【學(xué)海導(dǎo)航】高三數(shù)學(xué)第一輪總復(fù)習(xí) 9.5 空間向量及其運(yùn)算課件

第九章直線、平面、簡(jiǎn)單幾何體19.5空間向量及其運(yùn)算考點(diǎn)搜索●空間向量的加法、減法與數(shù)乘●空間向量基本定理，以及共線、共面向量定理●空間向量的數(shù)量積及其運(yùn)算性質(zhì)高考高考猜想1.空間向量的基本運(yùn)算.2.運(yùn)用向量方法解決共點(diǎn)、共線、共面以及平行、垂直、夾角、距離等問題.2

1.空間向量：在空間，我們把具有①_____和②_____的量叫做向量，空間向量也用③__________表示，并且④_____________________的有向線段表示同一向量或相等的向量.2.空間向量的加法，減法與數(shù)乘向量：如下圖，我們定義空間向量的加法，減法與數(shù)乘向量為：=⑤_______，=⑥________,=⑦_(dá)___(λ∈R).大小方向有向線段方向相同且長(zhǎng)度相等a+bλa3

3.空間向量的加法與數(shù)乘向量運(yùn)算滿足如下運(yùn)算律：

(1)加法交換律：⑧_______________；

(2)加法結(jié)合律：⑨_______________；

(3)數(shù)乘分配律：⑩_______________.a+b=b+a(a+b)+c=a+(b+c)λ(a+b)=λa+λb4

4.如果表示空間向量的有向線段所在的直線______________,則這些向量叫做共線向量或平行向量,a平行于b,記作a∥b.5.共線向量定理：對(duì)于空間任意兩個(gè)向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ使_______.

1112相互平行或重合a=λb5推論:如果直線l為經(jīng)過已知點(diǎn)A且平行于已知非零向量a的直線,那么對(duì)任一點(diǎn)O,點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t,滿足等式_____________,其中向量a叫做直線l的方向向量.6.共面向量定理：如果兩個(gè)向量a，b不共線，則向量p與向量a，b共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)對(duì)x，y使p=________.推論:空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)x,y,使

=___________.131415xa+yb67.空間向量基本定理：如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z使p

=___________.推論：設(shè)O、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)P，都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使=______________.8.已知空間兩個(gè)向量a，b，則a，b的數(shù)量積為：a·b=______________,其中〈a,b〉表示向量a,b的_____，其范圍為________.1617181920xa+yb+zc|a||b|cos〈a,b〉夾角［0,π］79.空間向量的數(shù)量積有如下性質(zhì)：(e為單位向量)(1)a·e=_____________;(2)a⊥b__________;(3)|a|2=__________.10.空間向量滿足如下運(yùn)算律：(1)(λa)·b=__________；(2)a·b=__________;(3)a·(b+c)=__________.212223242526|a|cos〈a,e〉a·b=0a·aλ(a·b)b·aa·b+a·c8

盤點(diǎn)指南：①大?。虎诜较?；③有向線段；④方向相同且長(zhǎng)度相等；⑤a+b;⑥;⑦λa；⑧a+b=b+a；⑨(a+b)+c=a+(b+c);⑩λ(a+b)=λa+λb;互相平行或重合;a=λb;；xa+yb;;xa+yb+zc;；

|a||b|cos〈a，b〉；夾角；［0，π］;|a|cos〈a，e〉;a·b=0;a·a;λ(a·b);

b·a;a·b+a·c111213141516171819202122232425269設(shè)向量a、b、c不共面，則下列集合可作為空間的一個(gè)基底的是()A.{a+b，b-a，a}B.{a+b，b-a，b}C.{a+b，b-a，c}D.{a+b+c，a+b，c}

