo)入新課問題導(dǎo)入：問題一：我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家之一，城市缺水問題較為突出，某市政府為了減少水資源的浪費(fèi)，計劃對居民生活用水費(fèi)用實(shí)施階梯式水價制度，即確定一戶居民月均用水量標(biāo)準(zhǔn)a，用水量不超過a的部分按平價收費(fèi)，超出a的部分按議價收費(fèi).如果希望確定一個比較合理的標(biāo)準(zhǔn)，以使大部分居民用戶的水費(fèi)支出不受影響，你認(rèn)為需要做哪些工作？標(biāo)準(zhǔn)如果定的太低，會影響很多居民的日常生活；標(biāo)準(zhǔn)如果太高，則不利于節(jié)水。為了確定一個較為合理的用水標(biāo)準(zhǔn)，必須先了解在全市所有居民用戶中，月用水量在不同范圍內(nèi)的居民用戶所占的比例情況。在時間、經(jīng)費(fèi)允許的情況下，我們可以通過全面調(diào)查獲得過去一年全市所有居民用戶的月均用水量數(shù)據(jù)，進(jìn)而得到月均用水量在不同范圍內(nèi)的居民用戶所占的比例。由于全市居民很多，通常采用抽樣調(diào)查的方式，通過分析樣本觀測數(shù)據(jù)，來估計全市居民用戶月均用水量的分布情況。問題二：在這個問題中，總體、個體、調(diào)查變量分別是什么？總體是該市的全體居民用戶，個體是每戶居民，調(diào)查變量是居民用戶的月均用水量。假設(shè)通過簡單隨機(jī)抽樣，獲得了100戶居民用戶的月均用水量數(shù)據(jù)（單位：t）問題三：從這組數(shù)據(jù)我們能發(fā)現(xiàn)什么信息呢？如果將這組數(shù)據(jù)按從小到大排序，發(fā)現(xiàn)這組數(shù)據(jù)的最小值是,最大值是，其他在和之間。為了更深入地挖掘數(shù)據(jù)蘊(yùn)含的信息，需要對數(shù)據(jù)作進(jìn)一步的整理與分析。為了探索一組數(shù)據(jù)的取值規(guī)律，一般先要用表格對數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，或者用圖將數(shù)據(jù)直觀表示出來。在初中，我們曾用頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布圖來整理和表示這種數(shù)值型數(shù)據(jù)，由此能使我們清楚地知道數(shù)據(jù)分布在各個小組的個數(shù)。在這個實(shí)際問題中，因為我更關(guān)心月均用水量在不同范圍內(nèi)的居民占全市居民用戶的比例，所以選擇頻率分布表和頻率分布直方圖在整理和表示數(shù)據(jù)。思考四：什么是頻數(shù)？什么是頻率？頻數(shù)在總體(或樣本）中，某個個體出現(xiàn)的次數(shù)叫做這個個體的頻數(shù)。頻率某個個體的頻數(shù)與總體(或樣本）中所含個體的數(shù)量的比叫做這個個體的頻率。學(xué)生利用問題回顧上節(jié)課知識點(diǎn)的同時，引出本節(jié)新課內(nèi)容——頻率分布直方圖。設(shè)置問題情境，回顧上節(jié)課知識點(diǎn)，同時激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力，并引出本節(jié)新課。講授新課知識探究（一）：頻率分布表和頻率分布直方圖與畫頻數(shù)分布直方圖類似，我們可以按以下步驟制作頻率分布表、畫頻率分布直方圖。1.求極差極差為一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差。樣本觀測數(shù)據(jù)的最小值是，最大值是，則極差為，這樣說明樣本觀測數(shù)據(jù)的變化范圍是.2.決定組距與組數(shù)組數(shù)太多或太少都會影響我們了解數(shù)據(jù)的分布情況。組距與組數(shù)的確定沒有固定的標(biāo)準(zhǔn)，常常需要一個嘗試和選擇的過程。數(shù)據(jù)分組的組數(shù)與數(shù)據(jù)的個數(shù)有關(guān)，一般數(shù)據(jù)的個數(shù)越多，所分組數(shù)也越多。當(dāng)樣本容量不超過100時，常分成5~12組。數(shù)據(jù)分組可以是等距，也可以是不等距的。