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2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,,,,則()A. B. C. D.2.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,,則數(shù)列的公差為()A. B. C. D.3.的圖象如圖所示,,若將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后所得圖象與的圖象重合,則可取的值的是()A. B. C. D.4.已知平面向量,滿足,且,則與的夾角為()A. B. C. D.5.設(shè),則關(guān)于的方程所表示的曲線是()A.長(zhǎng)軸在軸上的橢圓 B.長(zhǎng)軸在軸上的橢圓C.實(shí)軸在軸上的雙曲線 D.實(shí)軸在軸上的雙曲線6.函數(shù)與在上最多有n個(gè)交點(diǎn),交點(diǎn)分別為(,……,n),則()A.7 B.8 C.9 D.107.若復(fù)數(shù)滿足,則()A. B. C.2 D.8.定義,已知函數(shù),,則函數(shù)的最小值為()A. B. C. D.9.設(shè)集合則()A. B. C. D.10.如圖,正方體的底面與正四面體的底面在同一平面上,且,若正方體的六個(gè)面所在的平面與直線相交的平面?zhèn)€數(shù)分別記為,則下列結(jié)論正確的是()A. B. C. D.11.我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)(即質(zhì)數(shù))的和”,如,.在不超過20的素?cái)?shù)中,隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù),其和等于20的概率是()A. B. C. D.以上都不對(duì)12.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.過直線上一動(dòng)點(diǎn)向圓引兩條切線MA,MB,切點(diǎn)為A,B,若,則四邊形MACB的最小面積的概率為________.14.我國(guó)古代名著《張丘建算經(jīng)》中記載:“今有方錐下廣二丈,高三丈,欲斬末為方亭;令上方六尺:?jiǎn)柾し綆缀危俊贝笾乱馑际牵河幸粋€(gè)四棱錐下底邊長(zhǎng)為二丈,高三丈;現(xiàn)從上面截取一段,使之成為正四棱臺(tái)狀方亭,且四棱臺(tái)的上底邊長(zhǎng)為六尺,則該正四棱臺(tái)的高為________尺,體積是_______立方尺(注:1丈=10尺).15.從編號(hào)為,,,的張卡片中隨機(jī)抽取一張,放回后再隨機(jī)抽取一張,則第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字整除的概率為_____________.16.已知等比數(shù)列滿足,,則該數(shù)列的前5項(xiàng)的和為______________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知中心在原點(diǎn)的橢圓的左焦點(diǎn)為,與軸正半軸交點(diǎn)為,且.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過點(diǎn)作斜率為、的兩條直線分別交于異于點(diǎn)的兩點(diǎn)、.證明:當(dāng)時(shí),直線過定點(diǎn).18.(12分)已知六面體如圖所示,平面,,,,,,是棱上的點(diǎn),且滿足.(1)求證:直線平面;(2)求二面角的正弦值.19.(12分)已知數(shù)列是等差數(shù)列,前項(xiàng)和為,且,.(1)求.(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.20.(12分)某公司打算引進(jìn)一臺(tái)設(shè)備使用一年,現(xiàn)有甲、乙兩種設(shè)備可供選擇.甲設(shè)備每臺(tái)10000元,乙設(shè)備每臺(tái)9000元.此外設(shè)備使用期間還需維修,對(duì)于每臺(tái)設(shè)備,一年間三次及三次以內(nèi)免費(fèi)維修,三次以外的維修費(fèi)用均為每次1000元.該公司統(tǒng)計(jì)了曾使用過的甲、乙各50臺(tái)設(shè)備在一年間的維修次數(shù),得到下面的頻數(shù)分布表,以這兩種設(shè)備分別在50臺(tái)中的維修次數(shù)頻率代替維修次數(shù)發(fā)生的概率.維修次數(shù)23456甲設(shè)備5103050乙設(shè)備05151515(1)設(shè)甲、乙兩種設(shè)備每臺(tái)購(gòu)買和一年間維修的花費(fèi)總額分別為和,求和的分布列;(2)若以數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù),希望設(shè)備購(gòu)買和一年間維修的花費(fèi)總額盡量低,且維修次數(shù)盡量少,則需要購(gòu)買哪種設(shè)備?請(qǐng)說明理由.21.(12分)已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若,,且數(shù)列前項(xiàng)和為,求的取值范圍.22.(10分)已知,,函數(shù)的最小值為.(1)求證:;(2)若恒成立,求實(shí)數(shù)的最大值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.D【解析】試題分析:由于在等比數(shù)列中,由可得:,又因?yàn)椋杂校菏欠匠痰亩?shí)根,又,,所以,故解得:,從而公比;那么,故選D.考點(diǎn):等比數(shù)列.2.D【解析】
根據(jù)等差數(shù)列公式直接計(jì)算得到答案.【詳解】依題意,,故,故,故,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的計(jì)算,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.3.B【解析】
根據(jù)圖象求得函數(shù)的解析式,即可得出函數(shù)的解析式,然后求出變換后的函數(shù)解析式,結(jié)合題意可得出關(guān)于的等式,即可得出結(jié)果.【詳解】由圖象可得,函數(shù)的最小正周期為,,,則,,取,,則,,,可得,當(dāng)時(shí),.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查利用圖象求函數(shù)解析式,同時(shí)也考查了利用函數(shù)圖象變換求參數(shù),考查計(jì)算能力,屬于中等題.4.C【解析】
