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2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)是兩條不同的直線,是兩個(gè)不同的平面,則下列命題正確的是()A.若,,則 B.若,,則C.若,,,則 D.若,,,則2.如圖所示,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是由一個(gè)棱柱挖去一個(gè)棱錐后的幾何體的三視圖,則該幾何體的體積為A.72 B.64 C.48 D.323.已知集合,,,則()A. B. C. D.4.如圖,在正方體中,已知、、分別是線段上的點(diǎn),且.則下列直線與平面平行的是()A. B. C. D.5.如圖網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為,粗線畫出的是某幾何體的三視圖,則該幾何體的所有棱中最長棱的長度為()A. B. C. D.6.我們熟悉的卡通形象“哆啦A夢(mèng)”的長寬比為.在東方文化中通常稱這個(gè)比例為“白銀比例”,該比例在設(shè)計(jì)和建筑領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.已知某電波塔自下而上依次建有第一展望臺(tái)和第二展望臺(tái),塔頂?shù)剿椎母叨扰c第二展望臺(tái)到塔底的高度之比,第二展望臺(tái)到塔底的高度與第一展望臺(tái)到塔底的高度之比皆等于“白銀比例”,若兩展望臺(tái)間高度差為100米,則下列選項(xiàng)中與該塔的實(shí)際高度最接近的是()A.400米 B.480米C.520米 D.600米7.已知的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為8,則實(shí)數(shù)()A.2 B.-2 C.-3 D.38.展開項(xiàng)中的常數(shù)項(xiàng)為A.1 B.11 C.-19 D.519.設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),當(dāng)時(shí),,則使得成立的的取值范圍是()A. B.C. D.10.中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載了公元前344年商鞅督造的一種標(biāo)準(zhǔn)量器——商鞅銅方升,其三視圖如圖所示(單位:寸),若取3,當(dāng)該量器口密閉時(shí)其表面積為42.2(平方寸),則圖中x的值為()A.3 B.3.4 C.3.8 D.411.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓的右焦點(diǎn)為,若F到直線的距離為,則E的離心率為()A. B. C. D.12.已知點(diǎn)為雙曲線的右焦點(diǎn),直線與雙曲線交于A,B兩點(diǎn),若,則的面積為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知,,其中,為正的常數(shù),且,則的值為_______.14.已知,記,則的展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為__________.15.在中,內(nèi)角所對(duì)的邊分別是.若,,則__,面積的最大值為___.16.已知拋物線的焦點(diǎn)為,過點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于兩點(diǎn),,若線段的垂直平分線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,則的值為_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知,,分別是三個(gè)內(nèi)角,,的對(duì)邊,.(1)求;(2)若,,求,.18.(12分)已知在等比數(shù)列中,.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若,求數(shù)列前項(xiàng)的和.19.(12分)已知矩陣,.求矩陣;求矩陣的特征值.20.(12分)在某外國語學(xué)校舉行的(高中生數(shù)學(xué)建模大賽)中,參與大賽的女生與男生人數(shù)之比為,且成績(jī)分布在,分?jǐn)?shù)在以上(含)的同學(xué)獲獎(jiǎng).按女生、男生用分層抽樣的方法抽取人的成績(jī)作為樣本,得到成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示.(Ⅰ)求的值,并計(jì)算所抽取樣本的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);(Ⅱ)填寫下面的列聯(lián)表,并判斷在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下能否認(rèn)為“獲獎(jiǎng)與女生、男生有關(guān)”.女生男生總計(jì)獲獎(jiǎng)不獲獎(jiǎng)總計(jì)附表及公式:其中,.21.(12分)某客戶準(zhǔn)備在家中安裝一套凈水系統(tǒng),該系統(tǒng)為二級(jí)過濾,使用壽命為十年如圖所示兩個(gè)二級(jí)過濾器采用并聯(lián)安裝,再與一級(jí)過濾器串聯(lián)安裝.其中每一級(jí)過濾都由核心部件濾芯來實(shí)現(xiàn)在使用過程中,一級(jí)濾芯和二級(jí)濾芯都需要不定期更換(每個(gè)濾芯是否需要更換相互獨(dú)立).若客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時(shí)購買濾芯,則一級(jí)濾芯每個(gè)160元,二級(jí)濾芯每個(gè)80元.