但為了方便起見，一般取等長組距，并且組距應(yīng)力求“取整”。分組時可以先確定組距，也可以先確定組數(shù)。如果取組距為3，則極差/組距=3=即可以將數(shù)據(jù)分為9組，這也說明這個組距是比較合適的。3.將數(shù)據(jù)分組由于組距為3，9個組距的長度超過極差，我們可以使第一組的左端點(diǎn)略小于數(shù)據(jù)中的最小值，最后一組的右斷點(diǎn)略大于數(shù)據(jù)中的最大值。例如，可以取區(qū)間為[,]，按如下方式把樣本觀測數(shù)據(jù)以組距為3分為9組：[,,[,,~,[,]4.列頻率分布表計算各小組的頻率，例如第一小組的頻率是：第一組頻數(shù)/樣本容量=23/100=.由此方法作出頻率分布表。5.畫頻率分布直方圖根據(jù)頻率分布表可以得到如下的頻率分布直方圖。在頻率分布直方圖中，橫軸表示月均用水量，縱軸表示頻率/組距。在這里，我們發(fā)現(xiàn)，縱軸實(shí)際上就是頻率分布直方圖中各小長方形的高，它反映了各組樣本觀測數(shù)據(jù)的疏密程度。因為小長方形面積=組距×（頻率/組距）=頻率，所以各小長方形的面積表示相應(yīng)各組的頻率。由以上分析可知，頻率分布直方圖以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各個小組的頻率的大小。易知，在頻率分布直方圖中，各小長方形的面積的綜合等于1，即樣本數(shù)據(jù)落在整個區(qū)間的頻率為1.思考一：頻率分布直方圖與頻數(shù)分布直方圖有什么區(qū)別？頻率分布直方圖的縱軸是頻率/組距，而頻數(shù)分布直方圖的縱軸是頻數(shù)。知識探究（二）：根據(jù)樣本數(shù)據(jù)估計總體情況思考二：觀察上述頻率分布表和頻率分布直方圖，你覺得這組數(shù)據(jù)中蘊(yùn)含了哪些有用的信息？你能發(fā)現(xiàn)居民用戶月均用水量的那些分布規(guī)律？你能給出適當(dāng)?shù)恼Z言描述嗎？從頻率分布表中可以看出，樣本觀測數(shù)據(jù)落在各個小組的比例大小。例如，月均用水量在區(qū)間[，內(nèi)的居民用戶最多，在區(qū)間[，內(nèi)的次之，而月均用水量超過的各區(qū)間內(nèi)數(shù)據(jù)所占比例較小，等等。從頻率分布直方圖可以看出，居民用戶月均用水量的樣本觀測數(shù)據(jù)的分布是不對稱的，圖形的左邊高、右邊低，右邊有一個較長的“尾巴”。這表明大部分居民用戶的月均用水量集中在一個較低值區(qū)域，尤其在[，最為集中，少數(shù)用戶居民的月均用水量偏多，而且隨著月均用水量的增加，居民用戶數(shù)呈現(xiàn)降低趨勢。有了樣本觀測數(shù)據(jù)的頻率分布，我們可以用它估計總體的取值規(guī)律。根據(jù)100戶居民用戶的月均用水量的頻率分布，可以推測該市全體居民用戶月均用水量也會有類似的分布，即大部分居民用戶月均用水量集中在較低值區(qū)域。這使我們確定用水量標(biāo)準(zhǔn)時，可以定一個合適的值，以達(dá)到既不影響大多數(shù)居民用戶的水費(fèi)支出，又能節(jié)水的目的。需要注意的是，由于樣本的隨機(jī)性，這種估計可能會存在一定誤差，但這一誤差一般不會影響我們對總體分布情況的大致了解。思考三：分別以3和27為組數(shù)，對數(shù)據(jù)進(jìn)行等距分組，畫出100戶居民用戶月均用水量的頻率分布直方圖。觀察圖形，你發(fā)現(xiàn)不同的組數(shù)對于直方圖呈現(xiàn)數(shù)據(jù)分布規(guī)律有什么影響？從上圖可以看出，同一組數(shù)據(jù)，組數(shù)不同，得到的直方圖形狀也不盡相同。圖（1）中直方圖的組數(shù)少、組距大，從圖中容易看出，數(shù)據(jù)分布的整體規(guī)律是隨著月均用水量的增加，居民用戶數(shù)的頻率在降低，而且月均用水量在區(qū)間[，內(nèi)的居民用戶數(shù)的頻率，遠(yuǎn)大于在另兩個區(qū)間[，和[，內(nèi)的頻率，這說明大部分居民用戶的月均用水量都少于。圖（2）中直方圖的組數(shù)多、組距小，從圖中可以看出，數(shù)據(jù)主要集中在低值區(qū)，尤其在區(qū)間[，內(nèi)最為集中，從總體上看，隨著月均用水量的增加，居民用戶數(shù)的頻率呈下降趨勢，但存在個別區(qū)間頻率變大或者缺少的現(xiàn)象。