根據(jù),兩邊平方,化簡(jiǎn)得,再利用數(shù)量積定義得到求解.【詳解】因?yàn)槠矫嫦蛄?,滿足,且,所以,所以,所以,所以,所以與的夾角為.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的模,向量的夾角和數(shù)量積運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.5.C【解析】
根據(jù)條件,方程.即,結(jié)合雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征判斷曲線的類型.【詳解】解:∵k>1,∴1+k>0,k2-1>0,
方程,即,表示實(shí)軸在y軸上的雙曲線,
故選C.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征,依據(jù)條件把已知的曲線方程化為是關(guān)鍵.6.C【解析】
根據(jù)直線過定點(diǎn),采用數(shù)形結(jié)合,可得最多交點(diǎn)個(gè)數(shù),然后利用對(duì)稱性,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:直線過定點(diǎn)且在是關(guān)于對(duì)稱如圖通過圖像可知:直線與最多有9個(gè)交點(diǎn)同時(shí)點(diǎn)左、右邊各四個(gè)交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱所以故選:C【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用,數(shù)形結(jié)合,難點(diǎn)在于正確畫出圖像,同時(shí)掌握基礎(chǔ)函數(shù)的性質(zhì),屬難題.7.D【解析】
把已知等式變形,利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn),再由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式計(jì)算.【詳解】解:由題意知,,,∴,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)模的求法.8.A【解析】
根據(jù)分段函數(shù)的定義得,,則,再根據(jù)基本不等式構(gòu)造出相應(yīng)的所需的形式,可求得函數(shù)的最小值.【詳解】依題意得,,則,(當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)“”成立.此時(shí),,,的最小值為,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查求分段函數(shù)的最值,關(guān)鍵在于根據(jù)分段函數(shù)的定義得出,再由基本不等式求得最值,屬于中檔題.9.C【解析】
直接求交集得到答案.【詳解】集合,則.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了交集運(yùn)算,屬于簡(jiǎn)單題.10.A【解析】
根據(jù)題意,畫出幾何位置圖形,由圖形的位置關(guān)系分別求得的值,即可比較各選項(xiàng).【詳解】如下圖所示,平面,從而平面,易知與正方體的其余四個(gè)面所在平面均相交,∴,∵平面,平面,且與正方體的其余四個(gè)面所在平面均相交,∴,∴結(jié)合四個(gè)選項(xiàng)可知,只有正確.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了空間幾何體中直線與平面位置關(guān)系的判斷與綜合應(yīng)用,對(duì)空間想象能力要求較高,屬于中檔題.11.A【解析】
首先確定不超過的素?cái)?shù)的個(gè)數(shù),根據(jù)古典概型概率求解方法計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】不超過的素?cái)?shù)有,,,,,,,,共個(gè),從這個(gè)素?cái)?shù)中任選個(gè),有種可能;其中選取的兩個(gè)數(shù),其和等于的有,,共種情況,故隨機(jī)選出兩個(gè)不同的數(shù),其和等于的概率.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率問題的求解,屬于基礎(chǔ)題.12.D【解析】
由復(fù)數(shù)除法運(yùn)算求出,再寫出其共軛復(fù)數(shù),得共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo).得結(jié)論.【詳解】,,對(duì)應(yīng)點(diǎn)為,在第四象限.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,考查共軛復(fù)數(shù)的概念,考查復(fù)數(shù)的幾何意義.掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13..【解析】
先求圓的半徑,四邊形的最小面積,轉(zhuǎn)化為的最小值為,求出切線長(zhǎng)的最小值,再求的距離也就是圓心到直線的距離,可解得的取值范圍,利用幾何概型即可求得概率.【詳解】由圓的方程得,所以圓心為,半徑為,四邊形的面積,若四邊形的最小面積,所以的最小值為,而,即的最小值,此時(shí)最小為圓心到直線的距離,此時(shí),因?yàn)?,所以,所以的概率為.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系,及與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型,考查了學(xué)生分析問題的能力,難度一般.14.213892【解析】
根據(jù)題意畫出圖形,利用棱錐與棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征求出正四棱臺(tái)的高,再計(jì)算它的體積.【詳解】如圖所示:正四棱錐P-ABCD的下底邊長(zhǎng)為二丈,即AB=20尺,高三丈,即PO=30尺,截去一段后,得正四棱臺(tái)ABCD-A'B'C'D',且上底邊長(zhǎng)為A'B'=6尺,所以,解得,所以該正四棱臺(tái)的體積是,故答案為:21;3892.【點(diǎn)睛】本題考查了棱錐與棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征與應(yīng)用問題,也考查了棱臺(tái)的體積計(jì)算問題,屬于中檔題.15.【解析】