若客戶在使用過程中單獨(dú)購買濾芯則一級(jí)濾芯每個(gè)400元,二級(jí)濾芯每個(gè)200元.現(xiàn)需決策安裝凈水系統(tǒng)的同時(shí)購買濾芯的數(shù)量,為此參考了根據(jù)100套該款凈水系統(tǒng)在十年使用期內(nèi)更換濾芯的相關(guān)數(shù)據(jù)制成的圖表,其中表1是根據(jù)100個(gè)一級(jí)過濾器更換的濾芯個(gè)數(shù)制成的頻數(shù)分布表,圖2是根據(jù)200個(gè)二級(jí)過濾器更換的濾芯個(gè)數(shù)制成的條形圖.表1:一級(jí)濾芯更換頻數(shù)分布表一級(jí)濾芯更換的個(gè)數(shù)89頻數(shù)6040圖2:二級(jí)濾芯更換頻數(shù)條形圖以100個(gè)一級(jí)過濾器更換濾芯的頻率代替1個(gè)一級(jí)過濾器更換濾芯發(fā)生的概率,以200個(gè)二級(jí)過濾器更換濾芯的頻率代替1個(gè)二級(jí)過濾器更換濾芯發(fā)生的概率.(1)求一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級(jí)濾芯總個(gè)數(shù)恰好為16的概率;(2)記表示該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的二級(jí)濾芯總數(shù),求的分布列及數(shù)學(xué)期望;(3)記分別表示該客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時(shí)購買的一級(jí)濾芯和二級(jí)濾芯的個(gè)數(shù).若,且,以該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)購買各級(jí)濾芯所需總費(fèi)用的期望值為決策依據(jù),試確定的值.22.(10分)已知函數(shù),不等式的解集為.(1)求實(shí)數(shù),的值;(2)若,,,求證:.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.C【解析】
根據(jù)空間中直線與平面、平面與平面位置關(guān)系相關(guān)定理依次判斷各個(gè)選項(xiàng)可得結(jié)果.【詳解】對(duì)于,當(dāng)為內(nèi)與垂直的直線時(shí),不滿足,錯(cuò)誤;對(duì)于,設(shè),則當(dāng)為內(nèi)與平行的直線時(shí),,但,錯(cuò)誤;對(duì)于,由,知:,又,,正確;對(duì)于,設(shè),則當(dāng)為內(nèi)與平行的直線時(shí),,錯(cuò)誤.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中線面關(guān)系、面面關(guān)系有關(guān)命題的辨析,考查學(xué)生對(duì)于平行與垂直相關(guān)定理的掌握情況,屬于基礎(chǔ)題.2.B【解析】
由三視圖可知該幾何體是一個(gè)底面邊長為4的正方形,高為5的正四棱柱,挖去一個(gè)底面邊長為4,高為3的正四棱錐,利用體積公式,即可求解。【詳解】由題意,幾何體的三視圖可知該幾何體是一個(gè)底面邊長為4的正方形,高為5的正四棱柱,挖去一個(gè)底面邊長為4,高為3的正四棱錐,所以幾何體的體積為,故選B?!军c(diǎn)睛】本題考查了幾何體的三視圖及體積的計(jì)算,在由三視圖還原為空間幾何體的實(shí)際形狀時(shí),要根據(jù)三視圖的規(guī)則,空間幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實(shí)線,不可見輪廓線在三視圖中為虛線。求解以三視圖為載體的空間幾何體的表面積與體積的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系,利用相應(yīng)公式求解。3.D【解析】
根據(jù)集合的基本運(yùn)算即可求解.【詳解】解:,,,則故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的基本運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.4.B【解析】
連接,使交于點(diǎn),連接、,可證四邊形為平行四邊形,可得,利用線面平行的判定定理即可得解.【詳解】如圖,連接,使交于點(diǎn),連接、,則為的中點(diǎn),在正方體中,且,則四邊形為平行四邊形,且,、分別為、的中點(diǎn),且,所以,四邊形為平行四邊形,則,平面,平面,因此,平面.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面平行的判定,考查了推理論證能力和空間想象能力,屬于中檔題.5.C【解析】
利用正方體將三視圖還原,觀察可得最長棱為AD,算出長度.【詳解】幾何體的直觀圖如圖所示,易得最長的棱長為故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了三視圖還原幾何體的問題,其中利用正方體作襯托是關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.6.B【解析】
根據(jù)題意,畫出幾何關(guān)系,結(jié)合各線段比例可先求得第一展望臺(tái)和第二展望臺(tái)的距離,進(jìn)而由比例即可求得該塔的實(shí)際高度.【詳解】設(shè)第一展望臺(tái)到塔底的高度為米,塔的實(shí)際高度為米,幾何關(guān)系如下圖所示:由題意可得,解得;且滿足,故解得塔高米,即塔高約為480米.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)中國文化的理解與簡(jiǎn)單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.7.A【解析】