思考四：畫頻率分布直方圖有哪幾個步驟？1、求極差，即數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差；2、決定組距和組數(shù)，組數(shù)=極差/組距；注意：①一般樣本容量越大，所分組數(shù)越多；②為方便起見，組距的選擇應(yīng)力求“取整”；③當(dāng)樣本容量不超過100時，按照數(shù)據(jù)的多少，通常分成5～12組．3、將數(shù)據(jù)分組，通常對組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間，取左閉右開區(qū)間,最后一組取閉區(qū)間；4、登記頻數(shù),計算頻率和頻率／組距,列頻率分布表；一般分四列：分組、頻數(shù)累計、頻數(shù)、頻率，最后一行是合計．其中頻率合計應(yīng)是樣本容量，頻率合計是1.5、畫頻率分布直方圖。畫圖時，應(yīng)以橫軸表示分組，縱軸表示頻率/組距．其相應(yīng)組距上的頻率等于該組上的小長方形的面積．思考五：頻率分布直方圖還有哪些特點(diǎn)？頻率分布直方圖中：小長方形的高=頻率/組距小長方形的面積表示該組的頻率。所有小長方形的面積和=1，即頻率之和為1.思考六：根據(jù)上圖你能發(fā)現(xiàn)組數(shù)少與組數(shù)大各有什么優(yōu)缺點(diǎn)？從上述分析可見，當(dāng)頻率分布直方圖的組數(shù)少、組距大時，容易從中看出數(shù)據(jù)整體的分布特點(diǎn)，但由于無法看出每組內(nèi)的數(shù)據(jù)分布情況，損失了較多的原始數(shù)據(jù)信息；當(dāng)頻率分布直方圖的組數(shù)多、組距小時，保留了較多的原始數(shù)據(jù)信息，但由于小長方形較多，有時圖形會變得非常不規(guī)則，不容易從中看出總體數(shù)據(jù)的分布特點(diǎn)。同時，對于同一組數(shù)據(jù)，因為組距、組數(shù)不同而得到不同形狀的直方圖，會給人以不同的頻率分布印象，這種印象有時會影響人們對總體的判斷。因此，我們要注意積累數(shù)據(jù)分組、合理使用圖表的經(jīng)驗。例1、已知某市2015年全年空氣質(zhì)量等級如下表所示：選擇合適的統(tǒng)計圖描述數(shù)據(jù)，并回答下列問題：（1）分析該市2016年6月的空氣質(zhì)量情況；（2）比較該市2016年5月和6月的空氣質(zhì)量，哪個月的空氣質(zhì)量較好？（3）比較該市2016年6月與該市2015年全年的空氣質(zhì)量，2016年6月的空氣質(zhì)量是否好于去年？解：（1）根據(jù)該市2016年6月的空氣質(zhì)量指數(shù)和空氣質(zhì)量等級分級標(biāo)準(zhǔn)，可以畫出該市這個月的不同空氣質(zhì)量等級的頻數(shù)和頻率分布表：從表中可以看出，“優(yōu)“”良“的天數(shù)達(dá)19天，占了整月的%，沒有出現(xiàn)”重度污染“和”嚴(yán)重污染“。我們可以用條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖對數(shù)據(jù)作出直觀的描述，如下圖所示。從條形圖可以看出，在前三個等級的占絕大多數(shù)，空氣質(zhì)量等級為”良“的天數(shù)最多，后三個等級的天數(shù)很少。從扇形圖中可以看出，空氣質(zhì)量為“良”的天數(shù)占了總天數(shù)的一半，大約有三分之二為“優(yōu)”“良”，大多數(shù)“良”和“輕度污染”。因此，整體上6月的空氣質(zhì)量不錯。我們還可以用折線圖展示空氣質(zhì)量指數(shù)隨時間的變化情況。如下圖所示，容易發(fā)現(xiàn)，6月的空氣質(zhì)量指數(shù)在100附近波動。（2）根據(jù)該市2016年5月的空氣質(zhì)量指數(shù)和空氣質(zhì)量分級標(biāo)準(zhǔn)，可以畫出該市這個月的不同空氣質(zhì)量等級的頻數(shù)和頻率分布表為了便于比較，我們選用復(fù)合條形圖，將兩組數(shù)據(jù)同時反映到一個條形圖上。通過條形圖中柱的高低，可以更直觀地進(jìn)行兩個月的空氣質(zhì)量的比較。