【課件】4.5.2用二分法求方程的近似解

函數(shù)零點存在定理

如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條

的曲線，且有

，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個零點，即存在c∈(a，b)，使得

，這個c也就是方程f(x)＝0的解.復(fù)習(xí)引課連續(xù)不斷f(a)f(b)<0f(c)＝0定理：（1）回答了“有沒有變號零點”存在問題，若有，可以判斷變號零點所處的區(qū)間；（2）沒有回答“有幾個零點”，如果是單調(diào)函數(shù)，在某區(qū)間上有零點的話，則只能有一個；（3）某區(qū)間內(nèi)即使有變號零點，此定理也沒有解決“這個零點是什么”的問題。下面我們來解決“求變號零點的近似值”的問題。探究解法1．不解方程，如何求方程lnx+2x-6=0的一個近似解（精確度為0.1）?解析:方程lnx＋2x－6＝0的解，即是函數(shù)f(x)＝lnx＋2x－6的零點，即函數(shù)f(x)＝lnx＋2x－6在(2,3)內(nèi)只有一個零點.又f(2)＝ln2＋4－6＝ln2－2<0，f(3)＝ln3＋6－6＝ln3>0，又因為f(x)在區(qū)間[2，3]上連續(xù)，且f(2)f(3)<0，由零點存在定理得：

函數(shù)f(x)＝lnx＋2x－6在(2,3)內(nèi)至少有一個零點。.容易證明,函數(shù)f(x)＝lnx＋2x－6在(0,+∞)是增函數(shù)。我們看到:函數(shù)f(x)=lnx+2x-6在區(qū)間（2,3）內(nèi)存在一個零點，即方程lnx+2x-6=0在（2,3）內(nèi)有一個解，進(jìn)一步的問題是，如何求出這個解呢？大多數(shù)方程都不能像一元二次方程那樣用公式求出精確解，在實際問題中，往往只需要求出滿足一定精確度的近似解。探究解法1．不解方程，如何求方程lnx+2x-6=0的一個近似解（精確度為0.1）?直觀的想法：要求方程lnx+2x-6=0的解，即是要求函數(shù)

f(x)=lnx+2x-6的零點，因為這個零點在

（2,3）內(nèi)，那么我們可以把區(qū)間（2,3）再

縮小點，達(dá)到一定的范圍要求（精度要求），

“擠”出函數(shù)零點的近似值，從而求出方程

的近似解呢？把區(qū)間（2,3）怎樣縮小點？取區(qū)間中點的方法，逐步縮小函數(shù)零點所在的范圍。探究解法1．不解方程，如何求方程lnx+2x-6=0的一個近似解（精確度為0.1）?二分法:（1）“取”--------取區(qū)間（2,3）的中點2.5；（2）“算”-------計算工具算f(2)=ln2-2<0，f(2.5)≈-0.084<0,f(3)=ln3>0;（3）“縮”-------∵f(2)f(2.5)>0，f(2.5)f(3)<0,∴零點在區(qū)間（2.5,3）內(nèi)（區(qū)間變成原來的一半）（4）“控”-------區(qū)間（2.5,3）的精度d=|3-2.5|=0.5>0.1,不合要求，（5）“取”-------取區(qū)間（2.5,3）的中點2.75；（6）“算”-------計算工具算f(2.5)≈-0.084<0，f(2.75)≈0.512>0,f(3)=ln3>0;（7）“縮”-------∵f(2.5)f(2.75)<0，f(2.75)f(3)>0,∴零點在區(qū)間（2.5,2.75）內(nèi)（區(qū)間為原來的一半）（8）“控”-------區(qū)間（2.5,2.75）的精度d=|2.75-2.5|=0.25>0.1,不合要求，探究解法1．不解方程，如何求方程lnx+2x-6=0的一個近似解（精確度為0.1）?二分法:（9）“取”--------取區(qū)間（2.5,2.75）的中點2.625；（10）“算”-------計算工具算f(2.5)≈-0.084<0，