先求的展開式,再分類分析中用哪一項(xiàng)與相乘,將所有結(jié)果為常數(shù)的相加,即為展開式的常數(shù)項(xiàng),從而求出的值.【詳解】展開式的通項(xiàng)為,當(dāng)取2時(shí),常數(shù)項(xiàng)為,當(dāng)取時(shí),常數(shù)項(xiàng)為由題知,則.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了兩個(gè)二項(xiàng)式乘積的展開式中的系數(shù)問題,其中對(duì)所取的項(xiàng)要進(jìn)行分類討論,屬于基礎(chǔ)題.8.B【解析】
展開式中的每一項(xiàng)是由每個(gè)括號(hào)中各出一項(xiàng)組成的,所以可分成三種情況.【詳解】展開式中的項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng),有3種情況:(1)5個(gè)括號(hào)都出1,即;(2)兩個(gè)括號(hào)出,兩個(gè)括號(hào)出,一個(gè)括號(hào)出1,即;(3)一個(gè)括號(hào)出,一個(gè)括號(hào)出,三個(gè)括號(hào)出1,即;所以展開項(xiàng)中的常數(shù)項(xiàng)為,故選B.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理知識(shí)的生成過程,考查定理的本質(zhì),即展開式中每一項(xiàng)是由每個(gè)括號(hào)各出一項(xiàng)相乘組合而成的.9.D【解析】構(gòu)造函數(shù),令,則,由可得,則是區(qū)間上的單調(diào)遞減函數(shù),且,當(dāng)x∈(0,1)時(shí),g(x)>0,∵lnx<0,f(x)<0,(x2-1)f(x)>0;當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),g(x)<0,∵lnx>0,∴f(x)<0,(x2-1)f(x)<0∵f(x)是奇函數(shù),當(dāng)x∈(-1,0)時(shí),f(x)>0,(x2-1)f(x)<0∴當(dāng)x∈(-∞,-1)時(shí),f(x)>0,(x2-1)f(x)>0.綜上所述,使得(x2-1)f(x)>0成立的x的取值范圍是.本題選擇D選項(xiàng).點(diǎn)睛:函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一,它的應(yīng)用貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)的教學(xué)之中.某些數(shù)學(xué)問題從表面上看似乎與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān),但如果我們能挖掘其內(nèi)在聯(lián)系,抓住其本質(zhì),那么運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題,能起到化難為易、化繁為簡(jiǎn)的作用.因此對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行全面、準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí),并掌握好使用的技巧和方法,這是非常必要的.根據(jù)題目的特點(diǎn),構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題,是一種常用技巧.許多問題,如果運(yùn)用這種思想去解決,往往能獲得簡(jiǎn)潔明快的思路,有著非凡的功效.10.D【解析】
根據(jù)三視圖即可求得幾何體表面積,即可解得未知數(shù).【詳解】由圖可知,該幾何體是由一個(gè)長寬高分別為和一個(gè)底面半徑為,高為的圓柱組合而成.該幾何體的表面積為,解得,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查由三視圖還原幾何體,以及圓柱和長方體表面積的求解,屬綜合基礎(chǔ)題.11.A【解析】
由已知可得到直線的傾斜角為,有,再利用即可解決.【詳解】由F到直線的距離為,得直線的傾斜角為,所以,即,解得.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓離心率的問題,一般求橢圓離心率的問題時(shí),通常是構(gòu)造關(guān)于的方程或不等式,本題是一道容易題.12.D【解析】
設(shè)雙曲線C的左焦點(diǎn)為,連接,由對(duì)稱性可知四邊形是平行四邊形,設(shè),得,求出的值,即得解.【詳解】設(shè)雙曲線C的左焦點(diǎn)為,連接,由對(duì)稱性可知四邊形是平行四邊形,所以,.設(shè),則,又.故,所以.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),考查余弦定理解三角形和三角形面積的計(jì)算,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
把已知等式變形,展開兩角和與差的三角函數(shù),結(jié)合已知求得值.【詳解】解:由,得,,即,,又,,解得:.為正的常數(shù),.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查兩角和與差的三角函數(shù),考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法,屬于中檔題.14.【解析】