由上圖和上表發(fā)現(xiàn)，5月空氣質(zhì)量為“優(yōu)”和“良”的總天數(shù)比6月多。所以，從整體上看，5月的空氣質(zhì)量略好于6月，但5月有重度污染，而6月沒有。（3）把2016年6月和2015年全年的空氣質(zhì)量進(jìn)行比較，由于一個月和一年的天數(shù)差別很大，所以直接通過頻數(shù)比較沒有意義，應(yīng)該轉(zhuǎn)化成頻率分布進(jìn)行比較?？梢酝ㄟ^二者的空氣質(zhì)量指數(shù)的頻率分布直方圖或空氣質(zhì)量等級的頻率分布條形圖進(jìn)行比較。通過上圖可以看出，雖然2016年6月的空氣質(zhì)量為“優(yōu)”的頻率略低于2015年，但“良”的頻率明顯高于2015年，而且2016年6月中度以上的污染天氣頻率明顯小于2015年。所以從整體上看，2016年6月的空氣質(zhì)量要好于2015年全年的空氣質(zhì)量。小試牛刀1、下列關(guān)于頻率分布直方圖的說法正確的是(D)A.頻率分布直方圖的高表示取某數(shù)的頻率B.頻率分布直方圖的高表示該組上的個體在樣本中出現(xiàn)的頻率C.頻率分布直方圖的高表示取某組上的個體在樣本中出現(xiàn)的頻數(shù)與組距的比值D.頻率分布直方圖的高表示取該組上的個體在樣本中出現(xiàn)的頻率與組距的比值2、某學(xué)校組織學(xué)生參加英語測試，成績的頻率分布直方圖如圖，數(shù)據(jù)的分組一次為[20，40），[40，60），[60，80），[80，100）．若低于60分的人數(shù)是15人，則該班的學(xué)生人數(shù)是（）人解：∵成績低于60分有第一、二組數(shù)據(jù)，在頻率分布直方圖中，對應(yīng)矩形的高分別為，，每組數(shù)據(jù)的組距為20，則成績低于60分的頻率P=（+）×20=，又∵低于60分的人數(shù)是15人，則該班的學(xué)生人數(shù)是15/=50人。3、從某小區(qū)抽取100戶居民進(jìn)行月用電量調(diào)查，發(fā)現(xiàn)其用電量都在50至350度之間，頻率分布直方圖如圖所示：（1）直方圖中x的值為______；（2）在這些用戶中，用電量落在區(qū)間[100，250）內(nèi)的戶數(shù)為______．解：（1）依題意及頻率分布直方圖知，×50+×50+×50+x×50+×50+×50=1，解得x=．（2）樣本數(shù)據(jù)落在[100，150）內(nèi)的頻率×50=，樣本數(shù)據(jù)落在[150，200）內(nèi)的頻率為×50=．樣本數(shù)據(jù)落在[200，250）內(nèi)的頻率為×50=，故在這些用戶中，用電量落在區(qū)間[100，250）內(nèi)的戶數(shù)為（++）×100=70．4、如圖，從參加環(huán)保知識競賽的學(xué)生中抽出60名，將其成績（均為整數(shù)）整理后畫出的頻率分布直方圖如下：觀察圖形，回答下列問題：（1）求：這一組數(shù)據(jù)的頻數(shù)、頻率；（2）求：本次競賽的及格率（60分及以上為及格）。解：（1）頻率為：×10=，頻數(shù)：60×=15；（2）×10+×10+×10+×10=。5、調(diào)查某校高三年級男生的身高，隨機(jī)抽取40名高三男生，實(shí)測身高數(shù)據(jù)(單位：cm)如下：171163163166166168168160168165171169167169151168170168160174165168174159167156157164169180176157162161158164163163167161(1)作出頻率分布表；(2)畫出頻率分布直方圖．解：（1）第一步:求極差:最低身高151cm，最高身高180cm，它們的差是180－151＝29，即極差為29；第二步:決定組距與組數(shù):當(dāng)樣本容量不超過100時,按照數(shù)據(jù)的多少,常分成5-12組.為方便組距的選擇應(yīng)力求“取整”.本題如果組距為4,則所以將數(shù)據(jù)分成8組較合適.第三步:將數(shù)據(jù)分組：[,，[,，[,，[,，[,，[,，[,，[,，共8組第四步:列頻率分布表.組距=４（2）第五步:畫出頻率分布直方圖.知識探究（三）：總體百分位數(shù)的估計問題一：我們根據(jù)頻率分布直方圖得出了“大部分居民用戶的月均用水量集中在一個較低值區(qū)域”等推斷。