【高三理科數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)】第九章-第9節(jié)-第2課時(shí)-定點(diǎn)、定值、探索性問題

第2課時(shí)定點(diǎn)、定值、探索性問題考點(diǎn)一定點(diǎn)問題(1)求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程；(2)(一題多解)設(shè)直線l與(1)中軌跡相切于點(diǎn)P，與直線x＝4相交于點(diǎn)Q，判斷以PQ為直徑的圓是否過x軸上一定點(diǎn).(2)法一易知直線l的斜率存在，設(shè)直線l：y＝kx＋m.依題意得Δ＝(8km)2－4(3＋4k2)(4m2－12)＝0，即3＋4k2＝m2.又Q(4，4k＋m)，綜上可知，以PQ為直徑的圓過x軸上一定點(diǎn)(1，0).得(x0－t)·(4－t)＋3－3x0＝0，即x0(1－t)＋t2－4t＋3＝0.由x0的任意性，得1－t＝0且t2－4t＋3＝0，解得t＝1.綜上可知，以PQ為直徑的圓過x軸上一定點(diǎn)(1，0).規(guī)律方法

圓錐曲線中定點(diǎn)問題的兩種解法(1)引進(jìn)參數(shù)法：引進(jìn)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或動(dòng)線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時(shí)沒有關(guān)系，找到定點(diǎn).(2)特殊到一般法，根據(jù)動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)線的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無關(guān).【訓(xùn)練1】

已知拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)A(1，2)為拋物線C上一點(diǎn). (1)求拋物線C的方程； (2)若點(diǎn)B(1，－2)在拋物線C上，過點(diǎn)B作拋物線C的兩條弦BP與BQ，如kBP·kBQ＝－2，求證：直線PQ過定點(diǎn).(1)解若拋物線的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)拋物線方程為y2＝ax，代入點(diǎn)A(1，2)，可得a＝4，所以拋物線方程為y2＝4x.(2)證明因?yàn)辄c(diǎn)B(1，－2)在拋物線C上，所以由(1)可得拋物線C的方程是y2＝4x.易知直線BP，BQ的斜率均存在，設(shè)直線BP的方程為y＋2＝k(x－1)，將直線BP的方程代入y2＝4x，消去y，得k2x2－(2k2＋4k＋4)x＋(k＋2)2＝0.在上述方程中，令x＝3，解得y＝2，所以直線PQ恒過定點(diǎn)(3，2).考點(diǎn)二定值問題(1)證明∵k1，k2均存在，∴x1x2≠0.(2)解①當(dāng)直線PQ的斜率不存在，即x1＝x2，y1＝－y2時(shí)，②當(dāng)直線PQ的斜率存在時(shí)，設(shè)直線PQ的方程為y＝kx＋b.其中Δ＝(8kb)2－4(4k2＋1)(4b2－4)＝16(1＋4k2－b2)>0，即b2<1＋4k2.綜合①②，△POQ的面積S為定值1.規(guī)律方法

圓錐曲線中定值問題的特點(diǎn)及兩大解法(1)特點(diǎn)：待證幾何量不受動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)線的影響而有固定的值.(2)兩大解法：①從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)；②引起變量法：其解題流程為【訓(xùn)練2】

(2019·長春質(zhì)量監(jiān)測)已知直線l過拋物線C：x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)，且垂直于拋物線的對稱軸，l與拋物線兩交點(diǎn)間的距離為2. (1)求拋物線C的方程； (2)若點(diǎn)P(2，2)，過點(diǎn)(－2，4)的直線m與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)直線PA與PB的斜率分別為k1和k2.求證：k1k2為定值，并求出此定值.(1)解由題意可知，2p＝2，解得p＝1，則拋物線的方程為x2＝2y.(2)證明由題易知直線m的斜率存在，設(shè)直線m的方程為y－4＝k(x＋2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立拋物線x2＝2y與直線y－4＝k(x＋2)的方程消去y得x2－2kx－4k－8＝0，其中Δ＝4(k2＋4k＋8)>0恒成立，可得x1＋x2＝2k，x1x2＝－4k－8，則k1k2＝－1.因此k1k2為定值，且該定值為－1.考點(diǎn)三探索性問題(2)當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，顯然x軸上任意一點(diǎn)T都滿足TS與TR所在直線關(guān)于x軸對稱.當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí)，假設(shè)存在T(t，0)滿足條件，設(shè)l的方程為y＝k(x－1)，R(x1，y1)，S(x2，y2).其中Δ>0恒成立，由TS與TR所在直線關(guān)于x軸對稱，得kTS＋kTR＝0(顯然TS，TR的斜率存在)，因?yàn)镽，S兩點(diǎn)在直線y＝k(x－1)上，所以y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，代入②得即2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0，③將①代入③得則t＝4，綜上所述，存在T(4，0)，使得當(dāng)l變化時(shí)，總有TS與TR所在直線關(guān)于x軸對稱.規(guī)律方法

此類問題一般分為探究條件、探究結(jié)論兩種.若探究條件，則可先假設(shè)條件成立，再驗(yàn)證結(jié)論是否成立，成立則存在，否則不存在；若探究結(jié)論，則應(yīng)先求出結(jié)論的表達(dá)式，再針對其表達(dá)式進(jìn)行討論，往往涉及對參數(shù)的討論.當(dāng)m＝0時(shí)，顯然不合題意.當(dāng)m≠0時(shí)，∵直線l與圓x2＋y2＝1相切，[思維升華]1.求定值問題常見的方法有兩種： (1)從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān). (2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值.2.定點(diǎn)的探索與證明問題 (1)探索直線過定點(diǎn)時(shí)，可設(shè)出直線方程為y＝kx＋b，然后利用條件建立b，k等量關(guān)系進(jìn)行消元，借助于直線系的思想找出定點(diǎn). (2)從特殊情況入手，先探求定點(diǎn)，再證明與變量無關(guān).3.求解范圍問題的方法

求范圍問題的關(guān)鍵是建立求解關(guān)于某個(gè)變量的目標(biāo)函數(shù)，通過求這個(gè)函數(shù)的值域確定目標(biāo)的范圍，要特別注意變量的取值范圍.4.圓錐曲線中常見最值的解題方法 (1)幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決； (2)代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可先建立起目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值，最值常用基本不等式法、配方法及導(dǎo)數(shù)法求解.