基本事件總數(shù),第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字的基本事件有8個(gè),由此能求出概率.【詳解】解:從編號(hào)為,,,的張卡片中隨機(jī)抽取一張,放回后再隨機(jī)抽取一張,基本事件總數(shù),第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字的基本事件有8個(gè),分別為:,,,,,,,.所以第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字整除的概率為.故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法,考查古典概型、列舉法等基礎(chǔ)知識(shí),屬于基礎(chǔ)題.16.31【解析】設(shè),可化為,得,,,三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1);(2)見解析.【解析】
(1)在中,計(jì)算出的值,可得出的值,進(jìn)而可得出的值,由此可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)點(diǎn)、,設(shè)直線的方程為,將該直線方程與橢圓方程聯(lián)立,列出韋達(dá)定理,根據(jù)已知條件得出,利用韋達(dá)定理和斜率公式化簡(jiǎn)得出與所滿足的關(guān)系式,代入直線的方程,即可得出直線所過定點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】(1)在中,,,,,,,,因此,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為;(2)由題不妨設(shè),設(shè)點(diǎn),聯(lián)立,消去化簡(jiǎn)得,且,,,,,∴代入,化簡(jiǎn)得,化簡(jiǎn)得,,,,直線,因此,直線過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求解,同時(shí)也考查了橢圓中直線過定點(diǎn)的問題,考查計(jì)算能力,屬于中等題.18.(1)證明見解析(2)【解析】
(1)連接,設(shè),連接.通過證明,證得直線平面.(2)建立空間直角坐標(biāo)系,利用平面和平面的法向量,計(jì)算出二面角的正弦值.【詳解】(1)連接,設(shè),連接,因?yàn)?,所以,所以,在中,因?yàn)?,所以,且平面,故平?(2)因?yàn)?,,,,,所以,因?yàn)?,平面,所以平面,所以,,取所在直線為軸,取所在直線為軸,取所在直線為軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,由已知可得,,,,所以,因?yàn)?,所以,所以點(diǎn)的坐標(biāo)為,所以,,設(shè)為平面的法向量,則,令,解得,,所以,即為平面的一個(gè)法向量.,同理可求得平面的一個(gè)法向量為所以所以二面角的正弦值為【點(diǎn)睛】本小題主要考查線面平行的證明,考查二面角的求法,考查空間想象能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.19.(1)(2)【解析】
(1)由數(shù)列是等差數(shù)列,所以,解得,又由,解得,即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)由(1)得,利用乘公比錯(cuò)位相減,即可求解數(shù)列的前n項(xiàng)和.【詳解】(1)由題意,數(shù)列是等差數(shù)列,所以,又,,由,得,所以,解得,所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.(2)由(1)得,,,兩式相減得,,即.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差的通項(xiàng)公式、以及“錯(cuò)位相減法”求和的應(yīng)用,此類題目是數(shù)列問題中的常見題型,解答中確定通項(xiàng)公式是基礎(chǔ),準(zhǔn)確計(jì)算求和是關(guān)鍵,易錯(cuò)點(diǎn)是在“錯(cuò)位”之后求和時(shí),弄錯(cuò)等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù),能較好的考查考生的數(shù)形結(jié)合思想、邏輯思維能力及基本計(jì)算能力等.20.(1)分布列見解析,分布列見解析;(2)甲設(shè)備,理由見解析【解析】
(1)的可能取值為10000,11000,12000,的可能取值為9000,10000,11000,12000,計(jì)算概率得到分布列;(2)計(jì)算期望,得到,設(shè)甲、乙兩設(shè)備一年內(nèi)的維修次數(shù)分別為,,計(jì)算分布列,計(jì)算數(shù)學(xué)期望得到答案.【詳解】(1)的可能取值為10000,11000,12000,,因此的分布如下100001100012000的可能取值為9000,10000,11000,12000,,,因此的分布列為如下9000100001100012000(2)設(shè)甲、乙兩設(shè)備一年內(nèi)的維修次數(shù)分別為,的可能取值為2,3,4,5,,,則的分布列為2345的可能取值為3,4,5,6,,,則的分布列為3456由于,,因此需購(gòu)買甲設(shè)備【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)學(xué)期望和分布列,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.21.(1)(2)【解析】
(1)由,可求,然后由時(shí),可得,根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)可求(2)由,而,利用裂項(xiàng)相消法可求.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),,解得,當(dāng)時(shí),①②②①得,即,數(shù)列是以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,;(2)∴,∴,,.【點(diǎn)睛】本題考查遞推公式在數(shù)列的通項(xiàng)求解中的應(yīng)用,等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、裂項(xiàng)求和方法,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與
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