那么，如何利用這些信息，為政府決策服務(wù)呢？如果該市政府希望使80%的居民用戶生活用水費(fèi)支出不受影響，你能給市政府提出確定居民用戶月均用水量標(biāo)準(zhǔn)的建議嗎？根據(jù)市政府的要求確定居民用戶月均用水量標(biāo)準(zhǔn)，要尋找一個數(shù)a，使全市居民用戶月均用水量中不超過a的占80%，大于a的占20%。下面我們通過樣本數(shù)據(jù)對a的值進(jìn)行估計。把100個樣本數(shù)據(jù)按從小到大排序，得到第80個和第81個數(shù)據(jù)分別為和.可以發(fā)現(xiàn)，區(qū)間（，）內(nèi)的任意一個數(shù)，都能把樣本數(shù)據(jù)分成符合要求的兩部分。一般地，我們?nèi)∵@兩個數(shù)的平均數(shù)（+）/2=，并稱此數(shù)為這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)或80%分位數(shù)。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)，我們可以估計總體數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為左右。由于樣本的取值規(guī)律與總體的取值規(guī)律之間會存在偏差，而在決策問題中，只要臨界值近似為第80百分位數(shù)即可，因此為了實(shí)際中操作的方便，可以建議市政府把月均用水量標(biāo)準(zhǔn)定為14t，或者把年用水量標(biāo)準(zhǔn)定為168t.一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個值，且至少有（100-p）%的數(shù)據(jù)大于或等于這個值?？梢酝ㄟ^下面的步驟計算一組n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)：第一步：按從小到大排列原始數(shù)據(jù)；第二步：計算i=n×p%；第三步：若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)位j，則第p百分位數(shù)為第j項數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項與第i+1項的平均數(shù)。我們在初中學(xué)過的中位數(shù)，相當(dāng)于是第50百分位數(shù)。在實(shí)際應(yīng)用中，除了中位數(shù)外，常用的分位數(shù)還有第25百分位數(shù)，第75百分位數(shù)。這三個分位數(shù)把一組由小到大排列后的數(shù)據(jù)分成四等份，因此稱為四分位數(shù)。其中第25百分位數(shù)也稱為第一四分位數(shù)或下四分位數(shù)等，第75百分位數(shù)也稱為第三四分位數(shù)或上四分位數(shù)等。另外，像第1百分位數(shù)，第5百分位數(shù)，第95百分位數(shù)，和第99百分位數(shù)在統(tǒng)計中也經(jīng)常被使用。例2、根據(jù)下列樣本數(shù)據(jù)，估計樹人中學(xué)高一年級女生第25，50，75百分位數(shù)。解：把27名女生的樣本數(shù)據(jù)按從小到大排序，可得：由25%×27=，50%×27=，75%×27=，可知樣本數(shù)據(jù)的第25，50，75百分位數(shù)為第7，14，21項數(shù)據(jù)，分別為，161，164.據(jù)此可以估計樹人中學(xué)高一年級女生的第25，50，75百分位數(shù)分別約為，161和164.例3、根據(jù)下列圖表，估計月均用水量的樣本數(shù)據(jù)的80%和95%分位數(shù)。解：由上表可知，月均用水量在以下的居民用戶所占比例為23%+32%+13%+9%=77%在以下的居民用戶所占比例為77%+9%=86%因此，80%分位數(shù)一定位于[，內(nèi)。由+3×（）/（）=可以估計月均用水量的樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)約為.類似地，由+3×（）/（）=可以估計月均用水量的樣本數(shù)據(jù)的95%分位