解：由已知及向量共面定理，易得a+b，b-a,c不共面,故可作為空間的一個(gè)基底,故選C.C10在平行六面體體ABCD-A′B′C′′D′中，向量、、、是()A.有相相同同起起點(diǎn)點(diǎn)的的向向量量B.等長(zhǎng)長(zhǎng)的的向向量量C.共面面向向量量D.不共共面面向向量量解：：因?yàn)闉?，所所以以、、、、、共共面?C11已知知四四邊邊形形ABCD中，，=a-2c，=5a+6b-8c，對(duì)對(duì)角角線線AC、BD的中中點(diǎn)點(diǎn)分分別別為為E、F，則=.解：：因?yàn)闉椋?，兩式式相相加加，，得?2因?yàn)闉镋是AC的中中點(diǎn)點(diǎn)，，故故.同理理，，.所以以=6a+6b-10c,所以以=3a+3b-5c.131.在平平行行六六面面體體ABCD-A1B1C1D1中，，求證證：：證明明：：因?yàn)闉槠狡叫行辛婷骟w體的的六六個(gè)個(gè)面面都都是是平平行行四四邊邊形形，，所以以，題型型1向量量關(guān)關(guān)系系的的化化簡(jiǎn)簡(jiǎn)與與證證明明14所以以點(diǎn)評(píng)評(píng)：：向量量的的化化簡(jiǎn)簡(jiǎn)與與證證明明實(shí)實(shí)際際上上就就是是轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化為為向向量量的的加加減減運(yùn)運(yùn)算算及及其其逆逆運(yùn)運(yùn)算算，，利利用用向向量量的的合合并并或或分分解解進(jìn)進(jìn)行行轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化，，以以求求得得結(jié)結(jié)果果.15在平平行行六六面面體體ABCD-A1B1C1D1中，，化化簡(jiǎn)簡(jiǎn)下下列列表表達(dá)達(dá)式式：：(1)；(2).解：：(1)原式式===(2)原式式=162.在平平行行六六面面體體A1B1C1D1-ABCD中，，M分所成成的的比比為為1:2，N分A1D所成成的的比比為為2.設(shè)=a，=b，AA1=c，試試用用a，b，c表示示.解：如如圖圖，，連連結(jié)結(jié)AN，則.由已知四邊形形ABCD是平行四邊形形，故=a+b.又題型2向量的基底表表示17由已知N分所成的比為2，故于是，點(diǎn)評(píng)：空間向量的基基底一般是取取共起點(diǎn)的三三個(gè)不共面的的向量，其他他向量都可轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為這三個(gè)個(gè)向量的代數(shù)數(shù)和形式.注注意向量的方方向性及加減減運(yùn)算.18設(shè)P是正方形ABCD所在平面外一一點(diǎn)，O為正方形ABCD的中心，Q是CD的中點(diǎn).(1)用基向量、、、表示向量;(2)用基向量、、表示向量.19解：(1)(2)因?yàn)?，，所所?又因?yàn)?，所?從而有.20已知空間間四邊形形OABC中，M為BC的中點(diǎn)，，N為AC的中點(diǎn)，，P為OA的中點(diǎn)，，Q為OB的中點(diǎn)，，若AB=OC，求證：：PM⊥QN.證法1：因?yàn)樗运怨蔖M⊥QN.題型3空間向量量的初步步應(yīng)用21證法2：.所以PM⊥QN.點(diǎn)評(píng)：空間向量量是解決決立體幾幾何問題題的一種種工具.本題就是是利用向向量的垂垂直關(guān)系系來證直直線的垂垂直關(guān)系系，而證證空間向向量的垂垂直，一一般先將將兩向量量轉(zhuǎn)化為為基向量量的形式式(基底一般般是取題題中已知知條件中中出現(xiàn)過過的直線線上的向向量)，然后計(jì)算兩兩向量的數(shù)量量積.22如圖，平行六六面體AC1中，AE=3EA1，AF=FD，，AG=GB，過E、F、G的平面與對(duì)角角線AC1交于點(diǎn)P，求AP∶PC1的值.解：設(shè)因?yàn)?3所以又因?yàn)镋、F、G、、P四點(diǎn)共面，所以所以,所以AP∶PC1=3∶16.241.如左下下圖，在平行行六面體ABCD-A1B1C1D1中，M為△A1BD的重心，求證證：A、M、C1三點(diǎn)點(diǎn)共共線線.證明明：：如右右上上圖圖,連結(jié)結(jié)A1M并延延長(zhǎng)長(zhǎng)交交BD于E點(diǎn).題型型共共線線問問題題的的判判定定與與證證明明25因?yàn)闉镸為△△A1BD的重重心心，，所以以E為BD的中中點(diǎn)點(diǎn)，，連連結(jié)結(jié)AE.所以以故向向量量AM與AC1共線線，，即即A、M、C1262.求證：平行六六面體的四條條對(duì)角線相交交于一點(diǎn)，并并且在交點(diǎn)處處互相平分.證明：在平行六面體體分別是對(duì)角線AC1、BD1、A1C、B1D的中點(diǎn)，題型共點(diǎn)問題的判判定與證明27則同理可證，所以O(shè)、P、M、N四點(diǎn)重合.故四條對(duì)角線線相交于一點(diǎn)點(diǎn)，且在交點(diǎn)點(diǎn)處互相平分分.281.空間向量是平平面向量的推推廣，空間向向量的加法、、減法和數(shù)乘乘向量運(yùn)算，，與平面向量量的運(yùn)算法則則一致.2.空間任意兩個(gè)個(gè)向量都可用用同一平面內(nèi)內(nèi)的兩條有向向線段表示，，因此，空間間兩個(gè)向量的的加法與減法法運(yùn)算，實(shí)質(zhì)質(zhì)上是兩個(gè)平平面向量的加加法與減法運(yùn)運(yùn)算.293.空空間間共線線向量量與平平面共共線向向量的的概念念是相相通的的，共共線向向量定定理也也完全全一致致.空空間共共面向向量定定理是是平面面向量量基本本定理理的變變通.空間間向量量基本本定理理是平平面向向量基基本定定理的的擴(kuò)展展.這這些定定理源源于平平面向向量的的加法法、減減法與與數(shù)乘乘向量量運(yùn)算算，是是溝通通向量量之間間內(nèi)在在聯(lián)系系的重重要依依據(jù).304.空空間間直線線的向向量參參數(shù)表表示式式：是一個(gè)個(gè)以向向量形