f(2.625)≈0.215>0，

f(2.75)≈0.512>0;（11）“縮”-------∵f(2.5)f(2.625)<0，f(2.625)f(2.75)>0,∴零點在區(qū)間（2.5,2.625）內(nèi)（區(qū)間一半）（12）“控”-------區(qū)間（2.5,2.625）的精度d=|2.625-2.5|=0.125>0.1,不合要求，（13）“取”-------取區(qū)間（2.5,2.625）的中點2.5625；（14）“算”-------計算工具算f(2.5)≈-0.084<0,f(2.5625)≈0.066>0,f(2.625)≈0.215>0;（15）“縮”---∵f(2.5)f(2.5625)<0，f(2.5625)f(2.625)>0,∴零點在區(qū)間（2.5,2.5625）內(nèi)（區(qū)間一半）（16）“控”---區(qū)間（2.5,2.5625）的精度d=|2.5625-2.5|=0.0625<0.1,符合要求，探究解法1．不解方程，如何求方程lnx+2x-6=0的一個近似解（精確度為0.1）?二分法:區(qū)間（2.5,2.5625）的精度d=|2.5625-2.5|=0.0625<0.1,符合要求，所以區(qū)間（2.5,2.5625）內(nèi)任意一點都可以作為零點的近似值，也可以將2.5或者2.5625作為函數(shù)f(x)=lnx+2x-6零點的近似值，也即方程lnx+2x-6=0的近似解。知識點二分法：對于在區(qū)間[a，b]上圖象連續(xù)不斷且

的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地把它的零點所在區(qū)間

，使所得區(qū)間的兩個端點

，進(jìn)而得到零點近似值的方法叫做二分法.f(a)·f(b)<0一分為二逐步逼近零點注意點：(1)二分法的求解原理是函數(shù)零點存在定理；(2)用二分法只能求變號零點，即零點左右兩側(cè)的函數(shù)值的符號相反，比如y＝x2，該函數(shù)有零點為0，但不能用二分法求解.歸納總結(jié)二分法求解方程f(x)=0(或g(x)=h(x))近似解的基本步驟：

1．尋找解所在的區(qū)間：（1）圖象法；（2）函數(shù)值法；

2．不斷二分解所在的區(qū)間

3．根據(jù)精確度得出近似解。9困難在哪里？確定第一個區(qū)間！√√例1

(1)(多選)下列函數(shù)圖象與x軸均有交點，能用二分法求函數(shù)零點近似值的是√解析根據(jù)二分法的定義，知函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象連續(xù)不斷，且f(a)·f(b)<0，、

即函數(shù)的零點是變號零點，才能將區(qū)間[a，b]一分為二，逐步得到零點的近似值.

對各圖象分析可知，選項A，B，C都符合條件，而選項D不符合，因為零點左右

兩側(cè)的函數(shù)值不變號，所以不能用二分法求函數(shù)零點的近似值.(2)已知f(x)＝x2＋6x＋c有零點，但不能用二分法求出，則c的值是A.9 B.8 C.7 D.6√【悟】運(yùn)用二分法求函數(shù)的零點應(yīng)具備的條件(1)函數(shù)圖象在零點附近連續(xù)不斷.(2)在該零點左右兩側(cè)的函數(shù)值異號.

只有滿足上述兩個條件，才可用二分法求函數(shù)零點.【練1】已知函數(shù)f(x)的圖象如圖，其中零點的個數(shù)與可以用二分法求解的個數(shù)分別為A.4,4 B.3,4C.5,4 D.4,3√解析：圖象與x軸有4個交點，所以零點的個數(shù)為4；左右兩側(cè)的函數(shù)值異號的零點有3個，

所以可以用二分法求解的個數(shù)為3.

