【公開課課件】直線與平面垂直的判定（公開課）

2.3.1直線與平面垂直的判定學習目標1.了解直線與平面垂直的定義；2.掌握直線與平面垂直的判定定理.3.會用直線與平面垂直的判定定理解決問題.問題導學達標檢測題型探究內(nèi)容索引問題導學知識點一直線與平面垂直的定義定義如果直線l與平面α內(nèi)的

直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直記法_______有關(guān)概念直線l叫做平面α的

，平面α叫做直線l的

，它們唯一的公共點P叫做______任意一條l⊥α垂線垂面垂足圖示畫法畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直知識點二直線和平面垂直的判定定理將一塊三角形紙片ABC沿折痕AD折起，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上(BD，DC與桌面接觸).如圖，觀察折痕AD與桌面的位置關(guān)系.答案不一定.思考1

折痕AD與桌面一定垂直嗎？思考2

當折痕AD滿足什么條件時，AD與桌面垂直？答案當AD⊥BD且AD⊥CD時，折痕AD與桌面垂直.梳理文字語言一條直線與一個平面內(nèi)的

都垂直，則該直線與此平面垂直符號語言l⊥a，l⊥b，a?α，b?α，

＝P?l⊥α圖形語言兩條相交直線a∩b1.若直線l⊥平面α，則l與平面α內(nèi)的直線可能相交，可能異面，也可能平行.(

)2.若直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，則l⊥α.(

)3.若a⊥b，b⊥α，則a∥α.(

)[思考辨析判斷正誤]×××題型探究例1

下列命題中，正確的序號是________.①若直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，則l⊥α；②若直線l與平面α內(nèi)的一條直線垂直，則l⊥α；③若直線l不垂直于平面α，則α內(nèi)沒有與l垂直的直線；④若直線l不垂直于平面α，則α內(nèi)也可以有無數(shù)條直線與l垂直；⑤過一點和已知平面垂直的直線有且只有一條.類型一線面垂直的定義及判定定理的理解解析答案④⑤解析當直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直時，l與α不一定垂直，所以①不正確；當l與α內(nèi)的一條直線垂直時，不能保證l與平面α垂直，所以②不正確；當l與α不垂直時，l可能與α內(nèi)的無數(shù)條平行直線垂直，所以③不正確，④正確；過一點有且只有一條直線垂直于已知平面，所以⑤正確.反思與感悟(1)對于線面垂直的定義要注意“直線垂直于平面內(nèi)的所有直線”說法與“直線垂直于平面內(nèi)無數(shù)條直線”不是一回事，后者說法是不正確的，它可以使直線與平面斜交.(2)判定定理中要注意必須是平面內(nèi)兩相交直線.跟蹤訓練1

(1)若三條直線OA，OB，OC兩兩垂直，則直線OA垂直于A.平面OAB

B.平面OACC.平面OBC

D.平面ABC答案√解析∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB，OC?平面OBC，∴OA⊥平面OBC.解析(2)如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的：①三角形的兩邊；②梯形的兩邊；③圓的兩條直徑；④正五邊形的兩邊.能保證該直線與平面垂直的是________.(填序號)答案①③④解析根據(jù)直線與平面垂直的判定定理，平面內(nèi)這兩條直線必須是相交的，①③④中給定的兩直線一定相交，能保證直線與平面垂直，而②梯形的兩邊可能是上、下底邊，它們互相平行，不滿足定理條件.解析例2

如圖，在三棱錐S－ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中點，且SA＝SB＝SC.(1)求證：SD⊥平面ABC；證明因為SA＝SC，D是AC的中點，所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，由已知SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，AC，BD?平面ABC，所以SD⊥平面ABC.類型二線面垂直的判定證明(2)若AB＝BC，求證：BD⊥平面SAC.證明

因為AB＝BC，D為AC的中點，所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD.又因為SD∩AC＝D，SD，AC?平面SAC，所以BD⊥平面SAC.證明反思與感悟(1)利用線面垂直的判定定理證明線面垂直的步驟①在這個平面內(nèi)找兩條直線，使它們和這條直線垂直；②確定這個平面內(nèi)的兩條直線是相交的直線；③根據(jù)判定定理得出結(jié)論.(2)平行轉(zhuǎn)化法(利用推論)：①a∥b，a⊥α?b⊥α；②α∥β，a⊥α?a⊥β.跟蹤訓練2

如圖所示，直三棱柱ABC－A1B1C1的底面ABC為等腰直角三角形，∠ACB＝90°，C點到AB1的距離為CE，D為AB的中點.求證：(1)CD⊥AA1；證明由題意知AA1⊥平面ABC，CD?平面ABC，所以CD⊥AA1.證明(2)AB1⊥平面CED.證明

因為D是AB的中點，△ABC為等腰直角三角形，∠ACB＝90°，所以CD⊥AB.又CD⊥AA1，AB∩A1A＝A，AB，A1A?平面A1B1BA，所以CD⊥平面A1B1BA.因為AB1?平面A1B1BA，所以CD⊥AB1.又CE⊥AB1，CD∩CE＝C，CD，CE?平面CED，所以AB1⊥平面CED.證明達標檢測1.空間中直線l和三角形的兩邊AC，BC同時垂直，則這條直線和三角形的第三邊AB的位置關(guān)系是A.平行

B.垂直C.相交

D.不確定答案√解析由于直線l和三角形的兩邊AC，BC同時垂直，而這兩邊相交于點C，所以直線l和三角形所在的平面垂直，又因三角形的第三邊AB在這個平面內(nèi)，所以l⊥AB.解析2.已知m和n是兩條不同的直線，α和β是兩個不重合的平面，那么下面給出的條件中，一定能推出m⊥β的是A.α∥β，且m?α

B.m∥n，且n⊥βC.m⊥n，且n?β

D.m⊥n，且n∥β解析A中，由α∥β，且m?α，知m∥β；B中，由n⊥β，知n垂直于平面β內(nèi)的任意直線，再由m∥n，知m也垂直于β內(nèi)的任意直線，所以m⊥β，符合題意；C，D中，m?β或m∥β或m與β相交，不符合題意，故選B.解析答案√3.如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝

，E，F(xiàn)分別是AD，PC的中點.證明：PC⊥平面BEF.證明證明如圖，連接PE，EC，在Rt△PAE和Rt△CDE中，PA＝AB＝CD，AE＝DE，所以PE＝CE，即△PEC是等腰三角形.又F是PC的中點，所以EF⊥PC.F是PC的中點，所以BF⊥PC.又BF∩EF＝F，BF，EF?平面BEF，