根據(jù)定積分的計(jì)算,得到,令,求得,即可得到答案.【詳解】根據(jù)定積分的計(jì)算,可得,令,則,即的展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了定積分的應(yīng)用,以及二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,其中解答中根據(jù)定積分的計(jì)算和二項(xiàng)式定理求得的表示是解答本題的關(guān)鍵,著重考查了運(yùn)算與求解能力,屬于基礎(chǔ)題.15.1【解析】
由正弦定理,結(jié)合,,可求出;由三角形面積公式以及角A的范圍,即可求出面積的最大值.【詳解】因?yàn)?,所以由正弦定理可得,所?所以,當(dāng),即時(shí),三角形面積最大.故答案為(1).1(2).【點(diǎn)睛】本題主要考查解三角形的問題,熟記正弦定理以及三角形面積公式即可求解,屬于基礎(chǔ)題型.16.1【解析】
設(shè),寫出直線方程代入拋物線方程后應(yīng)用韋達(dá)定理求得,由拋物線定義得焦點(diǎn)弦長,求得,再寫出的垂直平分線方程,得,從而可得結(jié)論.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,直線的方程為,據(jù)得.設(shè),則.線段垂直平分線方程為,令,則,所以,所以.故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的焦點(diǎn)弦問題,根據(jù)拋物線的定義表示出焦點(diǎn)弦長是解題關(guān)鍵.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1);(2),或,.【解析】
(1)利用正弦定理,轉(zhuǎn)化原式為,結(jié)合,可得,即得解;(2)由余弦定理,結(jié)合題中數(shù)據(jù),可得解【詳解】(1)由及正弦定理得.因?yàn)?,所以,代入上式并化?jiǎn)得.由于,所以.又,故.(2)因?yàn)?,,,由余弦定理得?所以.而,所以,為一元二次方程的兩根.所以,或,.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理,余弦定理的綜合應(yīng)用,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.18.(1)(2)【解析】
(1)由基本量法,求出公比后可得通項(xiàng)公式;(2)求出,用裂項(xiàng)相消法求和.【詳解】解:(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為又因?yàn)?,所以解得(舍)或所以,即?)據(jù)(1)求解知,,所以所以【點(diǎn)睛】本題考查求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,考查裂項(xiàng)相消法求和.解題方法是基本量法.基本量法是解決等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本方法,務(wù)必掌握.19.;,.【解析】
由題意,可得,利用矩陣的知識(shí)求解即可.矩陣的特征多項(xiàng)式為,令,求出矩陣的特征值.【詳解】設(shè)矩陣,則,所以,解得,,,,所以矩陣;矩陣的特征多項(xiàng)式為,令,解得,,即矩陣的兩個(gè)特征值為,.【點(diǎn)睛】本題考查矩陣的知識(shí)點(diǎn),屬于常考題.20.(Ⅰ),;(Ⅱ)詳見解析.【解析】
(Ⅰ)根據(jù)概率的性質(zhì)知所有矩形的面積之和等于列式可解得;(Ⅱ)由頻率分布直方圖知樣本中獲獎(jiǎng)的人數(shù)為,不獲獎(jiǎng)的人數(shù)為,從而可得列聯(lián)表,再計(jì)算出,與臨界值比較可得.【詳解】解:(Ⅰ),.(Ⅱ)由頻率分布直方圖知樣本中獲獎(jiǎng)的人數(shù)為,不獲獎(jiǎng)的人數(shù)為,列聯(lián)表如下:女生男生總計(jì)獲獎(jiǎng)不獲獎(jiǎng)總計(jì)因?yàn)?所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下能認(rèn)為“獲獎(jiǎng)與女生,男生有關(guān).”【點(diǎn)睛】本題主要考查獨(dú)立性檢驗(yàn),以及由頻率分布直方圖求平均數(shù)的問題,熟記獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想,以及平均數(shù)的計(jì)算方法即可,屬于??碱}型.21.(1)0.024;(2)分布列見解析,;(3)【解析】
(1)由題意可知,若一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級(jí)濾芯總個(gè)數(shù)恰好為16,則該套凈水系統(tǒng)中一個(gè)一級(jí)過濾器需要更換8個(gè)濾芯,兩個(gè)二級(jí)過濾器均需要更換4個(gè)濾芯,而由一級(jí)濾芯更換頻數(shù)分布表和二級(jí)濾芯更換頻數(shù)條形圖可知,一級(jí)過濾器需要更換8個(gè)濾芯的概率為0.6,二級(jí)過濾器需要更換4個(gè)濾芯的概率為0.2,再由乘法原理可求出概率;(2)由二級(jí)濾芯更換頻數(shù)條形圖可知,一個(gè)二級(jí)過濾器需要更換濾芯的個(gè)數(shù)為4,5,6的概率分別為0.2,0.4,0.4,而的可能取值為8,9,10,11,12,然后求出概率,可得到的分布列及數(shù)學(xué)期望;(3)由,且,可知若,則,或若,則,再分別計(jì)算兩種情況下的所需總費(fèi)用的期望值比較大小即可.【詳解】(1)由題意知,若一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級(jí)濾芯總個(gè)數(shù)恰好為16,則該套凈水
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