用二分法求函數(shù)零點的近似解提示由于f(1)＝－2<0，f(2)＝5>0，因此可以確定區(qū)間[1,2]作為計算的初始區(qū)間，用二分

法逐步計算，列表如下：問題2按上述思路，你能想辦法求函數(shù)f(x)＝x3－3的近似解嗎？當(dāng)然，我們可以一直重復(fù)下去，這樣的話，也會使求得的函數(shù)零點更精確，顯然，這可能是一個無休止的過程，即便是計算機(jī)，也可能被累死機(jī).實際上，如果我們一開始給一個精確度的話，只要滿足了給出的精確度，我們就可以停止計算，比如，該問題中，我們給出精確度為0.1.由于|1.5－1.4375|＝0.0625<0.1，所以原函數(shù)的一個正實數(shù)零點可取為1.4375.知識點給定精確度ε，用二分法求函數(shù)y＝f(x)零點x0的近似值的步驟1.確定零點x0的初始區(qū)間[a，b]，驗證

.2.求區(qū)間(a，b)的中點

.3.計算f(c)，并進(jìn)一步確定零點所在的區(qū)間：(1)若f(c)＝0(此時x0＝c)，則

就是函數(shù)的零點；(2)若f(a)·f(c)<0(此時x0∈

)，則令b＝c；(3)若f(c)·f(b)<0(此時x0∈

)，則令a＝c.f(a)·f(b)<0cc(a，c)(c，b)4.判斷是否達(dá)到精確度ε：若|a－b|<ε，則得到零點近似值a(或b)；否則重復(fù)步驟2～4.以上步驟可簡化為：定區(qū)間，找中點，中值計算兩邊看；同號去，異號算，零點落在異號間；周而復(fù)始怎么辦？精確度上來判斷.注意點：(1)初始區(qū)間的確定要包含函數(shù)的變號零點；(2)精確度ε表示當(dāng)區(qū)間的長度小于ε時停止二分.例2

(多選)用二分法求函數(shù)f(x)＝5x＋7x－2的一個零點，其參考數(shù)據(jù)如下：解析已知f(0.09375)<0，f(0.125)>0，

則函數(shù)f(x)的零點的初始區(qū)間為(0.09375,0.125)，

所以零點在區(qū)間(0.09375,0.125)上，|0.125－0.09375|＝0.03125<0.05，

所以0.09375,0.096,0.125都符合題意.x0.06250.093750.1250.156250.1875f(x)－0.4567－0.18090.09780.37970.6647根據(jù)上述數(shù)據(jù)，可得f(x)＝5x＋7x－2的一個零點近似值(精確度0.05)為A.0.625 B.0.09375

C.0.125

D.0.096√√√【悟】二分法求函數(shù)零點的關(guān)注點(1)驗證零點所在的區(qū)間是否符合精確度要求.(2)區(qū)間內(nèi)的任一點都可以作為零點的近似解，一般取端點作為零點的近似解.【練2】用二分法求方程2x＋3x－7＝0在區(qū)間(1,3)內(nèi)的近似解，取區(qū)間的中點為x0＝2，那么

下一個有根的區(qū)間是______.解析設(shè)f(x)＝2x＋3x－7，f(1)＝2＋3－7<0，f(3)＝10>0，f(2)＝3>0，∵f(1)·f(2)<0，∴f(x)零點所在的區(qū)間為(1,2)，∴方程2x＋3x－7＝0下一個有根的區(qū)間是(1,2).(1,2)

二分法的實際應(yīng)用解如圖，可首先從中點C開始查起，用隨身攜帶的工具檢查，若發(fā)現(xiàn)AC段正常，則斷定故障

在BC段；

再到BC段的中點D檢查，若CD段正常，則故障在BD段；

再到BD段的中點E檢查，如此，每檢查一次就可以將待

查的線路長度縮短一半，經(jīng)過7次查找，即可將故障范圍縮小到50m～100m之間，即可迅

速找到故障所在.例3某市A地到B地的電話線路發(fā)生故障，這是一條10km長的線路，每隔50m有一根電線桿，如何迅速查出故障所在？